فيديو: تطبيقات على نظرية الصفر النسبي

أحمد مدحت

يوضح الفيديو استخدام نظرية الصفر النسبي لإيجاد أصفار دالة كثيرة الحدود، من خلال مثال توضيحي.

١١:٥٥

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنشوف تطبيقات على نظرية الصفر النسبي.

أول ما بنحدّد الأصفار النسبية الممكنة لدالة كثيرة حدود، نقدر نختبر كل عدد عندنا باستخدام التعويض التركيبي. بعد كده بنشوف طرق تانية علشان نجيب بقية الأصفار بتاعة الدالة. هنبدأ الأول بمثال نستخدم فيه نظرية الصفر النسبي؛ علشان نوجد الأصفار النسبية لدالة كثيرة الحدود. هيظهر لنا المثال.

عندنا في المثال منشور على شكل متوازي مستطيلات. حجمه هو ألف ستة وخمسين سنتيمتر مكعب. وكان طوله بيزيد عن عرضه بمقدار واحد سنتيمتر، وارتفاعه بيقلّ عن عرضه بمقدار تلاتة سنتيمتر. عايزين أبعاد المنشور.

أول حاجة هنفرض إن العرض هو س. وإحنا عندنا إن الطول بيزيد عن العرض بمقدار واحد سنتيمتر، وبالتالي هيبقى الطول س زائد واحد. أمّا الارتفاع فهو بيقلّ عن العرض بمقدار تلاتة سنتيمتر، وبالتالي الارتفاع هيبقى س ناقص تلاتة.

بعد ما حدّدنا العرض، والطول، والارتفاع؛ هنكتب المعادلة بتاعة حجم متوازي المستطيلات. فبالنسبة لحجم متوازي المستطيلات فهو بيساوي الطول في العرض في الارتفاع. وبالتالي هيبقى س زائد واحد واللي هو الطول، في س واللي هو العرض، في س ناقص تلاتة واللي هو الارتفاع. يساوي حجم متوازي المستطيلات، اللي هو ألف ستة وخمسين.

بعد كده هنضرب س زائد واحد، في س، في س ناقص تلاتة. بكده هيبقى عندنا المعادلة: س تكعيب ناقص اتنين س تربيع، ناقص تلاتة س؛ تساوي ألف ستة وخمسين. فهنطرح من طرفَي المعادلة ألف ستة وخمسين.

بكده هتبقى المعادلة هي: س تكعيب ناقص اتنين س تربيع، ناقص تلاتة س، ناقص ألف ستة وخمسين؛ تساوي صفر. هنكمّل المثال في الصفحة اللي جايّة، فهنقلب الصفحة.

هيظهر لنا المثال لحدّ ما وصلنا. بالنسبة لكثيرة الحدود: س تكعيب ناقص اتنين س تربيع، ناقص تلاتة س، ناقص ألف ستة وخمسين؛ فهي تُعتبر دالة في المتغيّر س. وبما إنها بتساوي صفر، فإحنا عايزين نحدّد أصفار الدالة دي. فهنستخدم نظرية الصفر النسبي، أو النتيجة بتاعتها؛ علشان نحدّد الأصفار النسبية الممكنة لكثيرة الحدود دي.

فهنلاقي المعامل الرئيسي للدالة هو: واحد. فهنستخدم النتيجة بتاعة النظرية، وبالتالي هيبقى الأصفار النسبية الممكنة هي عوامل العدد ألف ستة وخمسين. فهيظهر لنا العوامل بتاعة العدد ألف ستة وخمسين.

بعد كده بالنسبة لِـ س فهي بتمثّل طول، والطول دايمًا موجب، وبالتالي إحنا محتاجين إن إحنا نختبر القيم الموجبة بس. فهنبدأ نشوف عدد الأصفار الحقيقية الموجبة من خلال استخدام قانون ديكارت للإشارات. فهنلاقي إن إحنا عندنا تغيُّر واحد بس في الإشارة بتاعة معاملات المعادلة. وبالتالي هيبقى عندنا صفر واحد بس حقيقي موجب.

وبالتالي فيه عندنا ملحوظة وهي إن إحنا لمَّا بنبحث إشارة المعاملات بتاعة المعادلة، ولقينا إن فيه تغيُّر واحد بس في الإشارة. بالتالي هيبقى عندنا صفر واحد بس هو اللي حقيقي وموجب. بعد كده عايزين نجيب الصفر ده، فهنكمّل المثال في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة.

بعد كده هنستخدم التعويض التركيبي علشان نحدّد الصفر. فهنعمل جدول لعملية التعويض التركيبي، ونختبر فيه القيم الموجبة اللي ممكن تكون الصفر ده. فهنعمل جدول زيّ اللي هيظهر لنا.

في الجدول ده في العمود الأول الصف الأول هنكتب س. أمّا في العمود التاني فهنكتب معاملات الحدود ما عدا الحدّ الثابت. أمّا بالنسبة للحدّ الثابت فهنكتبه في العمود التالت. بعد كده هنكتب تحت الـ س القيم الموجبة اللي إحنا هنختبرها. فهنكمّل الجدول زيّ ما هيظهر لنا.

بعد ما كمّلنا الجدول هنلاقي إن فيه صفر عند س تساوي حداشر. ولأن إحنا ما عندناش إلا صفر واحد حقيقي موجب، فإحنا مش محتاجين إن إحنا نختبر أيّ قيمة تانية. معنى كده إن س تساوي حداشر. هيظهر لنا المنشور.

وبما إن العرض بتاع المنشور هو س، وطوله هو س زائد واحد، وارتفاعه هو س ناقص تلاتة. فهتبقى أبعاد المنشور هي: حداشر سنتيمتر وده العرض، واتناشر سنتيمتر وده الطول، وتمنية سنتيمتر وده الارتفاع.

نقدر نتأكّد من الحل بتاعنا من خلال إن إحنا نضرب التلات أبعاد اللي عندنا في بعض. فلو كان الناتج بيساوي الحجم بتاع متوازي المستطيلات، اللي هو ألف ستة وخمسين سنتيمتر مكعب، فهيبقى الحل بتاعنا صحيح.

فلمَّا هنضرب حداشر في اتناشر في تمنية هنلاقي إن الناتج بيساوي ألف ستة وخمسين. معنى كده إن إحنا لمَّا هنضرب حداشر سنتيمتر في اتناشر سنتيمتر في تمنية سنتيمتر؛ هيساوي ألف ستة وخمسين سنتيمتر مكعب. واللي هو حجم متوازي المستطيلات. وبالتالي هيبقى الحل بتاعنا صحيح. يعني أبعاد المنشور هي: حداشر سنتيمتر، واتناشر سنتيمتر، وتمنية سنتيمتر. بكده يبقى إحنا خلّصنا المثال، هنقلب الصفحة.

ساعات ممكن ما نحتاجش إن إحنا نختبر كل الأصفار الممكنة اللي عندنا. فبمجرد ما بنوجد صفر من الأصفار، هنحاول إن إحنا نحلّل كثيرة الحدود الجديدة اللي هتَنتج من القسمة التركيبية بتاعة التعويض التركيبي لعواملها. وده علشان نوجد بقية الأصفار. هنشوف ده من خلال مثال نعرف بيه إزَّاي نوجد كل الأصفار بتاعة دالة كثيرة الحدود. هيظهر لنا المثال.

في المثال اللي عندنا عايزين نجيب كل أصفار الدالة د س اللي بتساوي خمسة س أُس أربعة. ناقص تمنية س تكعيب. زائد واحد وأربعين س تربيع. ناقص اتنين وسبعين س. ناقص ستة وتلاتين.

أول حاجة الدالة اللي عندنا دي دالة من الدرجة الرابعة، وبالتالي هيكون ليها أربع أصفار مركّبة. وده من خلال النتيجة بتاعة النظرية الأساسية في الجبر. مش بس كده، ده كمان لمَّا هنستخدم قانون ديكارت للإشارات. هنلاقي إن فيه تلات تغييرات في الإشارة لمَّا نختبر تغيُّر إشارة معاملات حدود الدالة د س. وده معناه إن هيكون عدد الأصفار الحقيقية الموجبة للدالة دي تلات أصفار، أو صفر واحد بس.

كمان هنلاقي تغيُّر واحد بس في الإشارة لمَّا نختبر إشارة معاملات حدود الدالة د سالب س. وبالتالي الدالة د س هيكون ليها صفر واحد بس هو اللي حقيقي، وسالب.

كمان بالنسبة للدالة د س فهي عبارة عن دالة كثيرة حدود، ومعاملات حدودها عبارة عن أعداد صحيحة. وبالتالي نقدر نستخدم نظرية الصفر النسبي؛ علشان نوجد كل الأصفار النسبية الممكنة للدالة د س. فهتظهر لنا الأصفار النسبية الممكنة للدالة.

هي دي كل الأصفار النسبية الممكنة. بعد كده هنعمل جدول علشان نختبر بعض القيم دي. هيظهر لنا الجدول. هنبدأ بعد كده نكتب في العمود الأول تحت س القيم اللي إحنا هنختبرها. ولْيكُن القيم دي مثلًا هي: سالب واحد، وواحد، واتنين. بعد كده هنستخدم التعويض التركيبي؛ علشان نختبر القيم اللي عندنا، ونكمّل الجدول زيّ ما هيظهر لنا.

بعد ما كمّلنا الجدول هنلاقي إن د اتنين، واللي هي قيمة الدالة د س عند س تساوي اتنين، بتساوي صفر. وبالتالي هيبقى فيه عندنا صفر عند س تساوي اتنين.

بعد كده هنحاول نحلّل كثيرة الحدود الجديدة لعواملها، واللي نتجت من القسمة التركيبية للدالة الأصلية على س ناقص اتنين. وده لمَّا استخدمنا عملية التعويض التركيبي عند س تساوي اتنين، واللي هتكون معاملات حدودها هي: خمسة، واتنين، وخمسة وأربعين، وتمنتاشر.

معنى كده إن كثيرة الحدود الجديدة هي: خمسة س تكعيب، زائد اتنين س تربيع، زائد خمسة وأربعين س، زائد تمنتاشر. هنكمّل بقية المثال في الصفحة اللي جايّة، فهنقلب الصفحة.

لمَّا هنيجي نحلّل هنلاقي إن كثيرة الحدود عبارة عن أربع حدود. فهنبدأ نستخدم التحليل بالتقسيم، واللي هنجمّع فيه الحدود اللي ما بينها أكبر عدد مِ العوامل المشتركة. فهنلاقي إن إحنا ممكن نخلّي خمسة س تكعيب، وخمسة وأربعين س؛ مع بعض في قوس واحد. واتنين س تربيع، وتمنتاشر؛ مع بعض في قوس واحد.

بعد كده هنبدأ نخرّج العوامل المشتركة من كل قوس. فبالنسبة للقوس الأول، واللي هو خمسة س تكعيب زائد خمسة وأربعين س، هنلاقي إن العامل المشترك الأكبر هو خمسة س. أمّا بالنسبة للقوس التاني، واللي هو اتنين س تربيع زائد تمنتاشر، فهنلاقي إن العامل المشترك الأكبر هو اتنين.

فهنبدأ نحلّل بإخراج العامل المشترك الأكبر. فهيبقى عندنا المعادلة: خمسة س في، س تربيع زائد تسعة؛ زائد اتنين في، س تربيع زائد تسعة؛ تساوي صفر. بعد كده هنلاقي القوس س تربيع زائد تسعة متوزّع، فهنبدأ نخرّجه من الحدّين اللي عندنا كعامل مشترك أكبر.

بكده هتبقى المعادلة عبارة عن: س تربيع زائد تسعة، في خمسة س زائد اتنين؛ تساوي صفر. بعد كده هنستخدم خاصية الضرب الصفري، وبالتالي يا إمّا س تربيع زائد تسعة يساوي صفر. أو يبقى خمسة س زائد اتنين يساوي صفر.

بالنسبة لِـ س تربيع زائد تسعة؛ لمَّا هنطرح من طرفَي المعادلة تسعة، هنلاقي س تربيع تساوي سالب تسعة. بعد كده علشان نجيب قيمة س، فإحنا هناخد الجذر التربيعي للطرفين بتوع المعادلة. وبالتالي س هتساوي الجذر التربيعي لعدد سالب، وده معناه إن س هتساوي عدد تخيّلي. فلمَّا هناخد الجذر التربيعي للطرفين بتوع المعادلة، هنلاقي س تساوي موجب أو سالب تلاتة ت.

أمّا بالنسبة لخمسة س زائد اتنين؛ فلمَّا هنطرح من طرفَي المعادلة اتنين، هنلاقي خمسة س تساوي سالب اتنين. بعد كده هنقسم طرفَي المعادلة على خمسة؛ علشان نجيب قيمة س، فهنلاقي س تساوي سالب اتنين على خمسة. معنى كده إن فيه صفر حقيقي تاني عند س تساوي سالب اتنين على خمسة. وفيه صفرين تخيّليين عند س تساوي تلاتة ت، وسالب تلاتة ت.

بكده أصفار الدالة هي: سالب اتنين على خمسة، واتنين، وتلاتة ت، وسالب تلاتة ت. وهي دي كل الأصفار بتاعة الدالة اللي عندنا.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده شُفنا تطبيقات وأمثلة على نظرية الصفر النسبي، والنتيجة بتاعتها. وكمان عرفنا إزَّاي نقدر نستخدم نظرية الصفر النسبي، والنتيجة بتاعتها؛ علشان أول حاجة إن إحنا نحدّد الأصفار النسبية لدالة كثيرة الحدود. وكمان إزَّاي نقدر نوجد كل الأصفار لدالة كثيرة الحدود.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.