فيديو السؤال: إيجاد قياس زاوية في مثلث بمعلومية قياس الزاويتين الأخريين باستخدام خواص مماسات الدائرة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان الخط المستقيم ‪𝐴𝐵‬‏ مماسًّا للدائرة التي مركزها ‪𝑀‬‏ وقياس الزاوية ‪𝑀𝐵𝐹‬‏ يساوي 123 درجة، فأوجد قياس الزاوية ‪𝐴𝑀𝐵‬‏.

الزاوية ‪𝐴𝑀𝐵‬‏ هي الزاوية التي تتكون عندما نتحرك من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝑀‬‏ ثم من ‪𝑀‬‏ إلى ‪𝐵‬‏. والزاوية ‪𝑀𝐵𝐹‬‏ هي الزاوية التي تتكون عندما نتحرك من ‪𝑀‬‏ إلى ‪𝐵‬‏ ثم من ‪𝐵‬‏ إلى ‪𝐹‬‏، وعلمنا من السؤال أن قياسها يساوي 123 درجة. يمكننا ملاحظة أن الزاوية التي نريد إيجادها؛ أي ‪𝐴𝑀𝐵‬‏، تقع داخل مثلث. وإذا استطعنا إيجاد قياسي الزاويتين الأخريين في هذا المثلث، يمكننا استخدام حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا في أي مثلث يساوي 180 درجة لإيجاد قياس الزاوية المطلوبة.

دعونا نبدأ بتناول الزاوية ‪𝑀𝐵𝐴‬‏. إحدى الحقائق الرئيسية التي نعرفها عن قياسات الزوايا، هي أن مجموع قياسي الزاويتين الواقعتين على خط مستقيم يساوي 180 درجة. وهذه الزاوية تقع على خط مستقيم مع الزاوية التي نعلم أن قياسها يساوي 123 درجة. ومن ثم، يمكننا القول إن مجموع قياسي الزاويتين ‪𝑀𝐵𝐹‬‏ و‪𝑀𝐵𝐴‬‏ يساوي 180 درجة. ويمكننا التعويض بقياس الزاوية ‪𝑀𝐵𝐹‬‏ الذي يساوي 123 درجة في المعادلة. وهكذا تصبح لدينا معادلة يمكن حلها لإيجاد قياس الزاوية ‪𝑀𝐵𝐴‬‏. سنطرح 123 درجة من كلا طرفي المعادلة. وهذا يعطينا قياس الزاوية ‪𝑀𝐵𝐴‬‏، وهو يساوي 57 درجة. لقد أوجدنا قياس إحدى زوايا المثلث ‪𝑀𝐵𝐴‬‏. لكن، هل يمكننا إيجاد قياس زاوية أخرى؟ ماذا عن الزاوية ‪𝑀𝐴𝐵‬‏؟

في الحقيقة إن هذه الزاوية هي الزاوية المتكونة عندما يلتقي مماس الدائرة؛ أي الخط المستقيم ‪𝐴𝐵‬‏، مع نصف قطر الدائرة ‪𝐴𝑀‬‏. ونحن نعلم أن مماس الدائرة يكون عموديًّا على نصف قطرها عند نقطة التماس. هذا يعني أن الزاوية ‪𝑀𝐴𝐵‬‏ هي زاوية قائمة، وقياسها يساوي 90 درجة.

لقد أوجدنا قياسي زاويتين من زوايا المثلث ‪𝑀𝐵𝐴‬‏. وباستخدام مجموع قياسات الزوايا للمثلث، يمكننا إيجاد قياس الزاوية الثالثة. بما أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي 180 درجة، فستصبح لدينا المعادلة الآتية: قياس الزاوية ‪𝐴𝑀𝐵‬‏ زائد 90 درجة زائد 57 درجة يساوي 180 درجة. نطرح 90 درجة و57 درجة من كلا طرفي المعادلة، ليصبح لدينا 180 ناقص 90 ناقص 57 درجة في الطرف الأيسر. وهذا يساوي 33 درجة. إذن قياس الزاوية ‪𝐴𝑀𝐵‬‏ يساوي 33 درجة.