فيديو السؤال: حل المعادلات التربيعية بالتحليل الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة حل المعادلة ﺱ زائد اثنين على اثنين يساوي ١٢ على ﺱ في مجموعة الأعداد الحقيقية.

مجموعة الحل تعني أننا نبحث عن مجموعة كل قيم المتغير، وهو في هذه الحالة ﺱ، التي تحقق المعادلة المعطاة. ويخبرنا السؤال أن ما يهمنا هو قيم ﺱ التي تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية فقط.

حسنًا، للوهلة الأولى، تبدو هذه المعادلة معقدة قليلًا لأنها تتضمن كسرين. وفي الحقيقة، يمكننا ملاحظة أن المتغير الذي نحاول إيجاد قيمته، وهو ﺱ، يقع في مقام أحد هذين الكسرين. إلا أنه يمكن حذف كلا المقامين من خلال الضرب التبادلي. بضرب كلا الطرفين في اثنين وﺱ، نحصل على ﺱ مضروبًا في ﺱ زائد اثنين يساوي ١٢ مضروبًا في اثنين. في الطرف الأيسر، لدينا ١٢ في اثنين يساوي ٢٤. وفي الطرف الأيمن، علينا توزيع العامل ﺱ هذا على حدي القوس. ‏ﺱ مضروبًا في ﺱ يعطينا ﺱ تربيع، وﺱ مضروبًا في اثنين يعطينا اثنين ﺱ. إذن، يصبح لدينا ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ يساوي ٢٤.

بعد ذلك، علينا تجميع كل الحدود في الطرف نفسه من المعادلة. وبطرح ٢٤ من كلا الطرفين، يتحقق لنا هذا، ونحصل على المعادلة ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ٢٤ يساوي صفرًا. كان لدينا معادلة معقدة نسبيًّا، وقد لا ندرك أنها معادلة تربيعية للوهلة الأولى. ولكن بإعادة ترتيبها، أصبحت على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا، وهي أكثر صورة متعارف عليها للمعادلات التربيعية.

سنحاول حل هذه المعادلة بالتحليل. أولًا، نلاحظ أن معامل ﺱ تربيع هو واحد، وهو ما يعني أن الحد الأول في كل من القوسين سيكون ببساطة ﺱ؛ لأن ﺱ مضروبًا في ﺱ يعطينا ﺱ تربيع. ولإكمال القوسين، نفكر في عددين مجموعهما يساوي معامل ﺱ، وهو موجب اثنين، وحاصل ضربهما يساوي الحد الثابت، وهو سالب ٢٤.

قد يساعدنا سرد أزواج عوامل العدد ٢٤ هنا. وأزواج العوامل هي: واحد و٢٤، واثنان و١٢، وثلاثة وثمانية، وأربعة وستة. نعلم أنه لكي نحصل على سالب ٢٤، يجب أن يكون أحد هذين العددين سالبًا والأخر موجبًا. إذا اخترنا آخر زوج من العوامل وجعلنا العدد أربعة سالبًا، فسيكون لدينا سالب أربعة وستة، إذن حاصل ضربهما سيساوي سالب ٢٤. ومجموعهما يساوي موجب اثنين. وعليه، هذان هما العددان اللذان نبحث عنهما لإكمال القوسين. ومن ثم، تكون الصورة التحليلية للمعادلة التربيعية لدينا هي ﺱ زائد ستة مضروبًا في ﺱ ناقص أربعة يساوي صفرًا.

تذكر أنه يمكننا كتابة هذين العاملين بأي ترتيب. لحل هذه المعادلة التربيعية في هذه المرحلة، نتذكر أنه عندما يكون حاصل ضرب عاملين يساوي صفرًا، لا بد أن يكون أحدهما على الأقل يساوي صفرًا. وعليه، نأخذ كل عامل تلو الآخر ونساويه بالصفر، ثم نحل المعادلة الخطية الناتجة. لدينا ﺱ زائد ستة يساوي صفرًا، أو ﺱ ناقص أربعة يساوي صفرًا.

يمكن حل المعادلة الأولى بطرح ستة من الطرفين؛ لنحصل على ﺱ يساوي سالب ستة، وحل المعادلة الثانية بإضافة أربعة إلى الطرفين؛ لنحصل على ﺱ يساوي أربعة. بهذا نكون وجدنا أن هناك قيمتين في مجموعة حل هذه المعادلة، وهما القيمتان سالب ستة وأربعة. يمكننا بالطبع التحقق من صحة أي من هاتين القيمتين أو كليهما بالتعويض في المعادلة الأصلية. على سبيل المثال، عند ﺱ يساوي أربعة، يصبح الطرف الأيمن أربعة زائد اثنين على اثنين. وهذا يعني ستة على اثنين، وهو ما يساوي ثلاثة. أما الطرف الأيسر، فيصبح ١٢ على أربعة، وهو ما يساوي أيضًا ثلاثة. وهذا يؤكد أن ﺱ يساوي أربعة حل صحيح لهذه المعادلة.

يمكننا بعد ذلك فعل الشيء نفسه مع ﺱ يساوي سالب ستة إذا أردنا. وبذلك نكون قد أوجدنا مجموعة حل هذه المعادلة. وهي المجموعة المكونة من القيمتين سالب ستة، أربعة.