نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﻝ زائد ثلاثة وﻡ زائد ثلاثة جذري المعادلة: ﺱ تربيع زائد ثمانية ﺱ زائد ١٢ يساوي صفرًا، فأوجد في أبسط صورة المعادلة التربيعية التي يكون جذراها ﻝ وﻡ.
في هذه المسألة، مطلوب منا العمل عكسيًّا؛ إذ لدينا جذرا معادلة تربيعية، وعلينا إيجاد المعادلة نفسها. فلنر كيف سنفعل ذلك. إذا كان للمعادلة التربيعية الجذران ﻝ وﻡ، فيمكن تحليلها إلى ﺱ ناقص ﻝ في ﺱ ناقص ﻡ.
والآن، لنضرب القوسين في بعضهما لنرى شكل مفكوك المعادلة التربيعية بدلالة ﻝ وﻡ. سيصبح لدينا ﺱ تربيع ناقص ﻝﺱ ناقص ﻡﺱ زائد ﻝﻡ يساوي صفرًا. ومن ثم، يمكن تحليل حدي ﺱ لنحصل على ﺱ تربيع ناقص ﻝ زائد ﻡ في ﺱ، زائد ﻝﻡ يساوي صفرًا. فلنلق نظرة أقرب على المعامل في صورته التحليلية.
معامل ﺱ هو سالب ﻝ زائد ﻡ، وﻝ زائد ﻡ هو مجموع الجذرين. والحد الثابت هو موجب ﻝﻡ، أي، موجب حاصل ضرب الجذرين. ومعنى ذلك أنه إذا كان بإمكاننا إيجاد مجموع ﻝ وﻡ وحاصل ضرب ﻝ وﻡ، فسنتمكن من تحديد المعادلة التربيعية التي لها هذان الجذران.
وقد عرفنا من المسألة أن هناك معادلة تربيعية أخرى، هي ﺱ تربيع زائد ثمانية ﺱ زائد ١٢ يساوي صفرًا، جذراها هما ﻝ زائد ثلاثة وﻡ زائد ثلاثة. فلنر كيف يساعدنا ذلك. يمكننا أولًا كتابة هذه المعادلة التربيعية على نحو مختلف بعض الشيء، عن طريق كتابة الحد الأوسط موجب ثمانية ﺱ في صورة سالب سالب ثمانية ﺱ. وباستخدام ما حددناه توًّا، فإن ذلك يعني أنه بالنسبة إلى هذه المعادلة التربيعية، فإن مجموع جذريها يساوي سالب ثمانية، وحاصل ضرب جذريها ١٢.
تذكر أن جذري هذه المعادلة التربيعية هما ﻝ زائد ثلاثة وﻡ زائد ثلاثة. لذا، يمكننا كتابة معادلتين. أولًا، بما أن مجموع الجذرين يساوي سالب ثمانية، فلدينا المعادلة ﻝ زائد ثلاثة زائد ﻡ زائد ثلاثة يساوي سالب ثمانية. ثانيًا، بما أن حاصل ضرب الجذرين في بعضهما يساوي ١٢، فلدينا المعادلة ﻝ زائد ثلاثة في ﻡ زائد ثلاثة يساوي ١٢.
يمكننا الآن استخدام هاتين المعادلتين لإيجاد مجموع ﻝ وﻡ وحاصل ضربهما، حتى نستطيع التعويض بهما في المعادلة التربيعية التي نحاول إيجادها. يمكن تبسيط المعادلة الأولى من خلال جمع العددين ثلاثة وثلاثة، لنحصل على ﻝ زائد ﻡ زائد ستة يساوي سالب ثمانية. وطرح ستة من كلا الطرفين يعطينا ﻝ زائد ﻡ يساوي سالب ١٤. وبذلك، نكون قد أوجدنا مجموع ﻝ وﻡ. ويعني ذلك أننا سنتمكن من تحديد معامل ﺱ في معادلتنا التربيعية. إن مجموع ﻝ وﻡ هو سالب ١٤، وهو ما يعني أن معامل ﺱ سيكون سالب سالب ١٤، أو ١٤.
والآن، لننظر إلى المعادلة الثانية. إن فك القوسين يعطينا ﻝﻡ زائد ثلاثة ﻝ زائد ثلاثة ﻡ زائد تسعة يساوي ١٢. وطرح تسعة من كلا طرفي المعادلة يعطينا ﻝﻡ زائد ثلاثة ﻝ زائد ثلاثة ﻡ يساوي ثلاثة. تذكر أننا لا زلنا نسعى إلى تحديد حاصل ضرب الجذرين، أي ﻝﻡ. لذا، فهذه المعادلة يبدو أنها ستكون مفيدة. يمكننا تحليل موجب ثلاثة ﻝ زائد ثلاثة ﻡ لنحصل على ﻝﻡ زائد ثلاثة في ﻝ زائد ﻡ يساوي ثلاثة. تذكر أننا حددنا مجموع ﻝ وﻡ. وهو سالب ١٤، ما يعني أنه بإمكاننا التعويض بهذه القيمة في المعادلة.
لدينا الآن ﻝﻡ زائد ثلاثة في سالب ١٤ يساوي ثلاثة. وثلاثة في سالب ١٤ يساوي سالب ٤٢. وإذا أضفنا ٤٢ إلى الطرفين، فسنجد بذلك أن ﻝﻡ يساوي ٤٥. إذن، عرفنا الآن أيضًا حاصل ضرب ﻝ وﻡ. ويمكننا استخدام ذلك لإيجاد الحد الثابت في معادلتنا التربيعية. وبالتعويض بقيمتي ﻝ زائد ﻡ وﻝﻡ اللتين أوجدناهما في المعادلة التربيعية، يصبح لدينا ﺱ تربيع ناقص سالب ١٤ﺱ زائد ٤٥ يساوي صفرًا.
وتبسيط المعامل لحد ﺱ يعطينا المعادلة التربيعية المطلوبة في أبسط صورها. إذن، فالمعادلة التربيعية التي جذراها ﻝ وﻡ هي ﺱ تربيع زائد ١٤ﺱ زائد ٤٥ يساوي صفرًا.
