نسخة الفيديو النصية
عبر عن المعادلتين الآنيتين الآتيتين أربعة ﺱ ناقص اثنين ﺹ يساوي صفرًا، وثلاثة ﺹ زائد خمسة ﺱ يساوي سالب ١١ في صورة معادلة مصفوفية.
في هذا السؤال، لدينا معادلتان آنيتان بمتغيرين ﺱ وﺹ، ومطلوب منا التعبير عنهما في صورة معادلة مصفوفية. يمكننا فعل ذلك بتذكر كيفية كتابة معادلتين آنيتين بمتغيرين في صورة معادلة مصفوفية. نبدأ بتذكر أنه لكتابة معادلتين آنيتين في صورة معادلة مصفوفية، فإننا نتحقق أولًا من أن المعادلتين الآنيتين مكتوبتان على الصورة القياسية. وهذه هي الصورة التي توجد فيها القيم الثابتة في الطرف الأيسر فقط من المعادلة لدينا، ويكتب كل حد من حدود المتغيرات في الطرف الأيمن من المعادلة بالترتيب نفسه.
نقول هنا إن ﺃ واحد ﺱ زائد ﺏ واحد ﺹ يساوي ﻙ واحد، وﺃ اثنين ﺱ زائد ﺏ اثنين ﺹ يساوي ﻙ اثنين؛ حيث ﺃ واحد وﺏ واحد وﺃ اثنين وﺏ اثنين وﻙ واحد وﻙ اثنين ثوابت. إذن، في هذه الحالة، يمكننا إعادة كتابة ذلك في صورة معادلة مصفوفية. لدينا مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين عناصرها هي ﺃ واحد، ﺏ واحد ، ﺃ اثنين ، ﺏ اثنين مضروبة في مصفوفة من الرتبة اثنين في واحد عنصراها هما ﺱ، ﺹ تساوي مصفوفة من الرتبة اثنين في واحد عنصراها هما ﻙ واحد، ﻙ اثنين. ويمكننا معرفة سبب تطابق المعادلة المصفوفية هذه مع المعادلتين الآنيتين عن طريق إيجاد حاصل ضرب المصفوفتين في الطرف الأيمن من المعادلة. على سبيل المثال، بضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة الأولى في العمود الوحيد من المصفوفة الثانية، نحصل على ﺃ واحدﺱ زائد ﺏ واحد ﺹ، وهو ما يساوي الطرف الأيمن من المعادلة الآنية الأولى. يمكننا أيضًا أن نلاحظ من المعادلة المصفوفية أن هذا يجب أن يساوي ﻙ واحد، وهو الطرف الأيسر من المعادلة الآنية الأولى.
قبل أن نستخدم ذلك لكتابة المعادلتين الآنيتين في صورة معادلة مصفوفية، يجب أن نتحقق دائمًا من أن المعادلتين الآنيتين معطاتان على الصورة القياسية. دعونا نتحقق أولًا من أن الحدود معطاة بالترتيب نفسه في المعادلتين الآنيتين لدينا. في المعادلة الآنية الأولى، لدينا الحد ﺱ ثم الحد ﺹ. إذن، هذا ترتيب أبجدي. لكن في المعادلة الآنية الثانية، هذان الحدان معطيان بترتيب معكوس. لذا، سنعيد ترتيب هذين الحدين في المعادلة الآنية. سنكتب هذه المعادلة على الصورة خمسة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ يساوي سالب ١١. وسنترك المعادلة الآنية الأولى كما هي دون تغيير. ويمكننا ملاحظة أن كلًّا من الثابتين موجود وحده في الطرف الأيسر من كلتا المعادلتين.
بذلك نكون أعدنا كتابة المعادلتين الآنيتين على الصورة القياسية؛ لذا يمكننا استخدام ذلك لإعادة كتابة المعادلتين الآنيتين على صورة معادلة مصفوفية. يمكننا فعل ذلك خطوة بخطوة من خلال إيجاد كل مصفوفة على حدة. لنبدأ بالمصفوفة الأولى التي تعرف باسم «مصفوفة المعاملات». ذلك لأن عناصر هذه المصفوفة هي معاملات المتغيرين في المعادلتين الآنيتين لدينا. ومن المهم جدًّا أن نتذكر أن المعاملات تأخذ إشارات القيم الثابتة أمام المتغيرات. إذن، بكتابة قيم هذه المعاملات في مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين، نحصل على مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين عناصرها هي أربعة، سالب اثنين، خمسة، ثلاثة.
يمكننا الآن الانتقال إلى المصفوفة الثانية في هذه المعادلة، التي تسمى «مصفوفة المتغيرات»؛ لأن عنصريها هما المتغيران في المعادلتين الآنيتين لدينا. وهي هنا مصفوفة عمود، ما يعني أنها تحتوي على عمود واحد فقط، وعدد الصفوف يساوي عدد المتغيرات. علينا كتابة ذلك بالترتيب المعطى في المعادلتين الآنيتين. المتغيران في كل من المعادلتين الآنيتين هنا هما ﺱ وﺹ. إذن، فإن مصفوفة المتغيرات للمعادلة الآنية لدينا ستكون مصفوفة من الرتبة اثنين في واحد عنصراها هما ﺱ، ﺹ.
وأخيرًا، علينا إيجاد المصفوفة الثالثة في هذه المعادلة، التي تسمى عادة «مصفوفة الحل أو مصفوفة الثوابت». وذلك لأن عنصري هذه المصفوفة معطيان باعتبارهما ثابتي المعادلتين الآنيتين. في هذه المسألة، يمكننا ملاحظة أن الثابتين هما صفر وسالب ١١. لذا، نساويهما بمصفوفة من الرتبة اثنين في واحد عنصراها صفر، سالب ١١.
هذا هو الحل النهائي. تجدر الإشارة هنا إلى أنه يمكننا التحقق من هذا الحل عن طريق إيجاد حاصل ضرب المصفوفتين في الطرف الأيمن من المعادلة. لكننا استطعنا إثبات أنه يمكننا إعادة كتابة المعادلتين الآنيتين المعطاتين لنا في السؤال على صورة مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين عناصرها هي أربعة، سالب اثنين، خمسة، ثلاثة مضروبة في مصفوفة من الرتبة اثنين في واحد عناصرها هي ﺱ، ﺹ تساوي مصفوفة من الرتبة اثنين في واحد عناصرها هي صفر، سالب ١١.
