نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نطرح الأعداد النسبية التي تتضمن الكسور والأعداد العشرية. قبل النظر في طرح الأعداد النسبية، دعونا نذكر أنفسنا بتعريف الأعداد النسبية.
ينص التعريف المنهجي على أن الأعداد النسبية هي أعداد يمكن كتابتها على الصورة ﻡ على ﻥ، حيث ﻡ وﻥ عددان صحيحان وﻥ لا يساوي صفرًا. من الممكن تكوين الأعداد النسبية بقسمة عددين صحيحين؛ ﻡ على ﻥ. هناك طريقة أخرى للتفكير في ذلك، وهي كتابة الأعداد النسبية في صورة كسر مكون من عددين صحيحين. ليس بالضرورة أن تكون القيمة بهذه الصورة لكي تعبر عن عدد نسبي. فعلى سبيل المثال، العدد ٠٫٥ ليس مكتوبًا على الصورة ﻡ على ﻥ، لكننا نعلم أن خمسة أعشار يساوي نصفًا. ونظرًا لأن العدد ٠٫٥ يمكن كتابته على الصورة واحد على اثنين، فهذا يعني أنه عدد نسبي.
جميع الأعداد الصحيحة، التي تمثل مجموعة الأعداد الكلية ومعكوساتها، هي أعداد نسبية. هناك مجموعة جزئية من الأعداد الصحيحة النسبية، وهي مجموعة الأعداد الكلية. وهناك مجموعة جزئية من الأعداد الكلية، وهي مجموعة الأعداد الطبيعية التي تعرف أحيانًا باسم «أعداد العد». والأعداد الطبيعية هي مجموعة الأعداد التي تبدأ من العدد واحد وتستمر في الزيادة بمقدار واحد. تتضمن الأعداد الكلية القيمة صفرًا. وتتضمن الأعداد الصحيحة القيم السالبة. ويمكن أن تكون القيم النسبية أعدادًا عشرية ما دام أنه يمكن كتابتها في صورة كسور. على سبيل المثال، نعلم أن ٠٫٣ دوري يساوي ثلثًا. إذن العدد ٠٫٣ دوري هو عدد نسبي.
الأعداد الكسرية هي أعداد نسبية وكذلك الكسور غير الفعلية. لكننا في هذا الفيديو، نريد أن نتحدث عن طرح الأعداد النسبية، وهو ما يذكرني بشيء اعتادت جدتي أن تقوله. التفاح والبرتقال! دعوني أشرح المقصود بذلك. هذه مجرد عبارة تقال عندما لا نتمكن من مقارنة مجموعتين أو عنصرين عمليًّا. فعند طرح الأعداد النسبية، لا نريد طرح القيم غير المكتوبة على الصورة نفسها. على سبيل المثال، إذا أردنا أن نقول اثنين ونصفًا ناقص ٠٫٣ دوري، فهذا يعني أننا بدأنا بعدد كسري ونحاول طرح عدد عشري دوري منه. وهذا هو المقصود بعبارة التفاح والبرتقال.
لكن، إذا كتبنا العدد ٠٫٣ دوري في صورة كسر وأعدنا كتابة اثنين ونصف في صورة كسر غير فعلي، فسيصبح العددان مكتوبين على الصورة نفسها وعندئذ يمكننا الطرح. إذن مفتاح طرح الأعداد النسبية هو التأكد أولًا أن القيم مكتوبة على الصورة نفسها. حيث علينا طرح التفاح من التفاح أو البرتقال من البرتقال. دعونا الآن نتناول بعض الأمثلة.
أوجد قيمة خمسين ناقص أربعة أخماس في أبسط صورة.
عندما ننظر إلى المقدار خمسان ناقص أربعة أخماس، نلاحظ أن كلتا القيمتين عبارة عن كسرين. ولهما نفس المقام. بما أن الكسرين على نفس الصورة ولهما نفس المقام، فلإجراء عملية الطرح، سنطرح البسطين ويظل المقام كما هو. هذا يعني أن لدينا اثنين ناقص أربعة على خمسة. نحن نعلم أن اثنين ناقص أربعة يساوي سالب اثنين. والمقام هو خمسة. إذن، خمسان ناقص أربعة أخماس يساوي سالب اثنين على خمسة.
في المثال الأول، طرحنا كسرين. في المثال التالي، سنتناول كيفية طرح عدد كسري من عدد كسري آخر.
احسب قيمة تسعة وثلاثة على ١٢ ناقص اثنين وثمانية على ١٢. أوجد الإجابة في صورة عدد كسري.
نحن نريد طرح عدد كسري من عدد كسري آخر. وللقيام بذلك، هناك بعض الأمور التي يجب أن نفكر فيها. أولًا، بالنسبة إلى الجزأين الكسريين في العددين الكسريين، هل توجد مقامات متشابهة؟ في هذه المسألة، للعددين نفس المقام وهو ١٢. بعد ذلك، يمكننا تحويل هذين العددين الكسريين إلى كسرين غير فعليين. لكن بما أنه علينا كتابة الإجابة النهائية في صورة عدد كسري، هناك أيضًا طريقة أخرى يمكننا استخدامها.
يمكننا محاولة طرح ثمانية على ١٢ من ثلاثة على ١٢، لكننا سنواجه مشكلة لأن ثمانية على ١٢ أكبر من ثلاثة على ١٢. إذن علينا على الأقل إعادة كتابة تسعة وثلاثة على ١٢. إحدى طرق فعل ذلك هي أن نطرح واحدًا من العدد الكلي تسعة ونجعله ثمانية. وعندما نفعل ذلك، يمكننا إضافة ١٢ إلى البسط. هذا لأننا طرحنا واحدًا من العدد الكلي، وهو ما يساوي ١٢ على ١٢. ١٢ على ١٢ زائد ثلاثة على ١٢ يساوي ١٥ على ١٢. ثمانية و١٥ على ١٢ هو نفسه تسعة وثلاثة على ١٢. فالعدد مكتوب بصورة مختلفة فحسب.
إذن، يمكننا قول ثمانية و١٥ على ١٢ ناقص اثنين وثمانية على ١٢. في هذه الحالة، يمكننا طرح العددين الكليين والجزأين الكسريين. لطرح ثمانية على ١٢ من ١٥ على ١٢، نقول ١٥ ناقص ثمانية يساوي سبعة. ويظل المقام كما هو ١٢. سننتقل الآن إلى العددين الكليين. ثمانية ناقص اثنين يساوي ستة. هذا يعني أن تسعة وثلاثة على ١٢ ناقص اثنين وثمانية على ١٢ يساوي ستة وسبعة على ١٢. الإجابة في صورة عدد كسري بالفعل. ولا يمكننا تبسيط سبعة على ١٢ أكثر من ذلك، إذن الإجابة النهائية هي ستة وسبعة على ١٢.
في المثال التالي، لدينا عددان كسريان أيضًا، لكننا لن نبدأ هذه المرة بمقامين متشابهين.
احسب قيمة سبعة وربع ناقص أربعة وخمسة أثمان. أوجد الإجابة في صورة عدد كسري.
عندما ننظر إلى المقدار سبعة وربع ناقص أربعة وخمسة أثمان، نجد أن كليهما عدد كسري. لكن الجزأين الكسريين في العددين الكسريين ليس لهما مقام متشابه. ونحن نعلم أنه لكي نتعامل مع هاتين القيمتين، يجب أن تكونا بنفس الصورة. بما أن المقامين لدينا هما أربعة وثمانية ونعلم أن العدد أربعة هو أحد عوامل العدد ثمانية؛ حيث إن أربعة في اثنين يساوي ثمانية، فهذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة ربع على صورة ثمنين. بمجرد أن نفعل ذلك، يصبح لدينا سبعة وثمنان ناقص أربعة وخمسة أثمان.
ومع ذلك، ما زلنا غير مستعدين لإجراء عملية الطرح لأننا نحاول طرح خمسة أثمان من ثمنين. وهذا يعني أنه في العدد الكسري الأول سبعة وثمنين، علينا أن نستلف من جزء العدد الكلي. إذا طرحنا واحدًا من سبعة، فسيتبقى لنا ستة. وهذه القيمة الكلية التي طرحناها تساوي الكسر ثمانية على ثمانية. إذا جمعنا ثمنين زائد ثمانية على ثمانية، فسنحصل على عشرة أثمان. والعدد الكسري ستة وعشرة أثمان هو نفسه سبعة وربع، لكنه مكتوب بصورة مختلفة.
والآن أصبحنا مستعدين لطرح ستة وعشرة أثمان ناقص أربعة وخمسة أثمان. لطرح الجزء الكسري، بما أن المقامين متشابهان، نقول ١٠ ناقص خمسة. أي إننا نطرح البسطين. والمقام لن يتغير. عشرة أثمان ناقص خمسة أثمان يساوي خمسة أثمان. بعد ذلك، نطرح جزأي العددين الكليين. ستة ناقص أربعة يساوي اثنين، وهو ما يعطينا اثنين وخمسة أثمان. لا يمكن تبسيط خمسة أثمان أكثر من ذلك. إذن، اثنان وخمسة أثمان عدد كسري، وهو الحل النهائي.
حتى الآن، حسبنا القيم المعطاة بالصورة نفسها. في المثال التالي، علينا إيجاد الفرق بين عدد عشري وكسر.
أوجد الفرق بين سالب ٠٫٨٥ وخمسين، واكتب إجابتك في صورة كسر في أبسط صورة.
يمكن كتابة الفرق بين سالب ٠٫٨٥ وخمسين على الصورة سالب ٠٫٨٥ ناقص خمسين. لكن بمجرد الوصول إلى هذه النقطة، تصبح لدينا مشكلة. وهي أن لدينا قيمتين بصورتين مختلفتين، ما يعني أنه علينا اتخاذ قرار. يمكننا تحويل خمسين إلى عدد عشري لكي نطرح عددًا عشريًّا من عدد عشري آخر. أو يمكننا تحويل سالب ٠٫٨٥ إلى كسر لكي نطرح كسرًا من كسر آخر. يمكن استخدام كلتا الطريقتين، ولكن مطلوب منا كتابة الإجابة في صورة كسر في أبسط صورة. هذا يعني أنه من الأفضل أن نطرح كسرًا من كسر.
إذن، علينا التفكير في كيفية كتابة سالب ٠٫٨٥ في صورة كسر. بما أن العدد خمسة في سالب ٠٫٨٥ يقع في خانة الأجزاء من مائة، نقول إنه يساوي سالب خمسة وثمانين من مائة. وفي صورة كسر، فهو يساوي سالب ٨٥ على ١٠٠. لكن قبل أن نكمل الحل، قد نريد معرفة إذا ما كان يمكننا تبسيط خمسة وثمانين من مائة أو لا. العددان ٨٥ و١٠٠ يقبلان القسمة على خمسة. سالب ٨٥ على خمسة يساوي سالب ١٧ و١٠٠ على خمسة يساوي ٢٠، ما يعني أن نقول سالب ١٧ على ٢٠ ناقص خمسين.
يمكننا ملاحظة أنه لا توجد مقامات متشابهة بين الكسرين. لكننا نعلم أن خمسة في أربعة يساوي ٢٠. وهذا يعني أنه يمكننا ضرب خمسين في أربعة على أربعة. اثنان في أربعة يساوي ثمانية، وخمسة في أربعة يساوي ٢٠. أصبح لدينا الآن سالب ١٧ على ٢٠ ناقص ثمانية على ٢٠. بما أن لدينا الآن مقامين متشابهين، يمكننا إجراء عملية الطرح عن طريق طرح البسطين، أي سالب ١٧ ناقص ثمانية. ولن يتغير المقام. حيث يظل المقام ٢٠ كما هو. سالب ١٧ ناقص ثمانية يساوي القيمة السالبة لـ ١٧ زائد ثمانية. وهذا يساوي سالب ٢٥.
إذن، لدينا سالب ٢٥ على ٢٠. هاتان القيمتان تقبلان القسمة على خمسة. سالب ٢٥ مقسومًا على خمسة يساوي سالب خمسة. و ٢٠ على خمسة يساوي أربعة. هذا يعني أن سالب ٠٫٨٥ ناقص خمسين يساوي سالب خمسة أرباع.
والآن، نحن مستعدون لنتناول مثالًا آخر.
احسب قيمة سبعة أرباع ناقص سالب نصف، أوجد الإجابة في أبسط صورة.
لدينا المقدار سبعة أرباع ناقص سالب واحد على اثنين. نحن نعرف أن هاتين القيمتين عبارة عن كسرين. ومع ذلك، ليس لهما المقام نفسه. ونعلم أنه لجمع الكسور أو طرحها، علينا أولًا إيجاد مقامات متشابهة. نحن نبحث عن المضاعف المشترك الأصغر بين العددين اثنين وأربعة، والذي يشار إليه أحيانًا بالاختصار م.م.أ. إذا فكرنا في مضاعفات العدد اثنين، فسنجد أن لدينا اثنين وأربعة وستة. لكن أربعة من مضاعفات العدد اثنين بالفعل. وهذا يعني أن المضاعف المشترك الأصغر لاثنين وأربعة هو أربعة.
لن نجري أي تغييرات على الكسر سبعة أرباع، لكننا سنعيد كتابة سالب نصف ليكون في صورة كسر مقامه أربعة. اثنان في اثنين يساوي أربعة. وسالب واحد في اثنين يساوي سالب اثنين. هذا يعني أن المقدار الجديد هو سبعة أرباع ناقص سالب ربعين. نتذكر أيضًا أنه عند طرح قيمة سالبة، يمكننا إعادة كتابة ذلك في صورة جمع. إذن، سبعة أرباع ناقص سالب ربعين يساوي سبعة أرباع زائد ربعين.
بمجرد أن يصبح لدينا كسران لهما مقامان متشابهان، نجمعهما معًا عن طريق جمع بسطيهما. سبعة زائد اثنين يساوي تسعة. والمقام لن يتغير. سبعة أرباع زائد ربعين يساوي تسعة أرباع. نريد أن نكتب هذه الإجابة في أبسط صورة. وهذا يعني أننا نريد أن نتأكد من وجود أي عامل مشترك بين البسط والمقام. العددان تسعة وأربعة ليس بينهما أي عامل مشترك باستثناء العدد واحد. وهذا يجعل الكسر تسعة أرباع في أبسط صورة.
في السؤال الأخير، سنستعين بكل هذه المهارات معًا عند طرح قيم بثلاث صور مختلفة.
أوجد قيمة خمسة على ١٢ ناقص سالب ثلث ناقص ٠٫٧٥.
في هذا المقدار، لدينا كسران بمقامين غير متشابهين ولدينا قيمة عشرية. لإجراء عملية الطرح، نريد أن تكون جميع هذه القيم الثلاث على الصورة نفسها. وهذا يعني أن علينا إعادة كتابة هذه القيم في صورة كسور لها مقامات متشابهة. قبل أن نفكر في المقامات المتشابهة، دعونا نبدأ بالقيمة العشرية ونكتبها في صورة كسر.
يحتوي العدد ٠٫٧٥ على الرقم خمسة في خانة الأجزاء من مائة، وهو ما يعني أنه يمكن كتابة ٠٫٧٥ ككسر على الصورة ٧٥ على ١٠٠. لكن العددين ٧٥ و١٠٠ يقبلان القسمة على ٢٥. ٧٥ على ٢٥ يساوي ثلاثة، و١٠٠ على ٢٥ يساوي أربعة. إذن، ٧٥ جزءًا من مائة يساوي ثلاثة أرباع. قد تكون على علم بهذه القيمة بالفعل. فهي تعبر عن عدد عشري وكسر شائعين. ٧٥ جزءًا من مائة يساوي ثلاثة أرباع.
إذن، المقدار الجديد هو خمسة على ١٢ ناقص سالب ثلث ناقص ثلاثة أرباع. علينا إيجاد مقام متشابه بين ١٢ وثلاثة وأربعة. ولإيجاد هذا المقام المتشابه، سنحتاج إلى المضاعف المشترك الأصغر. إذا ذكرنا مضاعفات العدد ثلاثة، فسنجد لدينا ثلاثة وستة وتسعة و١٢ و١٥. بفعل ذلك مع العدد أربعة أيضًا، سيكون لدينا أربعة وثمانية و١٢ و١٦. وهنا سنجد أن العدد ١٢ من مضاعفات كل من ثلاثة وأربعة. هذا يعني أن ١٢ هو المضاعف المشترك الأصغر بين هذه القيم الثلاثة.
نريد بعد ذلك إعادة كتابة كل هذه الكسور بحيث تكون مقاماتها ١٢. يظل الكسر خمسة على ١٢ كما هو. وهنا يمكننا القول إن طرح سالب ثلث يماثل جمع ثلث. إذا أردنا كتابة ثلث في صورة كسر مقامه ١٢، فعلينا ضرب الكسر في أربعة على أربعة. ولإعادة كتابة الكسر ثلاثة أرباع ليصبح مقامه ١٢، نضرب البسط والمقام في ثلاثة، ما يعني أن المقدار الجديد هو خمسة على ١٢ زائد أربعة على ١٢ ناقص تسعة على ١٢.
بمجرد أن يصبح لدينا مقامات متشابهة، يمكننا الجمع والطرح من خلال جمع البسطين وطرح البسط الثالث منهما. والمقام لن يتغير. إذن لدينا خمسة زائد أربعة ناقص تسعة على ١٢. خمسة زائد أربعة يساوي تسعة، وتسعة ناقص تسعة يساوي صفرًا. صفر على ١٢ يساوي صفرًا. هذا يعني أن خمسة على ١٢ ناقص سالب ثلث ناقص ٠٫٧٥ يساوي صفرًا.
قبل أن ننتهي، دعونا نراجع سريعًا النقاط الأساسية. عند طرح الأعداد النسبية في صورة كسور، بما في ذلك الأعداد الكسرية، نكتب جميع القيم بمقامات متشابهة باستخدام المضاعف المشترك الأصغر. عند طرح الأعداد النسبية في صورة أعداد عشرية وكسور، نكتب جميع القيم في صورة أعداد عشرية، أو بدلًا من ذلك، نكتب جميع القيم في صورة كسور لها مقامات متشابهة.
