فيديو السؤال: تبسيط وتحديد مجال دالة تتضمن مجموع كسرين جبريين الرياضيات

بسط الدالة ﻥ(ﺱ) = ٧ﺱ^٢‏/‏(ﺱ − ١) + ٣ﺱ‏/‏(١ − ﺱ)، وحدد مجالها.

٠٣:٥٥

‏نسخة الفيديو النصية

بسط الدالة ﻥﺱ تساوي سبعة ﺱ تربيع على ﺱ ناقص واحد زائد ثلاثة ﺱ على واحد ناقص ﺱ، وحدد مجالها.

من أجل تبسيط الدالة، علينا أولًا إيجاد المقام المشترك الأصغر لكسريها الجبريين. في هذه الحالة، نضرب ﺱ ناقص واحد في واحد ناقص ﺱ. وعند ضرب الكسور، يجب أن نفعل الشيء نفسه مع البسط كما نفعل مع المقام.

إذن، علينا ضرب بسط الكسر الأول سبعة ﺱ تربيع في واحد ناقص ﺱ وبسط الكسر الثاني ثلاثة ﺱ في ﺱ ناقص واحد. هذا يعطينا كسرًا واحدًا، وهو سبعة ﺱ تربيع في واحد ناقص ﺱ زائد ثلاثة ﺱ في ﺱ ناقص واحد على ﺱ ناقص واحد في واحد ناقص ﺱ.

خطوتنا التالية هي فك القوسين باستخدام خاصية التوزيع. سبعة ﺱ تربيع في واحد يساوي سبعة ﺱ تربيع وسبعة ﺱ تربيع في سالب ﺱ يساوي سالب سبعة ﺱ تكعيب.

أما بالنسبة للقوس الثاني، فإن ثلاثة ﺱ في ﺱ يساوي ثلاثة ﺱ تربيع وثلاثة ﺱ في سالب واحد يساوي سالب ثلاثة ﺱ. وبتجميع الحدود المتشابهة، نبسط البسط إلى سالب سبعة ﺱ تكعيب زائد ١٠ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ. وخطوتنا التالية هي جعل البسط في أبسط صورة من خلال تحليله.

حسنًا، أولًا، يمكننا ملاحظة أن ﺱ عامل مشترك. إذن، بأخذ ﺱ عاملًا مشتركًا، نحصل على ﺱ في سالب سبعة ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ ناقص ثلاثة. يمكن تحليل المقدار التربيعي سالب سبعة ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ ناقص ثلاثة إلى قوسين. هذان القوسان هما سبعة ﺱ ناقص ثلاثة وواحد ناقص ﺱ.

ويمكننا التحقق من هذا عن طريق استخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني، وفك القوسين. وبما أن واحدًا ناقص ﺱ حد مشترك، فيمكننا قسمة البسط والمقام على واحد ناقص ﺱ. هذا يترك لنا ﺱ في سبعة ﺱ ناقص ثلاثة على ﺱ ناقص واحد. إذن، فالصورة المبسطة للدالة ﻥﺱ هي ﺱ في سبعة ﺱ ناقص ثلاثة على ﺱ ناقص واحد.

والجزء الثاني من المسألة طلب منا تحديد مجال الدالة ﻥﺱ. حسنًا، للوهلة الأولى، يبدو أن جميع القيم الحقيقية مدخلات صالحة للدالة ﻥﺱ. ومع ذلك، عند الفحص الدقيق، يمكننا رؤية أن هناك قيمة واحدة للمتغير ﺱ تجعل المقام يساوي صفرًا. وهذا سيعطينا قيمة غير معرفة.

لحساب هذه القيمة، علينا جعل المقام — ﺱ ناقص واحد، في هذه الحالة — يساوي صفرًا. وبإضافة واحد إلى طرفي المعادلة، نحصل على ﺱ يساوي واحدًا. وهذا يعني أنه عندما نعوض عن ﺱ بواحد في الدالة ﻥﺱ، نحصل على قيمة غير معرفة.

وهذا يعني أن مجال الدالة ﻥﺱ هو كل القيم الحقيقية باستثناء الواحد؛ القيم الحقيقية ناقص الواحد.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.