فيديو السؤال: إيجاد مساحة منطقة محددة بمنحنيي دالتين تربيعيتين معرفتين بالنسبة إلى ﺹ الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مساحة المنطقة المحددة بواسطة ﺱ يساوي سالب خمسة ﺹ تربيع زائد واحد وﺱ يساوي اثنين ﺹ تربيع ناقص خمسة.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد مساحة منطقة محددة بالمنحنيين ﺱ يساوي سالب خمسة ﺹ تربيع زائد واحد، وﺱ يساوي اثنين ﺹ تربيع ناقص خمسة. هناك أمر مثير للاهتمام يمكننا ملاحظته بشأن المنحنيين المعطيين. بدلًا من أن يكون ﺹ معطى على صورة دالة في ﺱ، نرى أن ﺱ معطى على صورة دالة في ﺹ. بشكل أكثر تحديدًا، لدينا هنا دالتان تربيعيتان؛ حيث ﺱ دالة تربيعية في ﺹ. عندما يطلب منا حساب مساحة منطقة محددة بمنحنيين، فمن المفيد دائمًا أن نرسم المنحنيين المعطيين.

لمساعدتنا في رسم هذين المنحنيين، وبما أنهما يمثلان دالتين تربيعيتين، يمكننا استخدام أي من قواعد الدوال التربيعية أو خواصها. لكننا في هذه الحالة، سنحتاج إلى تغيير هذه القواعد قليلًا؛ لأن ﺱ هذه المرة دالة في ﺹ. دعونا نبدأ برسم المنحنى الأول. هناك عدة طرق مختلفة لرسمه. وإحدى هذه الطرق هي ملاحظة أن لدينا في معطيات السؤال صيغة رأس هذا المنحنى. فنرى أننا إذا عوضنا بـ ﺹ يساوي صفرًا في الدالة، فسنحصل على واحد. إذن، إحداثيات رأس هذا المنحنى هي واحد، صفر. هذه الإحداثيات عكس ما كنا سنحصل عليه إذا كان لدينا ﺹ على صورة دالة في ﺱ. لذا، علينا أن نحرص على إيجاد الإحداثيات بالطريقة الصحيحة.

يمكننا إضافة هذا إلى الشكل دون أن نكتب الإحداثيات؛ لأن ذلك ليس ضروريًّا. نحن نعلم أن شكل هذا المنحنى سيكون قطعًا مكافئًا؛ لأنه منحنى دالة تربيعية. لكن لنتمكن من رسم هذا الشكل، دعونا نوجد الجزأين المقطوعين من المحور ﺹ لهذا المنحنى. سنعوض بـ ﺱ يساوي صفرًا في دالة المنحنى لنحصل على صفر يساوي سالب خمسة ﺹ تربيع زائد واحد.

بحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺹ، نحصل على الجزأين المقطوعين من المحور ﺹ للمنحنى. يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺹ بطرح واحد من كلا طرفي المعادلة لنجد أن سالب واحد يساوي سالب خمسة ﺹ تربيع. نقسم كلا الطرفين على سالب خمسة لنحصل على خمس يساوي ﺹ تربيع. بعد ذلك، نأخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة، حيث نعلم أننا سنحصل على جذر تربيعي موجب وجذر تربيعي سالب. هكذا، نجد أن ﺹ يساوي موجب أو سالب واحد على جذر خمسة. يمكننا إضافة هذين الجزأين المقطوعين من المحور ﺹ إلى الشكل لدينا.

والآن، يمكننا توصيل النقاط الثلاث للمنحنى، وهو على شكل قطع مكافئ، لرسم ﺱ يساوي سالب خمسة ﺹ تربيع زائد واحد، وبما أن قيم ﺱ لهذا المنحنى هي القيم المخرجة للدالة، نلاحظ أن إحداثيات رأس المنحنى تمثل نقطة قيمة عظمى.

حسنًا، دعونا نطبق الآن الخطوات نفسها على المنحنى الثاني. مرة أخرى، المنحنى معطى بصيغة رأس المنحنى. إذا عوضنا بـ ﺹ يساوي صفرًا في معادلة هذا المنحنى، فسنحصل على ﺱ يساوي سالب خمسة. ومن ثم، فإن رأس هذا المنحنى هو النقطة سالب خمسة، صفر. يمكننا إضافة هذه النقطة إلى الشكل لدينا. والآن، لنتمكن من رسم هذا المنحنى، دعونا نوجد الجزأين المقطوعين من المحور ﺹ للمنحنى.

مرة أخرى، يمكننا إيجاد الجزأين المقطوعين من المحور ﺹ للمنحنى بأن نجعل ﺱ يساوي صفرًا، ثم نحل المعادلة التي نحصل عليها، وهي صفر يساوي اثنين ﺹ تربيع ناقص خمسة. نضيف خمسة إلى كلا طرفي المعادلة لنحصل على خمسة يساوي اثنين ﺹ تربيع، ثم نقسم طرفي المعادلة على اثنين؛ لنجد أن خمسة على اثنين يساوي ﺹ تربيع، ثم نأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة؛ حيث نعلم أن الناتج سيكون موجب وسالب الجذر التربيعي. إذن، ﺹ يساوي موجب أو سالب جذر خمسة على اثنين. هذان هما الجزآن المقطوعان من المحور ﺹ للمنحنى.

تجدر الإشارة إلى أن جذر خمسة على اثنين أكبر من واحد على جذر خمسة. ومن ثم، فإن الجزأين المقطوعين من المحور ﺹ لهذا المنحنى سيبعدان عن نقطة الأصل بمسافة أكبر من التي يبعدها جزآ المنحنى السابق. كل ما علينا فعله الآن هو توصيل هذه النقاط الثلاث على شكل قطع مكافئ لرسم ﺱ يساوي اثنين ﺹ تربيع ناقص خمسة. وعلينا تذكر أنه بما أن إحداثيات ﺱ هي القيم المخرجة لهذه الدالة، فنلاحظ أن رأس المنحنى هنا يمثل نقطة قيمة صغرى. فهي أبعد نقطة على يسار هذا المنحنى. يمكننا الآن تظليل المنطقة المحددة بالمنحنيين.

لإيجاد هذه المساحة، علينا ملاحظة شيء مثير للاهتمام بشأن المنطقة المظللة. بما أن الإحداثيات ﺱ هي القيم المخرجة لهذه الدالة، إذن كلما كانت النقطة أبعد نحو اليمين، كانت القيمة المخرجة أكبر. ومن ثم، نلاحظ أن هذه المنطقة يحدها من الأعلى المنحنى الوردي، ويحدها من الأسفل المنحنى البرتقالي؛ حيث يقع المنحنى الوردي على يمين المنحنى البرتقالي في هذه المنطقة. هذا يعني أنه يمكننا إيجاد هذه المساحة باستخدام إحدى نتائج التكامل، لكن علينا إعادة كتابتها بدلالة ﺹ بدلًا من ﺱ.

إذا كانت لدينا دالتان قابلتان للتكامل ﺩﺹ وﺭﺹ؛ حيث ﺩﺹ أكبر من أو تساوي ﺭﺹ، مع العلم أن ﺹ يقع في الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ، فإن مساحة المنطقة المحددة بالمنحنيين ﺱ يساوي ﺩﺹ، وﺱ يساوي ﺭﺹ، والمستقيمين الأفقيين ﺹ يساوي ﺃ وﺹ يساوي ﺏ، تعطى بالتكامل المحدد من ﺃ إلى ﺏ لـ ﺩﺹ ناقص ﺭﺹ بالنسبة إلى ﺹ. يمكننا تطبيق هذه النتيجة لإيجاد مساحة المنطقة في هذا الشكل.

لقد أوضحنا بالفعل أن المنحنى الوردي يقع أعلى المنحنى البرتقالي في هذه المنطقة، ومن ثم فإن ﺩﺹ تساوي سالب خمسة ﺹ تربيع زائد واحد، وﺭﺹ تساوي اثنين ﺹ تربيع ناقص خمسة. نعلم أيضًا أن هاتين الدالتين قابلتان للتكامل؛ لأنهما تمثلان كثيرتي حدود. وعليه، فإنهما قابلتان للتكامل على مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها. وأخيرًا، نفترض أن قيمتي ﺏ وﺃ هما الإحداثيان ﺹ لنقطتي التقاطع بين المنحنيين. إذن، هذه المنطقة محددة بهذين المنحنيين وهذين المستقيمين الأفقيين، ومن ثم يمكننا استخدام التكامل المحدد لحساب مساحتها.

هذا يعني أنه علينا الآن إيجاد قيمتي الإحداثيين ﺹ لنقطتي التقاطع بين المنحنيين؛ أي قيمتي ﺃ وﺏ. لإيجاد الإحداثيين ﺹ لنقطتي التقاطع، علينا مساواة الدالتين إحداهما بالأخرى. هذا يعني أنه علينا حل المعادلة سالب خمسة ﺹ تربيع زائد واحد يساوي اثنين ﺹ تربيع ناقص خمسة. يمكننا حل هذه المعادلة بإضافة خمسة إلى كلا الطرفين. وبإضافة خمسة ﺹ تربيع إلى كلا طرفي المعادلة، نحصل على ستة يساوي سبعة ﺹ تربيع. نقسم طرفي المعادلة على سبعة لنحصل على ستة على سبعة يساوي ﺹ تربيع. نأخذ بعد ذلك الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة. ومن ثم، نجد أن ﺹ يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لستة على سبعة. وبما أن ﺏ أكبر من ﺃ، فإن ﺏ يساوي موجب جذر ستة على سبعة، وﺃ يساوي سالب جذر ستة على سبعة.

حسنًا، يمكننا الآن التعويض بكل هذه المعلومات في نتيجة التكامل لإيجاد مساحة المنطقة المظللة. إنها تساوي التكامل المحدد من سالب جذر ستة على سبعة إلى جذر ستة على سبعة لسالب خمسة ﺹ تربيع زائد واحد ناقص اثنين ﺹ تربيع ناقص خمسة بالنسبة إلى ﺹ.

كل ما علينا فعله الآن هو حساب قيمة هذا التكامل لإيجاد المساحة. دعونا أولًا نبسط الدالة التي سيجرى عليها التكامل. يمكننا توزيع الإشارة السالبة على القوسين ثم تبسيط الدالة. بذلك، نحصل على سالب سبعة ﺹ تربيع زائد ستة. وهذا تكامل كثيرة حدود. لذا، يمكننا حساب قيمة هذا باستخدام قاعدة القوى للتكامل. علينا إضافة واحد إلى أسس ﺹ ثم القسمة على هذه الأسس الجديدة. بذلك، نحصل على سالب سبعة ﺹ تكعيب على ثلاثة زائد ستة ﺹ عند حدي التكامل؛ حيث ﺹ يساوي سالب جذر ستة على سبعة، وﺹ يساوي جذر ستة على سبعة.

يمكننا الآن إيجاد الفرق بين قيمتي المشتقة العكسية عند الحدين العلوي والسفلي للتكامل. وعلى الرغم من أننا يمكننا إيجاد هذا الفرق، فإنه سيعطينا مقدارًا معقدًا للغاية. لذا، بدلًا من ذلك، دعونا نبسط هذه العملية قليلًا بملاحظة شيء مثير للاهتمام بشأن هذه المشتقة العكسية. نحن نعلم أن ﺹ تكعيب دالة فردية، ومن ثم فإن سالب سبعة ﺹ تكعيب على ثلاثة دالة فردية، وستة ﺹ دالة فردية أيضًا. وعليه، مجموع هاتين القيمتين يعطينا دالة فردية أيضًا. هذا يعني أن المشتقة العكسية هي دالة فردية. يمكننا استخدام هذه المعلومة لتبسيط عملية إيجاد قيمة المشتقة العكسية لدينا.

إذا كانت ﻕ دالة فردية، فإن قيمة ﻕ عند ﺟ ناقص قيمة ﻕ عند سالب ﺟ يساوي قيمة ﻕ عند ﺟ زائد قيمة ﻕ عند ﺟ. هذا يساوي اثنين ﻕ لـ ﺟ. وهذا ما سنحسبه بالضبط إذا أوجدنا الفرق بين قيمتي هذه المشتقة العكسية عند الحدين العلوي والسفلي للتكامل؛ لأن هاتين القيمتين متساويتان لكن بإشارتين مختلفتين. إذن، باستخدام هذه الخاصية، يمكننا مضاعفة قيمة المشتقة العكسية عند الحد العلوي للتكامل. هكذا، نحصل على اثنين مضروبًا في سالب سبعة في جذر ستة على سبعة تكعيب على ثلاثة زائد ستة في جذر ستة على سبعة.

إذا حسبنا قيمة هذا المقدار، فسنحصل على ثمانية جذر ٤٢ على سبعة، وهذه هي الإجابة النهائية. جدير بالملاحظة أيضًا أنه بما أن هذه القيمة تمثل مساحة، فيمكننا قول إنها تساوي ثمانية جذر ٤٢ على سبعة وحدة مربعة. بذلك، نكون قد أوضحنا أن مساحة المنطقة المحددة بالمنحنيين ﺱ يساوي سالب خمسة ﺹ تربيع زائد واحد، وﺱ يساوي اثنين ﺹ تربيع ناقص خمسة، تساوي ثمانية جذر ٤٢ على سبعة.