فيديو الدرس: الزاوية الموجهة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نتعرف على الزاوية الموجهة، ونقيسها، وكذلك كيف نوجد قياسات الزوايا المكافئة لها. لكي نتمكن من التعامل مع الزوايا الموجهة، علينا أن نسترجع بعض الحقائق الأساسية عن الزوايا.

نبدأ بتذكر أن مجموع قياسات الزوايا حول نقطة ما يساوي ٣٦٠ درجة. بعبارة أخرى، الدورة الكاملة تساوي ٣٦٠ درجة. ويمكن توضيح ذلك على مخطط الأرباع؛ حيث يساوي ربع الدورة ٩٠ درجة ويساوي نصف الدورة ١٨٠ درجة. يمكننا أيضًا قياس الزوايا بالراديان. اثنان ‏𝜋‏ راديان يساوي ٣٦٠ درجة. بقسمة كلا الطرفين على اثنين، نجد أن ‏𝜋‏ راديان يساوي ١٨٠ درجة. ويمكن توضيح ذلك أيضًا على مخطط الأرباع.

سنوضح الآن ما نعنيه بمصطلح «الزاوية الموجهة». الزاوية الموجهة هي زاوية لها اتجاه. بشكل أكثر تحديدًا، يمكن تعريف الزاوية الموجهة بأنها زوج مرتب يمثل شعاعين، يسميان ضلعي الزاوية، لهما نقطة البداية نفسها التي تسمى رأس الزاوية. إذا قيست زاوية ما في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، يقال إنها زاوية موجبة، وإذا قيست الزاوية في اتجاه دوران عقارب الساعة، يقال إنها زاوية سالبة.

دعونا نستكشف معنى هذا التعريف بصورة أكبر. لنفترض أن لدينا الزوج المرتب ﻭﺃ، ﻭﺏ. وهذا يعني أن لدينا شعاعين: ﻭﺃ، وهو الضلع الابتدائي، وﻭﺏ، وهو الضلع النهائي، ويلتقي الشعاعان عند الرأس ﻭ كما هو موضح. إذن، يمكننا القول إن ﻭﺃ، ﻭﺏ زاوية موجهة. وعلاوة على ذلك، بما أن الزاوية مقيسة في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، فإننا نقول إنها موجبة. ويمكن أيضًا قياس الزاوية في اتجاه دوران عقارب الساعة، وحينها نحصل على زاوية سالبة كما هو موضح.

وعلى الجانب الآخر، إذا كان لدينا الزوج المرتب ﻭﺏ، ﻭﺃ، فإن هذا يناظر الزاوية الموجهة الآتية التي لها قياسان ممكنان. يمكننا ملاحظة أن «ﻭﺃ، ﻭﺏ» و«ﻭﺏ، ﻭﺃ»، ليسا متماثلين؛ لأن القياسين الموجب والسالب للزاويتين معكوسان كل منهما بالنسبة إلى الآخر. في المثال الأول، سنتناول كيفية إيجاد هذه الزوايا المكافئة مقيسة بالدرجات.

أوجد أقل قياس موجب يكافئ الزاوية التي قياسها ٧٨٨ درجة.

لنفترض أن الزاوية الموجهة التي قياسها ٧٨٨ درجة هي الزاوية المحصورة بين الشعاعين ﻭﺃ وﻭﺏ؛ حيث ﻭﺃ هو الضلع الابتدائي للزاوية وﻭﺏ هو الضلع النهائي للزاوية. وبما أن القيمة ٧٨٨ درجة تمثل زاوية موجبة، فسنقيس الزاوية المحصورة بين هذين الشعاعين في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. نحن نعلم أن الدورة الكاملة تساوي ٣٦٠ درجة. ومن ثم، سيتعين علينا إجراء دورة كاملة واحدة على الأقل للحصول على الزاوية المطلوبة. في الواقع، ٣٦٠ درجة زائد ٣٦٠ درجة يساوي ٧٢٠ درجة، وهو ما لا يزال أقل من ٧٨٨ درجة. لذا، علينا إكمال دورتين كاملتين. علينا أن نحصل على ٧٨٨ درجة، و٧٨٨ درجة ناقص ٧٢٠ درجة يساوي ٦٨ درجة. وهذا يعني أنه علينا التحرك ٦٨ درجة في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. إذن، أقل قياس موجب يكافئ الزاوية التي قياسها ٧٨٨ درجة هو ٦٨ درجة.

سنتناول الآن كيفية إيجاد قياسات الزوايا الموجبة المكافئة عندما يكون لدينا زاوية سالبة مقيسة بالدرجات.

أوجد أقل قياس موجب يكافئ سالب ٤٠ درجة.

لنفترض أن الزاوية الموجهة سالب ٤٠ درجة هي الزاوية المحصورة بين الشعاعين ﻭﺃ وﻭﺏ؛ حيث ﻭﺃ هو الضلع الابتدائي للزاوية وﻭﺏ هو الضلع النهائي للزاوية. وبما أن الزاوية التي لدينا سالبة، فإننا سنقيس الزاوية المحصورة بين هذين الشعاعين في اتجاه دوران عقارب الساعة. وهذا يعني أن الزاوية التي قياسها ٤٠ درجة ستبدو كما هو موضح في الشكل.

علينا إيجاد أقل قياس موجب يكافئ سالب ٤٠ درجة. ومن ثم، فعلينا قياس الزاوية نفسها ولكن في الاتجاه الآخر. تشير الزاوية الموجهة الموجبة إلى أنه علينا القياس في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. نتذكر أن مجموع قياسات الزوايا حول نقطة ما يساوي ٣٦٠ درجة. ومن ثم، يمكن إيجاد قياس موجب يكافئ سالب ٤٠ درجة بطرح ٤٠ درجة من ٣٦٠ درجة. إذن، أقل قياس موجب يكافئ سالب ٤٠ درجة هو ٣٢٠ درجة.

قبل أن نتناول المثال التالي، سنقدم مصطلحًا جديدًا، وهو «الزوايا المتكافئة». في هذا السؤال، كان سالب ٤٠ درجة و ٣٢٠ درجة مثالين على زاويتين متكافئتين؛ لأن لهما نفس الضلعين الابتدائي والنهائي.

الزوايا المتكافئة لها نفس الضلعين الابتدائي والنهائي. لإيجاد الزاوية المكافئة، يمكننا جمع أو طرح ٣٦٠ درجة أو اثنين ‏𝜋‏ راديان من الزاوية المعطاة. توضح الأشكال الآتية أن ٤٠ درجة، و٤٠٠ درجة، وسالب ٣٢٠ درجة زوايا متكافئة؛ لأن الزوايا الثلاث جميعها لها نفس الضلعين الابتدائي والنهائي. لاحظ أنه بما أنه يمكننا جمع أو طرح أكبر عدد ممكن من مضاعفات ٣٦٠ درجة قدر ما نريد، فإنه يوجد عدد لا نهائي من الزوايا المكافئة لأي زاوية موجهة معطاة.

سنحسب الآن قياس زاوية مكافئة موجبة وزاوية مكافئة سالبة عندما تكون الزاوية الأصلية معطاة بالراديان.

أوجد زاوية قياسها موجب وزاوية قياسها سالب مكافئتين لزاوية قياسها اثنان ‏𝜋‏ على ثلاثة راديان.

دعونا نتناول الزاوية اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة راديان. يمكننا تحويل هذا القياس إلى درجات باستخدام حقيقة أن ‏𝜋‏ راديان يساوي ١٨٠ درجة. ثلثا ١٨٠ درجة يساوي ١٢٠ درجة، إذن اثنان ‏𝜋‏ على ثلاثة راديان يساوي ١٢٠ درجة. لكننا سنحتفظ بالزاوية بالراديان في هذا السؤال. وبما أن الزاوية التي لدينا موجبة، فعلينا قياسها في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الضلع الابتدائي كما هو موضح.

نحن نتذكر أن الزوايا المتكافئة لها نفس الضلعين الابتدائي والنهائي. وهذا يعني أنه علينا إيجاد طرق بديلة للتعبير عن الزاوية نفسها. يمكننا حساب قياسات الزوايا المكافئة من خلال جمع أو طرح اثنين ‏𝜋‏ راديان من الزاوية المعطاة. لإيجاد زاوية أخرى قياسها موجب، علينا الاستمرار في القياس في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. وهذا يعني أنه علينا إضافة اثنين ‏𝜋‏ راديان إلى الزاوية التي لدينا. اثنان ‏𝜋‏ راديان يساوي ستة ‏𝜋‏ على ثلاثة راديان. وهذا يعني أنه علينا جمع اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة وستة ‏𝜋‏ على ثلاثة. وهذا يساوي ثمانية ‏𝜋‏ على ثلاثة راديان. إذن، الزاوية ذات القياس الموجب المكافئة لزاوية قياسها اثنان ‏𝜋‏ على ثلاثة هي ثمانية ‏𝜋‏ على ثلاثة راديان.

بطريقة مشابهة، يمكننا إيجاد زاوية قياسها سالب بالتحرك في اتجاه دوران عقارب الساعة. وهذا يعني أنه علينا طرح اثنين ‏𝜋‏ من الزاوية التي لدينا. اثنان ‏𝜋‏ على ثلاثة ناقص ستة ‏𝜋‏ على ثلاثة يساوي سالب أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة. إذن، الزاوية ذات القياس السالب المكافئة لزاوية قياسها اثنان ‏𝜋‏ على ثلاثة هي سالب أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة راديان. ومن ثم فالزاويتان هما ثمانية ‏𝜋‏ على ثلاثة وسالب أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة.

في الأمثلة الثلاثة الأولى، لاحظنا أنه يوجد عدد لا نهائي من الطرق لوصف زاوية معطاة. وفي بعض الأحيان نحتاج إلى حصر قياس الزاوية المعطاة. وفي هذه الحالة، نستخدم أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي.

أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي هي الزاوية المحصورة بين الضلعين الابتدائي والنهائي، المقيسة في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، وتقع قيمتها بالدرجات في الفترة المغلقة من صفر إلى ٣٦٠، وتقع قيمتها بالراديان في الفترة المغلقة من صفر إلى اثنين ‏𝜋‏. إذا كانت 𝜃 هي أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي، فإن 𝜃 تكون أكبر من أو تساوي صفر درجة وأصغر من أو تساوي ٣٦٠ درجة، أو أكبر من أو تساوي صفر راديان وأصغر من أو تساوي اثنين ‏𝜋‏ راديان.

في المثال الأخير، سنوضح كيف نحسب أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي بالراديان.

إذا كانت لدينا الزاوية سالب ٢٣‏𝜋‏ على خمسة، فأوجد أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي.

أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي هي الزاوية المقيسة في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، والمحصورة بين الضلعين الابتدائي والنهائي وقيمتها 𝜃 راديان، حيث 𝜃 أكبر من أو تساوي صفر راديان وأصغر من أو تساوي اثنين ‏𝜋‏ راديان. هذا يعني أنه علينا إيجاد قياس الزاوية المكافئة لسالب ٢٣‏𝜋‏ على خمسة راديان التي تقع بين صفر واثنين ‏𝜋‏ راديان. وبما أن الزاوية المعطاة سالبة، فستقاس في اتجاه دوران عقارب الساعة. وبما أن ٢٣‏𝜋‏ على خمسة يساوي أربعة وثلاثة أخماس ‏𝜋‏، والدورة الكاملة تساوي اثنين ‏𝜋‏ راديان، فيمكننا إكمال دورتين كاملتين. بعد ذلك، نواصل التحرك بمقدار ثلاثة أخماس ‏𝜋‏ راديان في اتجاه دوران عقارب الساعة كما هو موضح في الشكل. وبما أننا نقيس في اتجاه دوران عقارب الساعة، فإن هذه الزاوية تكون سالبة. وهي تساوي سالب ثلاثة ‏𝜋‏ على خمسة راديان.

يجب أن تكون أصغر زاوية في الوضع القياسي موجبة. لذا، علينا إيجاد قياس الزاوية المكافئة لهذه الزاوية، والتي تقاس في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. لإيجاد قياس الزاوية المكافئة التي نريدها، ومن ثم قياس أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي، نطرح ثلاثة ‏𝜋‏ على خمسة من اثنين ‏𝜋‏. هذا يكافئ ١٠‏𝜋‏ على خمسة ناقص ثلاثة ‏𝜋‏ على خمسة، وهو ما يساوي سبعة ‏𝜋‏ على خمسة راديان. إذن، أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي لسالب ٢٣‏𝜋‏ على خمسة هي سبعة ‏𝜋‏ على خمسة راديان.

سنختتم هذا الفيديو بتلخيص بعض النقاط الرئيسية. الزاوية الموجهة هي زاوية ذات اتجاه؛ حيث تكون الزاوية المقيسة في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة موجبة، وتكون الزاوية المقيسة في اتجاه دوران عقارب الساعة سالبة. الزوايا المتكافئة لها نفس الضلعين الابتدائي والنهائي. ويوجد عدد لا نهائي من الزوايا المتكافئة. أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي هي الزاوية المقيسة في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، والمحصورة بين الضلعين الابتدائي والنهائي وتساوي قيمتها 𝜃، حيث تكون 𝜃 أكبر من أو تساوي صفر درجة وأصغر من أو تساوي ٣٦٠ درجة، أو أكبر من أو تساوي صفر راديان وأصغر من أو تساوي اثنين ‏𝜋‏ راديان.