فيديو السؤال: قسمة الأعداد المركبة على الصورة القطبية وإيجاد خارج قسمتها على الصورة الجبرية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﻉ واحد يساوي خمسة جتا خمسة 𝜃 زائد ﺕ جا خمسة 𝜃، وﻉ اثنين يساوي جتا أربعة 𝜃 زائد ﺕ جا أربعة 𝜃، وظا 𝜃 يساوي أربعة أثلاث، و𝜃 أكبر من صفر وأصغر من أو يساوي 𝜋 على اثنين، فأوجد ﻉ واحد على ﻉ اثنين.

حسنًا، لدينا هنا عددان مركبان مكتوبان على الصورة المثلثية أو القطبية. ولدينا بعض المعطيات الإضافية. لكننا نريد في النهاية إيجاد خارج قسمة هذين العددين. علينا أن نسترجع ما نعرفه عن إيجاد خارج قسمة عددين مركبين على الصورة القطبية. ولكي نقسمهما، فإننا نقسم مقياسيهما ونطرح سعتيهما.

الصورة القطبية العامة للعدد المركب هي ﻝ جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃؛ حيث ﻝ هو مقياس هذا العدد و𝜃 هي سعته. وعند مقارنة العددين المركبين بالصورة العامة، نجد أن مقياس العدد المركب الأول ﻉ واحد يساوي خمسة. وعلى الرغم من عدم كتابة ذلك بشكل صريح، فإنه يمكننا ملاحظة أن مقياس العدد المركب الثاني ﻉ اثنين يساوي واحدًا. ونجد بعد ذلك أن سعة ﻉ واحد تساوي خمسة 𝜃. وسعة ﻉ اثنين تساوي أربعة 𝜃.

لإيجاد مقياس ﻉ واحد على ﻉ اثنين، سنقسم ﻝ واحد على ﻝ اثنين. وهذا يساوي خمسة مقسومًا على واحد؛ أي خمسة. ولإيجاد سعة ﻉ واحد مقسومًا على ﻉ اثنين، سنطرح سعتيهما. وهذا يساوي خمسة 𝜃 ناقص أربعة 𝜃؛ أي 𝜃. حسنًا، يمكننا الآن التعويض بهذا في الصورة القطبية العامة للعدد المركب. ونلاحظ أن ﻉ واحد على ﻉ اثنين يساوي خمسة جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃. لكن من أين يأتي هذا المعطى الإضافي؟

إننا لن نحاول حل المعادلة ظا 𝜃 يساوي أربعة أثلاث بإيجاد الدالة العكسية للظل للطرفين. بدلًا من ذلك، سنسترجع أن ظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. وبما أن 𝜃 أكبر من صفر وأصغر من أو يساوي 𝜋 على اثنين، فيمكننا تكوين مثلث قائم الزاوية به الزاوية المحصورة 𝜃. حسنًا، طول الضلع المقابل لهذه الزاوية يساوي أربع وحدات. وطول الضلع المجاور لها يساوي ثلاث وحدات. نحن نعلم أيضًا أن طول وتر هذا المثلث القائم الزاوية لا بد أن يساوي خمس وحدات.

وهذه هي أشهر ثلاثية لنظرية فيثاغورس. ثلاثة تربيع زائد أربعة تربيع يساوي خمسة تربيع. وبما أن جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، فيمكننا قول إن جا 𝜃 في هذا المثلث يساوي أربعة على خمسة. أي أربعة أخماس. يمكننا أيضًا قول إنه بما أن جتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر، فإنه في هذا المثلث يساوي ثلاثة أخماس.

حسنًا، يمكننا الآن التعويض بقيمتي جا 𝜃 وجتا 𝜃 هاتين في العدد المركب لدينا. هذا يساوي خمسة مضروبًا في ثلاثة أخماس زائد أربعة أخماس ﺕ. وإذا وزعنا الضرب على ما بين هذين القوسين، فسيحذف العدد خمسة. ويتبقى لدينا ثلاثة، وهو الجزء الحقيقي، وأربعة، وهو الجزء التخيلي لهذا العدد المركب.

إذن، ﻉ واحد على ﻉ اثنين يساوي ثلاثة زائد أربعة ﺕ.