فيديو السؤال: إيجاد متجه بمعلومية معياره وجيوب تمام اتجاهه الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد المتجه ﺃ الذي معياره ٦١، وجيوب تمام اتجاهه نصف، وسالب نصف، وجذر اثنين على اثنين.

دعونا نبدأ بتذكير أنفسنا بتعريف جيوب تمام الاتجاه للمتجه ﺃ. لأي متجه ﺃ مركباته ﺃﺱ وﺃﺹ وﺃﻉ، فإن زوايا الاتجاه هي الزوايا 𝜃ﺱ، و𝜃ﺹ، و𝜃ﻉ، التي يصنعها المتجه ﺃ مع المحاور ﺱ وﺹ وﻉ، على الترتيب. جيوب تمام الاتجاه هي جيوب التمام لزوايا الاتجاه، حيث نتذكر أن معيار المتجه هو مقداره.

نتذكر أيضًا أنه في المثلث القائم الزاوية، جيب تمام الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور للزاوية مقسومًا على طول الوتر. في هذا السؤال، جيب تمام زاوية الاتجاه 𝜃ﺱ يساوي المركبة ﺱ للمتجه ﺃ مقسومة على مقدار المتجه ﺃ، وبالمثل لجيبي تمام زاويتي الاتجاه 𝜃ﺹ و𝜃ﻉ. نكتب جيوب تمام الاتجاه على الصورة الإحداثية، كما هو موضح.

لدينا الآن جيوب تمام اتجاه المتجه ﺃ ومعياره أو مقداره. وسنستخدم هذه المعطيات لإيجاد المركبات ﺃﺱ وﺃﺹ وﺃﻉ للمتجه ﺃ. بالنظر إلى معادلات جيب تمام الاتجاه الثلاث، فبأخذ جتا 𝜃ﺱ، على سبيل المثال، وبضرب الطرفين في المعيار ﺃ، نجد أن المعيار ﺃ مضروبًا في جتا 𝜃ﺱ يساوي المركبة ﺱ للمتجه ﺃ. وبتطبيق العملية نفسها على المركبتين ﺹ وﻉ، نحصل على المركبات الثلاث للمتجه ﺃ بدلالة جيوب تمام الاتجاه والمعيار.

نعرف من المعطيات أن جيوب تمام الاتجاه جتا 𝜃ﺱ يساوي نصفًا، وجتا 𝜃ﺹ يساوي سالب نصف، وجتا 𝜃ﻉ يساوي جذر اثنين على اثنين، وأن المعيار يساوي ٦١. وبالتعويض بهذه القيم في معادلات المركبات ﺃﺱ وﺃﺹ وﺃﻉ، نحصل على ٦١ مضروبًا في نصف يساوي ﺃﺱ، و٦١ مضروبًا في سالب نصف يساوي ﺃﺹ، و٦١ مضروبًا في جذر اثنين على اثنين يساوي ﺃﻉ.

إذن، المتجه الذي معياره ٦١ وجيوب تمام اتجاهه تساوي نصفًا، وسالب نصف، وجذر اثنين على اثنين، مركباته هي ٦١ على اثنين، وسالب ٦١ على اثنين، و٦١ جذر اثنين على اثنين.