نسخة الفيديو النصية
أي من الدوال الآتية يمثلها المنحنى؟ (أ) ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ تربيع زائد اثنين. (ب) ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ تربيع ناقص اثنين. (ج) ﺩﺱ تساوي سالب اثنين ﺱ تربيع ناقص اثنين. (د) ﺩﺱ تساوي اثنين ناقص اثنين ﺱ تربيع. (هـ) ﺩﺱ تساوي اثنين ناقص ﺱ تربيع.
سنبدأ بتحديد بعض الخواص الرئيسية للمنحنى المعطى. في البداية، يمكننا ملاحظة أن المنحنى له شكل قطع مكافئ. وهذا يعني أنه يمثل دالة تربيعية. الصورة العامة للدالة التربيعية هي ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ؛ حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت حقيقية وﺃ لا يساوي صفرًا. يمكننا أيضًا ملاحظة أن هذا قطع مكافئ على شكل حرف U، أو ما يمكننا وصفه بأنه قطع مكافئ مفتوح لأعلى. وهذا يوضح أن المعامل الرئيسي، أي ﺃ أو معامل ﺱ تربيع، موجب.
جميع القطوع المكافئة هنا متماثلة. ويمكننا ملاحظة أنه بالنسبة إلى هذا القطع المكافئ، فإن خط تماثله هو المحور ﺹ أو الخط الذي معادلته هي ﺱ يساوي صفرًا. بجانب هذا، نلاحظ أن رأس هذا القطع المكافئ يقع على المحور ﺹ. ومن ثم، يمكننا قول إن قيمة ﺏ في الصورة العامة للدالة التربيعية التي كتبناها تساوي صفرًا. وتكون الدالة التربيعية التي نبحث عنها عندئذ هي الدالة على الصورة ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺟ.
علينا الآن إيجاد قيمتي ﺃ وﺟ. لإيجاد قيمة ﺟ أولًا، دعونا نسترجع أن قيمة ﺟ تناظر الجزء المقطوع من المحور ﺹ بواسطة المنحنى. ونحن نعرف ذلك؛ لأن الجزء المقطوع من المحور ﺹ يكون عند ﺱ يساوي صفرًا. وﺩ لصفر تساوي ﺃ مضروبًا في صفر تربيع زائد ﺟ، وهو ما يساوي ﺟ. بالنظر إلى المنحنى، نجد أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي اثنين. وبهذا، تكون قيمة ﺟ هي اثنين.
لدينا الآن الدالة ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد اثنين. ولإيجاد قيمة ﺃ، التي نعرف أنها موجبة، يمكننا استخدام إحداثيات أي نقطة أخرى على المنحنى. سنستخدم النقطة التي إحداثياتها اثنان، ١٠ على سبيل المثال. نحن نعلم أنه عند ﺱ يساوي اثنين، فإن ﺩﺱ تساوي ١٠. ومن ثم، بالتعويض ١٠ عن ﺩﺱ، واثنين عن ﺱ، واثنين عن ﺟ، الذي أوجدنا قيمته منذ قليل، تصبح لدينا المعادلة ١٠ يساوي ﺃ مضروبًا في اثنين تربيع زائد اثنين. اثنان تربيع يساوي أربعة. وبطرح اثنين من كلا الطرفين، نحصل على ثمانية يساوي أربعة ﺃ. وأخيرًا، يمكننا قسمة كلا طرفي المعادلة على أربعة، ونجد بذلك أن ﺃ يساوي اثنين.
إذن، باستخدام الصورة العامة ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺟ، وجدنا أن كلًّا من ﺃ وﺟ يساوي اثنين. وبهذا تكون معادلة الدالة التي يمثلها المنحنى هي ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ تربيع زائد اثنين، وهذا يتوافق مع الخيار (أ).
يمكننا التحقق من إجابتنا باستخدام إحداثيات أي نقطة أخرى تقع على المنحنى. سنختار النقطة التي إحداثياتها سالب ثلاثة، ٢٠. بالتعويض بـ ﺱ يساوي سالب ثلاثة في الدالة ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ تربيع زائد اثنين، نحصل على ﺩ لسالب ثلاثة تساوي اثنين مضروبًا في سالب ثلاثة تربيع زائد اثنين. وهذا يساوي اثنين مضروبًا في تسعة، أي ١٨ زائد اثنين، وهو ما يعطينا ٢٠. وهذا يؤكد أننا اخترنا الدالة الصحيحة.
يمكننا أيضًا النظر إلى الدوال الأخرى واستبعادها كلها لعدة أسباب. على سبيل المثال، بما أن القطع المكافئ لدينا على شكل حرف U، أي مفتوح لأعلى، فإن قيمة ﺃ أي معامل ﺱ تربيع، لا بد أن تكون موجبة كما ذكرنا من قبل. وهذا يجعلنا نستبعد الخيارات (ج) و(د) و(هـ)؛ لأن في كل دالة من هذه الدوال يكون معامل ﺱ تربيع سالبًا. وفي الخيار (ب)، توضح الدالة بالفعل المعامل الصحيح لـ ﺱ تربيع. لكن في هذه الحالة، الجزء المقطوع من المحور ﺹ هو سالب اثنين وليس موجب اثنين. لذا يمكننا استبعاد الخيار (ب) كذلك.
إذن، لقد وجدنا أن الدالة التي يمثلها المنحنى هي ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ تربيع زائد اثنين.
