فيديو السؤال: إيجاد النهايات بتحويلها إلى صور النهاية باستخدام العدد هـ الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من ∞ لثلاثة ﺱ ناقص ١١ الكل على ثلاثة ﺱ زائد ١١ الكل أس ﺱ.

المطلوب منا في هذا السؤال هو إيجاد قيمة نهاية. وأول ما علينا فعله عندما يطلب منا إيجاد قيمة نهاية هو محاولة إيجادها مباشرة. في هذه المسألة، لدينا النهاية عندما يقترب ﺱ من ∞. لذا، دعونا نبدأ بملاحظة ما يجري داخل القوسين. لدينا داخل القوسين دالة كسرية. ونلاحظ أنه عندما يقترب ﺱ من ∞، فإن كلًّا من البسط والمقام في هذا التعبير يقترب من ∞. ومن ثم، فإن إيجاد قيمة ذلك بهذه الطريقة يعطينا: ∞ على ∞، ونحن نعرف أنها صيغة غير معينة.

بدلًا من ذلك، علينا ملاحظة أن كلًّا من البسط والمقام في هذه الدالة الكسرية هو دالة خطية. ومن ثم، يمكننا إيجاد قيمة هذه الدالة بإيجاد خارج قسمة الحدين الرئيسيين. لدينا ثلاثة ﺱ مقسومًا على ثلاثة ﺱ يساوي واحدًا. إذن، يخبرنا ذلك بأنه عندما يقترب ﺱ من ∞، فإن الدالة الكسرية داخل القوسين تقترب من واحد. وهذا تمامًا هو الناتج نفسه الذي سنحصل عليه بمجرد قسمة البسط والمقام على ﺱ، ثم إيجاد قيمة النهاية مباشرة.

إيجاد قيمة الأس أسهل بكثير لأنه يساوي ﺱ فقط. لذا، يقترب الأس من ∞ عندما يقترب ﺱ من ∞. وبإيجاد قيمة هذه النهاية مباشرة، نحصل على: واحد أس ∞؛ وهي صيغة غير معينة. وهذا يعني أنه لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية مباشرة، وهو ما يعني أنه علينا تجربة طريقة مختلفة لإيجاد قيمة النهاية.

لفعل ذلك، سنبدأ بتبسيط التعبير الموجود داخل القوسين. ويمكننا فعل ذلك باستخدام القسمة الجبرية. لكن توجد طريقة أبسط. إذا كتبنا بسط الدالة الكسرية على الصورة: ثلاثة ﺱ زائد ١١ ناقص ٢٢، يمكننا قسمة ثلاثة ﺱ زائد ١١ وسالب ٢٢ على المقام بشكل منفصل. وبقسمة ثلاثة ﺱ زائد ١١ على ثلاثة ﺱ زائد ١١، نحصل على: واحد. وبقسمة سالب ٢٢ على ثلاثة ﺱ زائد ١١، نحصل على: سالب ٢٢ على ثلاثة ﺱ زائد ١١.

ومن الجدير بالذكر هنا أننا نعرف أن ثلاثة ﺱ زائد ١١ لا يساوي صفرًا لأن ﺱ يقترب من ∞. ومن ثم، نجد في نهاية الأمر أن ﺱ سيكون أكبر من سالب ١١ على ثلاثة. وبذلك، نكون قد تمكنا من إعادة كتابة النهاية على صورة: النهاية عندما يقترب ﺱ من ∞ لواحد ناقص ٢٢ على ثلاثة ﺱ زائد ١١ الكل مرفوع للقوة ﺱ. وفي هذه المرحلة، أمامنا بعض الطرق المختلفة التي يمكننا استخدامها لإيجاد قيمة هذه النهاية. وفي هذا الفيديو، سوف نستخدم إحدى النهايتين المستنتجتين اللتين تتضمنان ثابت أويلر ﻫ.

نحن نعلم أن النهاية عندما يقترب ﻥ من الصفر لواحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة واحد على ﻥ تساوي ﻫ. وتجدر الإشارة هنا إلى أن لدينا نهايتين مستنتجتين مختلفتين تتضمنان ثابت أويلر ﻫ. وبما أنهما متكافئتان، فيمكننا استخدام أي منهما للإجابة عن هذا السؤال. ويرجع اختيار أي منهما إلى تفضيلك الشخصي. لكن عادة ما تتضمن إحدى النهايتين المستنتجتين طريقة حل أسهل.

من الصعب للغاية معرفة النهاية المستنتجة التي يجب استخدامها بمجرد النظر إلى النهاية المطلوب إيجاد قيمتها. لذا، إذا واجهت صعوبة، فحاول الانتقال إلى النهاية المستنتجة الأخرى. لمحاولة تطبيق هذه النهاية المستنتجة، علينا إضافة قيمة ﻥ داخل القوسين. وهذا يعني أنه علينا محاولة استخدام التعويض: ﻥ يساوي سالب ٢٢ مقسومًا على ثلاثة ﺱ زائد ١١. لكن هذا ليس الأمر الوحيد الذي علينا فعله. النهاية التي لدينا هي عندما يقترب ﺱ من ∞. وإذا استخدمنا التعويض عن ﻥ، فعلينا معرفة ما يحدث لـ ﻥ عندما يقترب ﺱ من ∞.

ويمكننا فعل ذلك مباشرة من التعويض. فكلما اقترب ﺱ من ∞، ظل البسط في الطرف الأيسر من هذه المعادلة ثابتًا. ولكن المقام يقترب من ∞. إن قيمته تزداد بلا حد. ومن ثم، فإن الطرف الأيسر من هذه المعادلة يقترب من الصفر. وهذا يعني أن ﻥ يقترب من الصفر عندما يقترب ﺱ من ∞. لذا، بدلًا من حساب النهاية عندما يقترب ﺱ من ∞، يمكننا حساب النهاية عندما يقترب ﻥ من الصفر. لكن يوجد أمر آخر. ‏ﺱ ما زال موجودًا في النهاية. لذا، علينا كتابة ذلك بدلالة ﻥ.

ولفعل ذلك، يمكننا إعادة ترتيب التعويض لنحصل على ﺱ بدلالة ﻥ. سنبدأ بضرب كلا طرفي المعادلة في ثلاثة ﺱ زائد ١١، ثم قسمة كل منهما على ﻥ. وهذا يعطينا: ثلاثة ﺱ زائد ١١ يساوي سالب ٢٢ على ﻥ. نريد الآن إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد ﺱ. ومن ثم، علينا طرح ١١ من كلا طرفي المعادلة، ثم قسمة كل منهما على ثلاثة. وهذا يعطينا: ﺱ يساوي ثلثًا في سالب ٢٢ على ﻥ ناقص ١١. لكننا سنبسط ذلك بتوزيع ثلث على القوسين، لنحصل على: ﺱ يساوي سالب ٢٢ على ثلاثة ﻥ ناقص ١١ على ثلاثة. وسنعوض بذلك مباشرة في النهاية التي لدينا.

ومن ثم، باستخدام التعويض، نكون قد تمكنا من إعادة كتابة النهاية على صورة: النهاية عندما يقترب ﻥ من الصفر لواحد زائد ﻥ الكل أس سالب ٢٢ على ثلاثة ﻥ ناقص ١١ على ثلاثة. ونلاحظ الآن أن هذه النهاية قريبة جدًّا من النهاية المستنتجة. في النهاية التي لدينا، نجد أن ﻥ يقترب من صفر. وداخل القوسين، لدينا واحد زائد ﻥ. كل ما علينا فعله الآن هو كتابة الأس على صورة: واحد على ﻥ.

لنفعل ذلك، علينا تبسيط الأس في النهاية. توجد عدة طرق مختلفة لإجراء ذلك. إحدى هذه الطرق هي استخدام قوانين الأسس. ‏ﺃ أس ﺏ ناقص ﺟ يساوي ﺃ أس ﺏ مضروبًا في ﺃ أس سالب ﺟ. وتجدر الإشارة هنا إلى أن السبب الوحيد وراء عدم كتابة ذلك على صورة: ﺃ أس ﺏ مقسومًا على ﺃ أس ﺟ هو توفير المساحة. ويمكنك استخدام أي من هاتين الطريقتين. كلتاهما صحيحة.

لذا، بافتراض أن ﺃ يساوي واحدًا زائد ﻥ، وﺏ يساوي سالب ٢٢ على ثلاثة ﻥ، وﺟ يساوي ١١ على ثلاثة؛ فإننا نحصل على: النهاية عندما يقترب ﻥ من الصفر لواحد زائد ﻥ الكل أس سالب ٢٢ على ثلاثة ﻥ مضروبًا في واحد زائد ﻥ الكل أس سالب ١١ على ثلاثة. نلاحظ الآن أننا نحاول إيجاد قيمة نهاية حاصل الضرب. ومن ثم، يمكننا أن نحاول تبسيط ذلك باستخدام قاعدة الضرب للنهايات.

نتذكر أن قاعدة الضرب للنهايات تنص على أن النهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ ﺩﻥ في ﻕﻥ تساوي النهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ ﺩﻥ مضروبة في النهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ ﻕﻥ بشرط وجود كل من النهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ ﺩﻥ، والنهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ ﻕﻥ. ومن ثم، بتطبيق قاعدة الضرب للنهايات على هذا السؤال، نحصل على: النهاية عندما يقترب ﻥ من الصفر لواحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة سالب ٢٢ على ثلاثة ﻥ، مضروبة في النهاية عندما يقترب ﻥ من الصفر لواحد زائد ﻥ الكل أس سالب ١١ على ثلاثة. ويمكننا ضمان صحة ذلك فقط بشرط وجود هاتين النهايتين.

وفي هذه المرحلة، نحن لا نعلم ما إذا كانت هاتان النهايتان موجودتين أم لا. ويمكننا إيجاد قيمة نهاية الدالة الثانية مباشرة من خلال ملاحظة شيء مهم هنا. هذه الدالة متصلة، لذا يمكننا التعويض بـ ﻥ يساوي صفرًا في الدالة. ومن ثم، فإن النهاية الثانية تساوي واحدًا زائد صفر الكل أس سالب ١١ على ثلاثة، وهو ما يساوي واحدًا. لذا، يمكننا وضع أن هذه النهاية تساوي واحدًا. وهذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﻥ من الصفر لواحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة سالب ٢٢ على ثلاثة ﻥ بشرط وجود هذه النهاية. وبذلك، أصبحت لدينا الآن صورة يمكننا فيها استخدام النهاية المستنتجة. علينا فقط كتابة الأس على صورة: واحد على ﻥ.

يمكننا فعل ذلك باستخدام قوانين الأسس. وسنستخدم الحقيقة التي تخبرنا أن ﺃ أس ﺏ في ﺟ يساوي ﺃ أس ﺏ الكل مرفوع للقوة ﺟ. لذا، بوضع ﺃ يساوي واحدًا زائد ﻥ، وﺏ يساوي واحدًا على ﻥ، وﺟ يساوي سالب ٢٢ على ثلاثة؛ نكون قد أعدنا كتابة النهاية على صورة: النهاية عندما يقترب ﻥ من الصفر لواحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة واحد على ﻥ الكل مرفوع للقوة سالب ٢٢ على ثلاثة، بشرط وجود هذه النهاية.

قد يكون من المغري الآن محاولة تطبيق النهاية المستنتجة مباشرة. لكن لا يمكننا ذلك الآن؛ لأن الأس لا يزال داخل النهاية. لذا، علينا أخذ الأس سالب ٢٢ على ثلاثة خارج النهاية. ولفعل ذلك، علينا استخدام قاعدة القوى للنهايات. ونتذكر أن قاعدة القوى للنهايات تخبرنا أن النهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ ﺩﺱ مرفوعًا للقوة ﻙ تساوي النهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ ﺩﺱ الكل مرفوع للقوة ﻙ، بشرط وجود النهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ ﺩﺱ، ورفعها للقوة ﻙ.

وفي هذه المسألة، سنتمكن من إثبات تحقق هذين الشرطين الأساسيين. وأسهل طريقة لفعل ذلك هي تطبيق قاعدة القوة للنهايات على هذه النهاية، ثم التأكد من تحقق كلا الشرطين الأساسيين. إذن، باستخدام هذه الطريقة، نحصل على: النهاية عندما يقترب ﻥ من الصفر لواحد زائد ﻥ الكل مرفوع للقوة واحد على ﻥ الكل مرفوع للقوة سالب ٢٢ على ثلاثة. ونلاحظ أن النهاية داخل الأس موجودة. نحن نعلم أن هذه النهاية تساوي ﻫ لأنها النهاية المستنتجة لدينا.

بعد ذلك، نلاحظ أيضًا أن هذه النهاية مرفوعة للقوة سالب ٢٢ على ثلاثة موجودة أيضًا؛ لأن ﻫ هو مجرد عدد موجب. وهذا يبرر استخدامنا لقاعدة القوى للنهايات، وبذلك نحصل على: ﻫ أس سالب ٢٢ على ثلاثة. وتجدر الإشارة هنا إلى أنه بما أننا قد أوضحنا للتو أن هذه النهاية موجودة، فقد بررنا أيضًا استخدامنا لقاعدة الضرب للنهايات. وبذلك، نكون قد نجحنا في إيجاد قيمتي النهايتين، ويمكننا ترك الإجابة بهذا الشكل. لكننا سنجري تعديلًا آخر. وسنستخدم قوانين الأسس لإعادة كتابة ذلك في المقام. ومن ثم، نحصل على: واحد على ﻫ أس ٢٢ على ثلاثة، وهذه هي الإجابة النهائية.

وبذلك، نكون قد استطعنا توضيح أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ∞ لثلاثة ﺱ ناقص ١١ الكل على ثلاثة ﺱ زائد ١١ الكل مرفوع للقوة ﺱ تساوي واحدًا على ﻫ أس ٢٢ على ثلاثة.