فيديو السؤال: إيجاد تكامل دالة تتضمن دوال مثلثية باستخدام التكامل بالتعويض الرياضيات

أوجد التكامل (٩ جا (ﺱ‏/‏٢) − ٢ ظا ٢ﺱ + ٨)^٣((٩‏/‏٢) جتا ﺱ‏/‏٢ − ٤ قا^٢ ٢ﺱ)ﺩﺱ.

٠٣:٥٢

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد التكامل غير المحدد لتسعة جا ﺱ على اثنين ناقص اثنين ظا اثنين ﺱ زائد ثمانية الكل تكعيب مضروبًا في تسعة على اثنين في جتا ﺱ على اثنين ناقص أربعة قا تربيع اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

يمكننا ملاحظة أن الدالة التي سيتم تكاملها معقدة جدًّا في هذه المسألة. ولن نتمكن من حساب هذا التكامل مباشرة. في الواقع، محاولة تبسيط الدالة التي سيتم تكاملها لن تسهل هذا التكامل. لذا، علينا استخدام إحدى الطرق المختلفة لحساب هذا التكامل. لحساب هذا التكامل، علينا ملاحظة أن تسعة على اثنين في جتا ﺱ على اثنين ناقص أربعة قا تربيع اثنين ﺱ هو في الواقع مشتقة الدالة الداخلية لهذه الدالة المركبة. أي إنه مشتقة تسعة جا ﺱ على اثنين ناقص اثنين ظا اثنين ﺱ زائد ثمانية.

ملاحظة هذه الحقيقة ستدفعنا لمحاولة استخدام طريقة التعويض بـ ﻉ لحساب هذا التكامل. سنبدأ بوضع ﻉ يساوي تسعة جا ﺱ على اثنين ناقص اثنين ظا اثنين ﺱ زائد ثمانية. بعد ذلك، نشتق كلا طرفي التعبير بالنسبة إلى ﺱ، باستخدام حقيقة أن مشتقة جا ﺃﺱ، حيث ﺃ ثابت، تساوي ﺃ في جتا ﺃﺱ؛ ومشتقة ظا ﺃﺱ، حيث ﺃ ثابت، تساوي ﺃ في قا تربيع ﺃﺱ. وهذا يعطينا ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي تسعة على اثنين في جتا ﺱ على اثنين ناقص أربعة في قا تربيع اثنين ﺱ. ويمكننا ملاحظة أن هذا هو العامل الثاني في الدالة التي سيتم تكاملها.

تذكر أن ﺩﻉ على ﺩﺱ ليس كسرًا. لكن، عندما نستخدم التكامل بالتعويض، يمكننا التعامل معه على أنه كسر. وهذا يعطينا المعادلة المكافئة ﺩﻉ يساوي تسعة على اثنين جتا ﺱ على اثنين ناقص أربعة قا تربيع اثنين ﺱ ﺩﺱ. والآن، نحن جاهزون لحساب التكامل باستخدام طريقة التعويض بـ ﻉ. أولًا، الجزء الداخلي من العامل الأول يساوي ﻉ. بعد ذلك، نفكر في أن تسعة على اثنين جتا ﺱ على اثنين ناقص أربعة قا تربيع اثنين ﺱ ﺩﺱ يساوي ﺩﻉ بالفعل.

إذن بدمج هذين الجزأين، يصبح التكامل هو تكامل ﻉ تكعيب بالنسبة إلى ﻉ. ويمكننا بالفعل إجراء التكامل باستخدام قاعدة القوة للتكامل، التي تنص على أنه إذا كان ﻥ لا يساوي سالب واحد، فإن تكامل ﻉ أس ﻥ بالنسبة إلى ﻉ يساوي ﻉ أس ﻥ زائد واحد مقسومًا على ﻥ زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ. نضيف واحدًا إلى أس ﻉ ونقسم على هذا الأس الجديد لـ ﻉ. في هذه الحالة، قيمة ﻥ هي ثلاثة. وبالتالي، نحصل على ﻉ أس أربعة مقسومًا على أربعة زائد ﺙ.

ويمكننا أن نترك الإجابة بهذا الشكل. ولكن، تذكر أن التكامل الأصلي معطى بدلالة ﺱ. لذا، سنستخدم التعويض بـ ﻉ يساوي تسعة جا ﺱ على اثنين ناقص اثنين ظا اثنين ﺱ زائد ثمانية لإعادة كتابة الإجابة بدلالة ﺱ. وهذا يعطينا ربعًا في تسعة جا ﺱ على اثنين ناقص اثنين ظا اثنين ﺱ زائد ثمانية أس أربعة زائد ﺙ. وهذه هي الإجابة النهائية.

إذن، باستخدام التكامل بالتعويض، أوضحنا أن تكامل تسعة جا ﺱ على اثنين ناقص اثنين ظا اثنين ﺱ زائد ثمانية تكعيب في تسعة على اثنين جتا ﺱ على اثنين ناقص أربعة قا تربيع اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ربعًا في تسعة جا ﺱ على اثنين ناقص اثنين في ظا اثنين ﺱ زائد ثمانية أس أربعة زائد ثابت التكامل ﺙ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.