فيديو السؤال: المقارنة بين السرعات باستخدام تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن الفيزياء • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

هل النسبة بين السرعات المناظرة للخطوط الآتية في التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن هي نفسها لأي خطين متجاورين؟

في هذا السؤال، لدينا ثلاثة خطوط، خط أزرق، وخط أحمر، وخط أخضر، موضحة على تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن. وهو تمثيل بياني يوضح المسافة على المحور الرأسي أو المحور ‪𝑦‬‏ مقابل الزمن على المحور الأفقي أو المحور ‪𝑥‬‏. ويطلب منا السؤال تحديد إذا ما كانت النسبة بين السرعات المناظرة لهذه الخطوط الثلاثة هي نفسها لأي خطين متجاورين. دعونا نسم السرعات المناظرة للخطوط، الأزرق والأحمر والأخضر، على النحو الآتي: ‪𝑉b‬‏، و‪𝑉r‬‏، و‪𝑉g‬‏، على الترتيب. ولعلنا لاحظنا في التمثيل البياني أن الخط الأزرق والخط الأحمر متجاوران، والخط الأحمر والخط الأخضر متجاوران أيضًا.

بسؤالنا عما إذا كانت النسبة بين السرعات المناظرة للخطوط في التمثيل البياني هي نفسها لأي خطين متجاورين، فإن السؤال يطلب منا فعليًّا تحديد إذا ما كانت علاقة التساوي هذه صحيحة أم لا. لدينا في الطرف الأيسر ‪𝑉b‬‏ مقسومة على ‪𝑉r‬‏ وهي نسبة السرعة المناظرة للخط الأزرق إلى السرعة المناظرة للخط الأحمر. وفي الطرف الأيمن، لدينا ‪𝑉r‬‏ مقسومة على ‪𝑉g‬‏. وهذه هي نسبة السرعة المناظرة للخط الأحمر إلى السرعة المناظرة للخط الأخضر. إذن علاقة التساوي هذه تؤكد أن نسبة سرعة الخط الأزرق إلى سرعة الخط الأحمر هي نفسها نسبة سرعة الخط الأحمر إلى سرعة الخط الأخضر.

ما علينا فعله إذن هو إيجاد قيمة كل من الطرف الأيسر والطرف الأيمن من علاقة التساوي وتحديد إذا ما كان الطرفان متساويين بالفعل. وإذا وجدنا أنهما متساويان، فإن إجابة السؤال ستكون: نعم، النسبة بين السرعات المناظرة للخطوط في التمثيل البياني هي نفسها لأي خطين متجاورين. وبالمثل، إذا وجدنا أنهما غير متساويين، فإن الإجابة ستكون لا، النسبة بين السرعات المناظرة للخطوط في التمثيل البياني ليست نفسها لأي خطين متجاورين. ولإيجاد قيمة هاتين النسبتين، دعونا نبدأ بحساب السرعات ‪𝑉b‬‏، و‪𝑉r‬‏، و‪𝑉g‬‏ كل على حدة.

لعلنا نتذكر أن سرعة الجسم تعرف بأنها معدل تغير المسافة التي يقطعها هذا الجسم خلال زمن معين. وهذا التعريف يعني أنه إذا قطع جسم المسافة ‪Δ𝑑‬‏، واستغرق الزمن ‪Δ𝑡‬‏ لفعل ذلك، فإن سرعة هذا الجسم، التي سنسميها ‪𝑉‬‏، تساوي ‪Δ𝑑‬‏ على ‪Δ𝑡‬‏. ويمكننا أيضًا كتابة هذا الكسر بطريقة أخرى. إذا تغيرت المسافة التي يقطعها جسم بين الزمن ‪t‬‏ واحد والزمن ‪t‬‏ اثنين من القيمة ‪𝑑‬‏ واحد إلى القيمة ‪𝑑‬‏ اثنين، فإنه بالنسبة لهذه الفترة من الحركة، ‪Δ𝑑‬‏ تساوي ‪𝑑‬‏ اثنين ناقص ‪𝑑‬‏ واحد و‪Δ𝑡‬‏ يساوي ‪𝑡‬‏ اثنين ناقص ‪𝑡‬‏ واحد. وعليه، فإن السرعة ‪𝑉‬‏ تساوي ‪𝑑‬‏ اثنين ناقص ‪𝑑‬‏ واحد مقسومًا على ‪𝑡‬‏ اثنين ناقص ‪𝑡‬‏ واحد.

بما أن التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يمثل المسافة على المحور الرأسي مقابل الزمن على المحور الأفقي، فإذا كانت ‪𝑡‬‏ واحد، ‪𝑑‬‏ واحد، و‪𝑡‬‏ اثنان، ‪𝑑‬‏ اثنان هي إحداثيات نقطتين على خط مستقيم مرسوم على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن، فهذا يعني أن هذا التعبير للسرعة ‪𝑉‬‏ يساوي التغير في الإحداثي الرأسي بين هاتين النقطتين مقسومًا على التغير في الإحداثي الأفقي بين نفس النقطتين. بعبارة أخرى، إذا كان لدينا خط مستقيم مرسوم على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن، فإن هذا التعبير يحسب ميل هذا الخط. ومن ثم، يمكننا القول إن سرعة الجسم تساوي ميل الخط المستقيم المناظر المرسوم على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن.

ذكرنا سابقًا أننا نريد حساب هذه السرعات الثلاث: ‪𝑉b‬‏، و‪𝑉r‬‏، و‪𝑉g‬‏. ولحساب كل سرعة يمكننا استخدام هذا التعبير لحساب ميل الخط المناظر المرسوم على التمثيل البياني. ونعلم أن هذا الميل سيعطينا السرعة. دعونا نفرغ بعض المساحة على الشاشة ونبدأ في حساب ذلك. لنبدأ بالخط الأزرق على التمثيل البياني، ما يعني أننا سنحسب السرعة ‪𝑉b‬‏. لحساب ميل هذا الخط الأزرق، علينا اختيار نقطتين تقعان على هذا الخط لحساب الميل بينهما. وسنشير لهذه الإحداثيات بـ ‪𝑡‬‏ واحد، ‪𝑑‬‏ واحد، و‪𝑡‬‏ اثنين، ‪𝑑‬‏ اثنين. وسنختار أن تكون النقطة الأولى على هذا الخط نقطة الأصل في التمثيل البياني، أي أن قيمة الزمن تساوي صفر ثانية، وقيمة المسافة تساوي صفر متر. بعد ذلك، بالنسبة للنقطة الثانية، سنختار هذه النقطة هنا.

إذا تحركنا رأسيًّا لأسفل من هذه النقطة حتى نصل إلى محور الزمن، فسنلاحظ أن هذه النقطة تقع عند القيمة الزمنية أربع ثوان. وعليه، تلك هي قيمة الكمية ‪𝑡‬‏ اثنين. وإذا تحركنا بعد ذلك أفقيًّا نحو محور المسافة، فسنلاحظ أنه عند هذه النقطة، قطع الجسم مسافة ثمانية أمتار، إذن، هذه هي قيمة الكمية ‪𝑑‬‏ اثنين. يمكننا الآن التعويض بهذه القيم الأربع في هذه المعادلة لحساب السرعة المناظرة للخط الأزرق ‪𝑉b‬‏. وعندما نفعل ذلك، نحصل على هذا التعبير الموضح هنا. في البسط، لدينا ثمانية أمتار، وهي المسافة ‪𝑑‬‏ اثنان، ناقص صفر متر، وهي قيمة ‪𝑑‬‏ واحد. ثم في المقام، لدينا أربع ثوان، أي القيمة الزمنية ‪𝑡‬‏ اثنان، ناقص صفر ثانية، أي قيمة ‪𝑡‬‏ واحد.

يمكننا تبسيط هذا التعبير من خلال ملاحظة أن ثمانية أمتار ناقص صفر متر يساوي ببساطة ثمانية أمتار، وبالمثل أربع ثوان ناقص صفر ثانية يساوي أربع ثوان فقط. وعليه، نجد أن السرعة ‪𝑉b‬‏ تساوي ثمانية أمتار على أربع ثوان. وهو ما يعني أن السرعة تساوي مترين لكل ثانية.

والآن بعد أن أوجدنا السرعة المناظرة للخط الأزرق، دعونا ننتقل إلى الخط الأحمر ونوجد سرعته أيضًا. ومثلما فعلنا مع الخط الأزرق، لإيجاد السرعة ‪𝑉r‬‏ المناظرة للخط الأحمر، علينا أن نبدأ باختيار نقطتين تقعان على هذا الخط. بالنسبة للنقطة الأولى، فسنختار مرة أخرى نقطة الأصل في التمثيل البياني، ما يعني أن ‪𝑡‬‏ واحدًا يساوي صفر ثانية و‪𝑑‬‏ واحدًا يساوي صفر متر. بالنسبة للنقطة الثانية، سنختار هذه النقطة هنا. بالتحرك لأسفل نحو محور الزمن، يمكننا رؤية أن هذه النقطة تقع عند قيمة زمنية مقدارها أربع ثوان، وهذه هي قيمة الكمية ‪𝑡‬‏ اثنين. بعد ذلك، بالتحرك نحو محور المسافة، نلاحظ أن قيمة المسافة عند هذه النقطة تساوي أربعة أمتار، إذن هذه هي قيمة ‪𝑑‬‏ اثنين.

والآن، إذا عوضنا بهذه القيم الأربع في هذه المعادلة، فسنحصل على هذا التعبير لإيجاد السرعة ‪𝑉r‬‏. في البسط، نجد أن أربعة أمتار ناقص صفر متر يساوي أربعة أمتار فقط. وبالمثل في المقام، أربع ثوان ناقص صفر ثانية يساوي أربع ثوان. وعليه، نجد أن ‪𝑉r‬‏ تساوي أربعة أمتار مقسومًا على أربع ثوان، وهو ما يعني أن السرعة تساوي مترًا واحدًا لكل ثانية. السرعة الأخيرة المتبقية التي علينا إيجاد قيمتها هي السرعة ‪𝑉g‬‏ المناظرة للخط الأخضر. ومجددًا، سنختار نقطة الأصل لتكون النقطة الأولى على هذا الخط، وهذا يعطينا: ‪𝑡‬‏ واحد يساوي صفر ثانية و‪𝑑‬‏ واحد يساوي صفر متر. وبالنسبة للنقطة الثانية على الخط الأخضر، دعونا نختر هذه النقطة هنا. ويمكننا ملاحظة أن هذه النقطة تقع عند زمن مقداره أربع ثوان، ومن ثم، هذه هي قيمة الكمية ‪𝑡‬‏ اثنين.

يمكننا أيضًا ملاحظة أن المسافة المقطوعة عند هذه النقطة تساوي مترين، ومن ثم، هذه هي قيمة ‪𝑑‬‏ اثنين. وباستخدام هذه القيم والتعويض بها في هذه المعادلة، نحصل على هذا التعبير لإيجاد السرعة ‪𝑉g‬‏. وبإيجاد قيمة هذا التعبير، نحصل على سرعة مقدارها 0.5 متر لكل ثانية. والآن بعد أن أوجدنا قيم السرعات الثلاث المناظرة لكل من الخطوط الثلاثة في هذا التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن، أصبحنا مستعدين لحساب قيمة هاتين النسبتين وتحديد إذا ما كانتا متساويتين أم لا. دعونا الآن نفرغ بعض المساحة على الشاشة لنفعل ذلك.

لنبدأ بحساب ‪𝑉b‬‏ على ‪𝑉r‬‏. وتلك هي نسبة السرعة التي يمثلها الخط الأزرق إلى السرعة التي يمثلها الخط الأحمر. وبالتعويض عن ‪𝑉b‬‏ بمترين لكل ثانية وعن ‪𝑉r‬‏ بمتر واحد لكل ثانية، نجد أن هذه النسبة تساوي مترين لكل ثانية مقسومًا على متر واحد لكل ثانية. وفي هذا التعبير، نلاحظ أننا سنحذف وحدتي المتر لكل ثانية من البسط والمقام، لتتبقى لدينا كمية لا بعدية. بعد ذلك، بإيجاد قيمة اثنين مقسومًا على واحد، نجد أن نسبة ‪𝑉b‬‏ إلى ‪𝑉r‬‏ تساوي اثنين.

والآن، دعونا نحسب ‪𝑉r‬‏ على ‪𝑉g‬‏. وتلك هي نسبة السرعة التي يمثلها الخط الأحمر إلى السرعة التي يمثلها الخط الأخضر. وبالتعويض عن ‪𝑉r‬‏ بمتر واحد لكل ثانية وعن ‪𝑉g‬‏بـ 0.5 متر لكل ثانية، نحصل على هذا التعبير الموضح هنا. ومثلما فعلنا من قبل، نحذف وحدتي المتر لكل ثانية من البسط والمقام. وعليه يتبقى لدينا واحد مقسومًا على 0.5، وهو ما يعني أن النسبة تساوي اثنين.

وبما أننا حصلنا على النسبة نفسها، والتي تساوي اثنين، في كلتا الحالتين، فيمكننا القول إن هذه العبارة صحيحة بالفعل. وعليه، فإن إجابتنا عن هذا السؤال هي نعم. النسبة بين السرعات المناظرة للخطوط في التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن هي نفسها لأي خطين متجاورين.