نسخة الفيديو النصية
إذا كانت ﺩﺱ تساوي ثمانية ﺱ أس أربعة ناقص ١٦ﺱ تربيع زائد خمسة، فأوجد الفترات التي تكون فيها ﺩ تزايدية والفترات التي تكون فيها تناقصية.
لنبدأ بتذكر ما نعرفه عن الدالة التزايدية والدالة التناقصية. نقول إن الدالة تزايدية عندما تكون قيمة المشتقة الأولى لهذه الدالة عند نقطة أكبر من صفر. وتكون تناقصية عندما تتناقص قيم ﺱ بحيث تكون المشتقة الأولى لـ ﺩﺱ أقل من صفر. وبناء على ذلك، علينا أولًا إيجاد المشتقة الأولى للدالة ﺩﺱ. لاحظ أن ﺩﺱ دالة كثيرة حدود. نعلم أن الدوال كثيرات الحدود قابلة للاشتقاق على مجالها بالكامل. من ثم، سنشتق كل حد على حدة. وبالطبع لاشتقاق حد على الصورة ﺃ ﺱ أس ﻥ، حيث ﺃ وﻥ ثابتان حقيقيان، نضرب الحد بالكامل في الأس ثم نطرح واحدًا من ذلك الأس.
ومن ثم، فإن المشتقة الأولى لثمانية ﺱ أس أربعة تساوي أربعة في ثمانية ﺱ أس أربعة ناقص واحد، أو ثمانية ﺱ تكعيب. إذن المشتقة الأولى لـ ١٦ﺱ تربيع تساوي اثنين في ١٦ﺱ. وبالطبع، مشتقة مجموع دالتين أو الفرق بينهما تساوي مجموع المشتقات أو الفرق بينها. إذن، الحدان الأولان لدينا هما أربعة في ثمانية ﺱ تكعيب ناقص اثنين في ١٦ﺱ. وفي الواقع، مشتقة أي ثابت تساوي صفرًا. إذن مشتقة العدد خمسة تساوي صفرًا، وهو ما يعني أن ﺩ شرطة ﺱ يمكن تبسيطها إلى ٣٢ﺱ تكعيب ناقص ٣٢ﺱ.
وهدفنا بالطبع هو إيجاد قيم ﺱ التي تكون عندها الدالة أقل من صفر وأكبر من صفر. لفعل ذلك، يمكننا استخدام الآلة الحاسبة لحل المتباينة. ولكن توجد طريقة أخرى، حيث يمكننا التحقق من شكل التمثيل البياني. هيا نتناول هذه الطريقة الثانية ونبدأ بإيجاد القيم التي تكون عندها المشتقة الأولى تساوي صفرًا. لفعل ذلك، نحلل المقدار في الطرف الأيمن. ونحصل على ٣٢ﺱ في ﺱ تربيع ناقص واحد يساوي صفرًا. لكي يساوي حاصل ضرب هاتين الدالتين صفرًا، لا بد أن تكون إحدى الدالتين أو كلتيهما تساوي صفرًا. ومن ثم، ٣٢ﺱ يمكن أن يساوي صفرًا أو ﺱ تربيع ناقص واحد يمكن أن يساوي صفرًا. وبقسمة كلا طرفي هذه المعادلة الأولى على ٣٢، نجد أن ﺱ يساوي صفرًا هو حل المعادلة.
لحل المعادلة الثانية، سنبدأ بإضافة واحد إلى كلا الطرفين. ثم نحسب الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة، ونتذكر بالطبع أننا نحسب الجذر التربيعي الموجب والسالب لواحد. نجد أن ﺱ يساوي واحدًا أو سالب واحد كحلين آخرين للمعادلة. نعلم الآن أن التمثيل البياني للمشتقة هو دالة تكعيبية تمر بالمحور ﺱ عند صفر، واحد، وسالب واحد. وله معامل رئيسي موجب، ومن ثم فهو يبدو هكذا.
يمكننا استخدام هذا التمثيل البياني لتحديد الموضع الذي تكون فيه المشتقة الأولى أكبر من أو أقل من صفر. من الواضح أنها أكبر من صفر في هذين الموضعين وأقل من صفر هنا. وبما أن المشتقة الأولى تكون أكبر من صفر عند قيم ﺱ الأكبر من سالب واحد والأقل من صفر وقيم ﺱ الأكبر من واحد. يمكننا القول إن الدالة ﺩ تزايدية على الفترة المفتوحة من سالب واحد إلى صفر، وواحد إلى ∞. بالمثل، تكون قيمة المشتقة الأولى أقل من صفر لقيم ﺱ الأصغر من سالب واحد، وبين صفر وواحد. إذن الدالة ﺩ يجب أن تكون تناقصية على الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى سالب واحد، وصفر إلى واحد.
وبذلك نكون قد حددنا فترات التزايد والتناقص للدالة. تذكر أن هذه الفترات يجب أن تكون مفتوحة بدلًا من أن تكون مغلقة لأن ﺩ شرطة ﺱ يساوي صفرًا يدل على أن الدالة لها نقطة حرجة.
