فيديو الدرس: القطع المستقيمة الخاصة في الدائرة

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم نظريات الأوتار المتقاطعة أو القواطع المتقاطعة أو المماسات والقواطع المتقاطعة، لإيجاد الأطوال الناقصة في الدائرة.

دعونا نستعرض سريعًا الأنواع المختلفة للقطع المستقيمة في الدائرة. إذا كان لدينا دائرة مركزها ﻡ، فإن نصف قطرها هو المسافة من المركز إلى أي نقطة على المحيط الخارجي. والوتر هو قطعة مستقيمة يقع طرفاها على الدائرة. والقطر هو نوع خاص من الأوتار يمر بمركز الدائرة. لدينا، بعد ذلك، نوع آخر من القطع المستقيمة يقع أحد طرفيه خارج الدائرة والطرف الآخر على الدائرة. عندما تتقاطع هذه القطعة المستقيمة مع الدائرة مرة واحدة فقط، تكون قطعة مستقيمة مماسية وتصنع زاوية قائمة مع نصف القطر عند هذه النقطة. وعندما يقع أحد طرفي القطعة المستقيمة خارج الدائرة بينما تقطع القطعة الدائرة في نقطتين، فإنها تسمى قاطعًا.

والآن بعد أن استعرضنا القطع المستقيمة المختلفة في الدائرة، علينا التعرف على نظريتين مختلفتين قبل حل أي مسألة. أولًا، لدينا نظرية الأوتار المتقاطعة. إذا تقاطع الوتر ﺃﺏ مع الوتر ﺟﺩ عند النقطة ﻫ، ﺃﻫ في ﻫﺏ سيساوي ﺟﻫ في ﻫﺩ. إذا أردنا استخدام الرموز لتمثيل هذه المسافات، فسنقول إن ﺃ شرطة في ﺏ شرطة يساوي ﺟ شرطة في ﺩ شرطة. يمكننا أيضًا إعادة ترتيب ذلك في صورة نسبة لنقول إن المسافة ﺃ شرطة على ﺟ شرطة تساوي المسافة ﺩ شرطة على ﺏ شرطة. وهذا يعني أننا إذا علمنا أي ثلاث قيم من هذه القيم، يمكننا أن نوجد القيمة الرابعة.

والآن، دعونا نستعرض نظرية أخرى، وهي نظرية القواطع المتقاطعة. إذا كان لدينا قاطعان يلتقيان عند النقطة الخارجية نفسها، فإن المسافة من ﺏ إلى ﻫ مضروبة في المسافة من ﺃ إلى ﻫ ستساوي المسافة من ﻫ إلى ﺩ مضروبة في المسافة من ﻫ إلى ﺟ. مرة أخرى، إذا أردنا استخدام الرموز لتمثيل هذه المسافات، فسنجعل ﺃ شرطة يساوي ﺏﻫ وﺏ شرطة يساوي ﻫﺃ. وﻫﺩ يساوي ﺟ شرطة، وﻫﺟ يساوي ﺩ شرطة. فنقول إن حاصل ضرب ﺃ شرطة في ﺏ شرطة سيساوي حاصل ضرب ﺟ شرطة في ﺩ شرطة. لكن ماذا إذا كان أحد المستقيمين مماسًا؟ سنستخدم هذه النظرية أيضًا إذا كان أحد المستقيمين أو كلاهما مماسًا. سنفترض أن ﻫﺏ يساوي ﺃ شرطة، وﻫﺃ يساوي ﺏ شرطة. لكن بالنسبة لهذا المماس، لدينا قطعة مستقيمة واحدة فقط، وهي المسافة ﺟ شرطة. هذا يعني أنه عندما نتعامل مع قاطع واحد ومماس واحد، ﺃ شرطة في ﺏ شرطة سيساوي ﺟ شرطة تربيع.

والآن، سنستخدم هاتين النظريتين ونرى كيف نطبقهما في أمثلة لإيجاد الأطوال الناقصة.

إذا كان ﻫﺃ على ﻫﺏ يساوي ثمانية على سبعة، وﻫﺟ يساوي سبعة سنتيمترات، وﻫﺩ يساوي ثمانية سنتيمترات، فأوجد طول كل من القطعة المستقيمة ﻫﺏ والقطعة المستقيمة ﻫﺃ.

أول ما يمكننا فعله هنا هو الاستعانة بالمعلومات المعطاة لنا وكتابتها على الشكل الموضح. طول ﻫﺟ يساوي سبعة سنتيمترات، وطول ﻫﺩ يساوي ثمانية سنتيمترات. بعد ذلك، علينا التفكير فيما نعرفه عن الأوتار المتقاطعة في الدائرة. نعلم أنه إذا ضربنا ﻫﺟ في ﻫﺩ، يجب أن يساوي ذلك ﻫﺏ مضروبًا في ﻫﺃ. ويمكننا كتابة ذلك هكذا: ﻫﺟ في ﻫﺩ يساوي ﻫﺏ في ﻫﺃ. إذن، ﻫﺏ في ﻫﺃ يجب أن يساوي سبعة في ثمانية.

في هذه المرحلة، لا يبدو أن لدينا معلومات كافية لحل المسألة. لكننا نعرف بالفعل أن ﻫﺃ على ﻫﺏ يساوي ثمانية على سبعة. وهذا يعني أن طولي القطعتين المستقيمتين ﻫﺃ وﻫﺏ بينهما تناسب يساوي ثمانية على سبعة. نفكر بعد ذلك في أن هذين الطولين يجب أن تكون النسبة بينهما ثمانية إلى سبعة، وعند ضربهما معًا يجب أن يساويا ٥٦. هذا يعني أن ﻫﺏ لا بد أن يساوي سبعة سنتيمترات، وﻫﺃ لا بد أن يساوي ثمانية سنتيمترات، بناء على نظرية الأوتار المتقاطعة.

في المثال التالي، سنتناول قاطعين متقاطعين خارج الدائرة.

إذا كان ﻫﺟ يساوي ١٠ سنتيمترات، وﻫﺩ يساوي ستة سنتيمترات، وﻫﺏ يساوي خمسة سنتيمترات، فأوجد طول القطعة المستقيمة ﻫﺃ.

عندما ننظر إلى الشكل الذي أمامنا، نلاحظ أن لدينا قاطعين يتقاطعان خارج الدائرة عند النقطة ﻫ. نضيف المعطيات من السؤال إلى الشكل: ﻫﺟ يساوي ١٠ سنتيمترات، وﻫﺩ يساوي ستة سنتيمترات، وﻫﺏ يساوي خمسة سنتيمترات. ونريد إيجاد طول ﻫﺃ. بناء على ما نعرفه عن القواطع المتقاطعة، نعلم أن ﺃ شرطة في ﺏ شرطة يجب أن يساوي ﺟ شرطة في ﺩ شرطة في هذه الحالة. وبالنسبة إلى هذه الدائرة، هذا يعني أن ﻫﺃ في ﻫﺏ يساوي ﻫﺟ في ﻫﺩ.

القيمة الناقصة لدينا هي ﻫﺃ. ‏‏ﻫﺏ يساوي خمسة، وﻫﺟ يساوي ١٠، وﻫﺩ يساوي ستة. إذن، ﻫﺃ في خمسة يجب أن يساوي ١٠ في ستة. وإذا كان ﻫﺃ في خمسة يساوي ٦٠ وقسمنا كلا طرفي هذه المعادلة على خمسة، فسنجد أن ٦٠ مقسومًا على خمسة يساوي ١٢، وهو ما يعني أن المسافة من ﻫ إلى ﺃ لا بد أن تساوي ١٢ سنتيمترًا.

في المثال التالي، علينا ألا نستخدم المعلومات التي نعرفها عن القواطع والمماسات فحسب، بل أيضًا المعلومات التي نعرفها عن المثلثات.

في الشكل التالي، نصف قطر الدائرة ١٢ سنتيمترًا، وﺃﺏ يساوي ١٢ سنتيمترًا، وﺃﺟ يساوي ٣٥ سنتيمترًا. أوجد المسافة من القطعة المستقيمة ﺏﺟ إلى مركز الدائرة ﻡ، وطول القطعة المستقيمة ﺃﺩ، لأقرب جزء من عشرة.

أول ما علينا فعله هنا هو أخذ المعلومات المعطاة في السؤال وكتابتها على الشكل الموضح. نعرف أن طول نصف قطر الدائرة ١٢ سنتيمترًا. وهذه هي المسافة من ﻡ إلى أي نقطة على المحيط الخارجي للدائرة. نعلم أيضًا أن ﺃﺏ يساوي ١٢ سنتيمترًا، وﺃﺟ يساوي ٣٥ سنتيمترًا. هذا يعني أنه يمكننا إيجاد المسافة من ﺏ إلى ﺟ. فالمسافة من ﺏ إلى ﺟ يجب أن تساوي ٣٥ ناقص ١٢، أي ٢٣ سنتيمترًا. نريد إيجاد المسافة من ﺃ إلى ﺩ، وكذلك المسافة من القطعة المستقيمة ﺏﺟ إلى منتصف الدائرة. نبحث هنا عن أقصر مسافة، وهي المسافة العمودية من القطعة المستقيمة ﺏﺟ إلى مركز الدائرة ﻡ.

وبما أن القطعة المستقيمة ﺃﺩ مماس وتقطع القاطع ﺃﺟ عند النقطة ﺃ، فإن ﺃﺩ تربيع يساوي ﺃﺏ في ﺃﺟ. ونعرف أن ﺃﺏ يساوي ١٢ سنتيمترًا وﺃﺟ يساوي ٣٥ سنتيمترًا، وهو ما يعني أن ﺃﺏ في ﺃﺟ يساوي ٤٢٠ سنتيمترًا مربعًا. لكن لإيجاد ﺃﺩ، علينا أن نأخذ الجذر التربيعي للطرفين. ما يعنينا هنا هو الجذر التربيعي الموجب فقط؛ وذلك لأننا نتحدث عن مسافة. عندما نحسب الجذر التربيعي لـ ٤٢٠، نحصل على ٢٠٫٤٩٣٩ وهكذا مع توالي الأرقام. علينا تقريب هذا العدد لأقرب جزء من عشرة. عندما نفعل ذلك، نجد أن طول ﺃﺩ يساوي ٢٠٫٥ سنتيمترًا.

والآن، يتطلب إيجاد المسافة من القطعة المستقيمة ﺏﺟ إلى ﻡ مزيدًا من المعلومات. علينا هنا تذكر ما نعرفه عن المثلثات. نعلم المسافة من ﻡ إلى ﺟ؛ لأن هذه المسافة هي نصف قطر هذه الدائرة. ومن ذلك، نعلم أنها لا بد أن تساوي ١٢ سنتيمترًا، وهو ما يعني أن المسافة من ﻡ إلى ﺏ ستكون أيضًا ١٢ سنتيمترًا. ما نراه الآن هو مثلث متساوي الساقين، حيث المسافة من ﻡ إلى القاعدة هي هذه المسافة هنا. وارتفاع المثلث المتساوي الساقين هو متوسطه أيضًا؛ ما يعني أنه يقسم القاعدة إلى نصفين. إذن يمكننا قسمة ٢٣ سنتيمترًا على اثنين، وهو ما يعطينا هذه المسافة التي تساوي ١١٫٥ سنتيمترًا.

بعد ذلك، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول ضلع ناقص في مثلث قائم الزاوية. تنص نظرية فيثاغورس على أن ﺃ شرطة تربيع زائد ﺏ شرطة تربيع يساوي ﺟ شرطة تربيع. في هذه الحالة، نصف القطر هو الوتر، ومن ثم علينا تربيع العدد ١٢. سنفترض أن ﺃ شرطة هو طول الضلع الناقص، وﺏ شرطة هو الضلع الذي طوله ١١٫٥. وبذلك يصبح لدينا ﺃ شرطة تربيع زائد ١١٫٥ تربيع يساوي ١٢ تربيع. ‏‏ﺃ شرطة تربيع زائد ١٣٢٫٢٥ يساوي ١٤٤. بعد ذلك، نطرح ١٣٢٫٢٥ من كلا الطرفين، فنحصل على ﺃ شرطة تربيع يساوي ١١٫٧٥. مرة أخرى، علينا أخذ الجذر التربيعي. ونريد الحل الموجب فقط فقط؛ لأننا نحسب مسافة. هذا يعطينا ٣٫٤٢٧٨ وهكذا مع توالي الأرقام، ونقربه إلى ٣٫٤. إذن، المسافة من القطعة المستقيمة ﺏﺟ إلى مركز الدائرة تساوي ٣٫٤ سنتيمترات، وطول ﺃﺩ يساوي ٢٠٫٥ سنتيمترًا.

في المثال التالي، سيكون لدينا قاطعان متقاطعان يشكلان مثلثًا، وسنوجد طول قطعة مستقيمة ناقصة.

في الشكل التالي، القطعة المستقيمة ﺏﺟ هي قطر للدائرة ﻡ، وﺃﺏ يساوي ﺃﺟ، وقياس الزاوية ﺏﺃﺟ يساوي ٦٠ درجة، وﺏﺱ يساوي ٢٢٫٩ سنتيمترًا، والقطعة المستقيمة ﻡﺱ عمودية على القطعة المستقيمة ﺃﺏ. أوجد طول القطعة المستقيمة ﺃﻫ.

نريد إيجاد طول القطعة المستقيمة ﺃﻫ. لكن أولًا، دعونا نأخذ المعلومات المعطاة لنا في السؤال ونضيفها إلى هذا الشكل. نعلم أن ﺏﺟ هو قطر هذه الدائرة؛ فهو وتر يمر بالمركز. هذا يعني أن القطعة المستقيمة ﻡﺟ متساوية في الطول مع القطعة المستقيمة ﻡﺏ. ونعرف أيضًا أن القطعة المستقيمة ﺃﺏ متساوية في الطول مع القطعة المستقيمة ﺃﺟ. وبما أن القطعة المستقيمة ﺃﺏ تساوي القطعة المستقيمة ﺃﺟ؛ فهذا يعني أن الزاويتين المقابلتين لهما متساويتان في القياس. هذه إحدى خصائص المثلثات.

وبما أننا نعرف أن إحدى زوايا هذا المثلث قياسها ٦٠ درجة، والزاويتين الأخريين متساويتان في القياس؛ فهذا يعني أن هذا المثلث متساوي الأضلاع. بعد ذلك، نعلم أن ﺏﺱ يساوي ٢٢٫٩ سنتيمترًا. وإذا أضفنا نصف قطر آخر من ﻡ إلى ﻫ، فسنجد أنه سيساوي طول نصف القطر من ﻡ إلى ﺏ. إذن، يمكننا القول إن القطعة المستقيمة ﻡﺱ هي منصف عمودي لـ ﻫﺏ. وبذلك، نتوصل إلى أن القطعة المستقيمة ﻫﺱ لا بد أن طولها يساوي أيضًا ٢٢٫٩ سنتيمترًا.

لكن إذا فكرنا في حقيقة أن هذا المثلث، ﻫﻡﺏ، مثلث متساوي الساقين، فيمكننا القول إن الزاويتين المقابلتين للضلعين المتساويين لا بد أن تكونا متساويتين في القياس؛ وهو ما يعني أن قياس كل من هاتين الزاويتين لا بد أن يكون ٦٠ درجة. وبالطبع، إذا كان قياس زاويتين في المثلث ٦٠ درجة، فلا بد أن يكون قياس الزاوية الثالثة ٦٠ درجة أيضًا. كيف يساعدنا ذلك؟ حسنًا، هذا يخبرنا أنه إذا جمعنا ٢٢٫٩ زائد ٢٢٫٩، فسنحصل على طول نصف قطر الدائرة. وإذا كانت المسافة من ﻡ إلى ﺏ تساوي ٤٥٫٨ سنتيمترًا، فإن المسافة من ﺟ إلى ﻡ تساوي ٤٥٫٨ سنتيمترًا. وهذا يعني أنه لإيجاد المسافة من ﺃ إلى ﺟ، علينا فقط جمع ٤٥٫٨ زائد ٤٥٫٨. وهو ما يعطينا ٩١٫٦ سنتيمترًا.

وبما أن ﺃﺏ يساوي ﺃﺟ في الطول، فلا بد أن طول ﺃﺏ يساوي أيضًا ٩١٫٦ سنتيمترًا. لكن ﺃﺏ يتكون من قطعتين مستقيمتين، إحداهما ﺃﻫ والأخرى ﻫﺏ. تذكر أن ﺃﻫ هي القيمة المجهولة لدينا، لكن ﻫﺏ تساوي ٢٢٫٩ زائد ٢٢٫٩. وعليه، فإن طول ﻫﺏ يساوي ٤٥٫٨ سنتيمترًا. وإذا كان ٩١٫٦ سنتيمترًا يساوي ﺃﻫ زائد ٤٥٫٨ سنتيمترًا، فسنطرح ٤٥٫٨ من كلا الطرفين. ونجد بذلك أن القطعة المستقيمة ﺃﻫ لا بد أن تساوي ٤٥٫٨ سنتيمترًا. وما نستنتجه من ذلك عن هذه الدائرة هو أن النقطة ﻫ تقسم القطعة المستقيمة ﺃﺏ إلى نصفين.

والآن دعونا نراجع النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. عندما نحاول إيجاد أطوال القطع المستقيمة الخاصة في الدائرة، نستخدم في الأغلب نظريتين مختلفتين للدائرة. وهما نظرية الأوتار المتقاطعة التي تنص على أن ﺃﻫ في ﻫﺏ يساوي ﺟﻫ في ﻫﺩ، ونظرية القواطع المتقاطعة التي تنص على أن ﺃﺏ في ﺃﺟ يساوي ﺃﺩ في ﺃﻫ.