تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: حساب نهايات المتتابعات جبريًّا

سوزان فائق

يوضح الفيديو تعريف المتتابعة، وكيفية حساب نهايتها جبريًّا، وبعض خصائص النهايات التي يتم استخدامها لحساب النهاية للمتتابعة، وبعض الأمثلة التوضيحية.

١١:٥٣

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على طريقة حساب نهايات المتتابعات جبريًّا.

المتتابعة هي دالة مجالها مجموعة من الأعداد الطبيعية، ومداها بيبقى مجموعة من الأعداد الحقيقية. لذا فإن نهاية المتتابعة غير المنتهية هو نهاية دالة عند ن لمّا تئول للمالانهاية. إذا كانت النهاية موجودة فإن قيمة هذه النهاية هي العدد الذي تقترب منه المتتابعة.

يعني مثلًا يمكن وصف المتتابعة ح ن، اللي هي بتساوي واحد، ونُصّ، وتُلت … إلى ما لا نهاية. بِـ د ن تساوي واحد على ن؛ حيث ن عدد صحيح موجب. والنهاية هتبقى نهاية واحد على ن لمّا الـ ن تئول للمالانهاية، هتساوي صفر. يبقى معنى كده إن المتتابعة هتقترب من الصفر في المالانهاية، وتبقى هي دي قيمة نهاية المتتابعة. ده لو النهاية موجودة؛ لأن لو النهاية مش موجودة يبقى معنى كده إن المتتابعة مش بتقترب من عدد معيّن. وبالتالي بنسمّيها متتابعة بتتباعد، مش بتقترب.

علشان نعرف نحسب نهاية المتتابعة؛ بنستخدم الحدّ النوني بتاعها، ونجيب له النهاية. وعلى أساس شكل الحدّ النوني؛ يعني لو كان دالة قوى أو دالة نسبية. فبنتعامل معاها على إنها يا إمّا دالة نسبية، أو دالة قوى. وبنستخدم خواص إيجاد النهايات، اللي هي في خصائص الجمع، والطرح، والضرب في ثابت، أو دوال المقلوب، أو خاصية القسمة؛ علشان نحسب النهاية.

الجدول اللي قدّامنا ده بيوضّح بعض الخصائص التي يتمّ استخدامها لحساب نهايات المتتابعات جبريًّا. الدالة الثابتة لمَّا د س تساوي ل، اللي هو عدد ثابت ل. يبقى نهاية دالة س هتساوي نفس القيمة ل حتى لو الـ س بتئول للـ أ، أو الـ س بتئول لأيّ عدد. دالة المقلوب لأيّ عدد صحيح موجب ن، يبقى نهاية الدالة لمَّا الـ س هتئول لموجب وسالب ما لا نهاية هتساوي صفر. لأيّ دالة فيها واحد على، س أُس ن.

نهاية الدالة في الجمع والطرح، هتبقى نهاية الدالة الأولانية زائد أو ناقص نهاية الدالة التانية. لمَّا بنكون ضاربين في ثابت بناخد الثابت برّه، وبنضربه في نهاية د س لمَّا الـ س بتئول للعدد اللي إحنا عايزينه.

نهاية د س على ر س لمَّا الـ س بتئول للـ أ. هتساوي نهاية د س لمَّا الـ س بتئول للـ أ، على نهاية ر س لمَّا الـ س بتئول للـ أ. وناخد بالنا إن نهاية ر س لازم لا تساوي صفر؛ علشان ما تخلّيش القيمة غير موجودة، أو يحصل خطأ في الناتج اللي بيظهر لنا. في المتتابعات هنستخدم الخصائص دي؛ بس بدل ما أنا الـ س هتئول للـ أ، هنقول ن تئول للمالانهاية. اقلب الصفحة، وناخد مثال.

اكتب أول خمس حدود للمتتابعة الآتية، ثم احسب نهاية المتتابعة إن وُجِدَتْ. ح ن تساوي تلاتة ن زائد واحد، على ن زائد خمسة.

أول حدّ اللي هو ح واحد هيساوي تلاتة في واحد، زائد واحد؛ على واحد زائد خمسة. هتساوي أربعة على ستة، واللي هتساوي تقريبًا ستمية سبعة وستين من ألف. وهكذا ح اتنين هنعوّض بالـ ن تساوي اتنين. وَ ح تلاتة لمَّا الـ ن تساوي تلاتة. وَ ح أربعة لمَّا الـ ن تساوي أربعة. وَ ح خمسة لمَّا الـ ن هتساوي خمسة.

ح اتنين هتساوي واحد. ح تلاتة هتساوي واحد وخمسة وعشرين من مية. ح أربعة هتساوي تقريبًا واحد وربعمية أربعة وأربعين من ألف. ح خمسة هتساوي واحد وستة من عشرة. بعد كده هنحسب نهاية المتتابعة، يعني عايزين نحسب نهاية تلاتة ن زائد الواحد، على ن زائد الخمسة؛ لمَّا الـ ن هتئول للمالانهاية.

أول حاجة هنتعامل معاها على إنها دالة نسبية، هنقسم البسط والمقام كل حدّ فيهم على أعلى قوى وهي الـ ن أُس واحد. يعني هنقول نهاية لمَّا الـ ن تئول للمالانهاية تلاتة ن على ن، زائد واحد على ن؛ ده البسط. والمقام ن على ن، زائد خمسة على ن. هنبسّطها؛ هنختصر الـ ن مع الـ ن، والـ ن مع الـ ن.

بعد كده هنستخدم خصائص القسمة، والمجموع، والضرب في ثابت. يعني هنساوي البسط؛ هنقسّم عليه النهاية. يبقى نهاية تلاتة لمَّا الـ ن تئول للمالانهاية، زائد نهاية واحد على ن لمَّا الـ ن تئول للمالانهاية. والمقام نهاية واحد لمَّا الـ ن تئول للمالانهاية، زائد الخمسة في نهاية واحد على ن لمَّا الـ ن تئول للمالانهاية. دي خاصية الضرب في ثابت.

بعد كده هنستخدم نهاية الدالة الثابتة، ودالة المقلوب عند المالانهاية. يبقى هيساوي … البسط هيبقى نهاية التلاتة دي دالة ثابتة، يعني هتبقى قيمة النهاية بتاعتها تلاتة. نهاية واحد على ن لمَّا الـ ن تئول للمالانهاية، هتبقى صفر. على … نهاية الواحد لمَّا الـ ن تئول للمالانهاية دالة ثابتة. زائد خمسة في … نهاية الواحد على ن لمَّا الـ ن تئول للمالانهاية دي صفر. يبقى هيساوي تلاتة. يبقى نهاية المتتابعة: تلاتة ن زائد واحد، على ن زائد خمسة؛ هو قيمة: تلاتة.

ممكن نتأكّد من الحل بيانيًّا بإن إحنا نرسم الدالة: ح ن تساوي تلاتة ن زائد واحد، على ن زائد خمسة.

من التمثيل البياني هنلاقي إن كل امّا هتزيد الـ ن، هتقرّب قيمة الـ ح ن من التلاتة. ده معناه إن نهاية المتتابعة هي تلاتة، وحدود المتتابعة بتقترب من قيمة تلاتة في المالانهاية. ممكن نتأكّد كمان بالتعويض بقيم ن كبيرة؛ علشان نعرف إن فعلًا كل امّا بتزيد الـ ن حدود المتتابعة قيمها بتوصل للتلاتة. نقلب الصفحة، ونشوف الجدول.

في الجدول الـ ن لمَّا هتساوي المية، وبعدين الألف، والعشرة آلاف؛ هنلاقي الـ ح ن بتقترب من التلاتة. يبقى نلاحظ إن حدود المتتابعة تقترب من العدد تلاتة كلما كبرت ن. يبقى لمَّا هنقول نهاية المتتابعة هي تلاتة، يبقى معناه إن حدود المتتابعة بتقترب من التلاتة. نقلب الصفحة، وناخد مثال كمان.

اكتب أول خمس حدود للمتتابعة الآتية، ثم احسب نهاية المتتابعة إن وُجِدَتْ. ر ن يساوي خمسة على ن أُس أربعة، مضروبة في ن تربيع في ن زائد الواحد الكل تربيع، على أربعة.

أول خمس حدود لمَّا الـ ن تساوي واحد، واتنين، وتلاتة، وأربعة، وخمسة. يبقى هنعوّض بكل قيمة، وهنشوف ر ن هتبقى كام.

دي هتبقى قيم أول خمس حدود بعد ما عوّضنا بالـ ن تساوي واحد، واتنين، وتلاتة، وأربعة، وخمسة. بعد كده هنجيب نهاية المتتابعة ر ن؛ يعني هنجيب نهاية ر ن لمَّا الـ ن تئول للمالانهاية. اللي هي هتساوي نهاية خمسة على ن أُس أربعة لمَّا الـ ن تئول للمالانهاية. لِـ ن تربيع في ن زائد الواحد الكل تربيع، على أربعة.

أول حاجة هنربّع ثنائية الحدّ، اللي هي ن زائد الواحد الكل تربيع، وبعدين نضربها في ن تربيع. بعد كده هنضرب خمسة على ن أُس أربعة في القوس الكبير ده كله. اللي هو فيه ن أُس أربعة، زائد اتنين ن تكعيب، زائد ن تربيع؛ على أربعة. يبقى هيساوي خمسة ن أُس أربعة، زائد عشرة ن أُس تلاتة، زائد خمسة ن أُس اتنين؛ على أربعة ن أُس أربعة. كل الكلام ده هنجيب له النهاية لمَّا الـ ن تئول للمالانهاية.

دي كده دالة نسبية عايزين نجيب لها النهاية لمَّا هتئول للمالانهاية. يبقى هنقسم على أعلى قوى في البسط والمقام؛ اللي هي ن أُس أربعة. يبقى هتساوي نهاية ن لمَّا تئول للمالانهاية خمسة ن أُس أربعة، على ن أُس أربعة. زائد عشرة ن أُس تلاتة، على ن أُس أربعة. زائد خمسة ن تربيع، على ن أُس أربعة. على؛ أربعة ن أُس أربعة، على ن أُس أربعة.

يبقى هيتبقّى عندنا لمَّا ن تئول للمالانهاية. البسط ن أُس أربعة هنختصرها مع ن أُس أربعة، يبقى خمسة. زائد عشرة على ن، زائد خمسة على ن تربيع. والمقام هيبقى أربعة.

لمَّا هنستخدم نفس الخصائص اللي استخدمناها: القسمة، والمجموع، والضرب في ثابت. يبقى نهاية خمسة للـ ن لمَّا تئول للمالانهاية. زائد نهاية عشرة على ن لمَّا الـ ن تئول للمالانهاية. زائد خمسة في نهاية واحد على ن تربيع لمَّا الـ ن تئول للمالانهاية. على؛ نهاية أربعة لمَّا الـ ن هتئول للمالانهاية.

دي هتبقى قيمتها خمسة. دي هتبقى بصفر؛ لأنها دالة مقلوب، والـ ن بتئول للمالانهاية. ودي كمان هتبقى بصفر؛ لأنها نهاية دالة مقلوب، والـ ن بتئول للمالانهاية. والأربعة هتبقى قيمتها أربعة؛ لأن دي دالة ثابتة. يبقى قيمة النهاية عندنا هتساوي خمسة على أربعة، يعني هتساوي واحد وربع.

يبقى نهاية المتتابعة هي واحد وربع، بمعنى إن حدود المتتابعة بتقترب من واحد وربع. وممكن نتأكّد من الكلام ده بإن إحنا نعمل جدول القيم. نقلب الصفحة، ونشوف الجدول.

يبقى الجدول زيّ ما إحنا شايفين لمَّا الـ ن بتكبر وتوصل لغاية ما لا نهاية. هنلاقي إن الدالة ر ن، اللي هو الحدّ النوني للمتتابعة، هيقرّب من واحد وربع.

يبقى اتكلّمنا في الفيديو ده إزَّاي هنحسب نهايات المتتابعات. عرفنا إن إحنا بنتعامل مع المتتابعة على إنها دالة نسبية، وبنستخدم خصائص النهايات لحساب قيمتها. وعرفنا إن نهاية المتتابعة لو كانت موجودة هي بالظبط نفس القيمة اللي بتقرّب لها حدود المتتابعة في المالانهاية. وعرفنا نستخدم جدول القيم، والتمثيل البياني؛ في إن إحنا نتأكّد إن نهاية المتتابعة اللي جِبنا قيمتها صحيحة.