فيديو: إيجاد قيمة عدد مركب له أس

ما ناتج ‪(1 − 2𝑖)⁴‬‏؟

٠٤:٢٥

‏نسخة الفيديو النصية

ما ناتج واحد ناقص اثنين 𝑖 الكل أس أربعة؟

إن ما تعنيه الأس أربعة لعدد مركب هو نفس ما تعنيه لعدد حقيقي. فكل ما تفعله هو إيجاد حاصل ضرب أربع نسخ من هذا العدد، لذا، واحد ناقص اثنين 𝑖 أس أربعة يساوي واحدًا ناقص اثنين 𝑖 في واحد ناقص اثنين 𝑖 في واحد ناقص اثنين 𝑖 في واحد ناقص اثنين 𝑖.

لنحسب هذا من خلال إيجاد ناتج واحد ناقص اثنين 𝑖 أس اثنين، أو واحد ناقص اثنين 𝑖 تربيع، وهو ما يساوي واحدًا ناقص اثنين 𝑖 في واحد ناقص اثنين 𝑖. نفك الأقواس في الطرف الأيمن باستخدام خاصية التوزيع كما نفعل إذا كان لدينا هنا 𝑥 بدلًا من 𝑖. الفارق الوحيد هو أن 𝑖 تربيع يساوي سالب واحد، ومن ثم كلما رأينا 𝑖 تربيع، يمكننا أن نعوض عنه بسالب واحد من أجل التبسيط.

إذن، موجب أربعة 𝑖 تربيع يصبح سالب أربعة. وبتجميع الحدين الثابتين معًا، نجد أن واحدًا ناقص اثنين 𝑖 تربيع يساوي سالب ثلاثة ناقص أربعة 𝑖. وبما أننا الآن، أوجدنا ناتج واحد ناقص اثنين 𝑖 تربيع، فيمكننا الانتقال إلى واحد ناقص اثنين 𝑖 تكعيب. تسري قوانين الأسس التي نعرفها ونحبها على الأعداد المركبة، ومن ثم، فإن واحدًا ناقص اثنين 𝑖 تكعيب يساوي واحدًا ناقص اثنين 𝑖 تربيع في واحد ناقص اثنين 𝑖.

ويمكننا التعويض بقيمة واحد ناقص اثنين 𝑖 تربيع التي حصلنا عليها سابقًا، ويمكننا فك هذه الأقواس. نحصل على سالب ثلاثة زائد ستة 𝑖 ناقص أربعة 𝑖 زائد ثمانية 𝑖 تربيع. ومرة أخرى بما أن 𝑖 تربيع يساوي سالب واحد، فإن ثمانية 𝑖 تربيع يساوي سالب ثمانية. وبتجميع هذا مع الحد الحقيقي الآخر، سالب ثلاثة، نحصل على سالب 11.

يمكننا أيضًا تجميع الحدين التخيليين لنحصل على موجب اثنين 𝑖. إذن، واحد ناقص اثنين 𝑖 تكعيب يساوي سالب 11 زائد اثنين 𝑖. أصبحنا الآن مستعدين للتعامل مع السؤال: ما ناتج واحد ناقص اثنين 𝑖 الكل أس أربعة؟ حسنًا، إنه يساوي واحدًا ناقص اثنين 𝑖 تكعيب في واحد ناقص اثنين 𝑖، وهو ما يساوي سالب 11 زائد اثنين 𝑖 في واحد ناقص اثنين 𝑖.

وبفك تلك الأقواس، نحصل على سالب 11 زائد 22𝑖 زائد اثنين 𝑖 زائد أربعة 𝑖 تربيع. وبتذكر أن 𝑖 تربيع يساوي سالب واحد وبتجميع الحدين الحقيقيين والحدين التخيليين معًا، نحصل على إجابتنا النهائية: سالب سبعة زائد 24𝑖. كانت تلك إحدى الطرق لإيضاح أن واحدًا ناقص اثنين 𝑖 الكل أس أربعة يساوي سالب سبعة زائد 24𝑖.

ثمة طريقة أخرى تستخدم مفكوك ذات الحدين. في هذه الحالة، يجب علينا ألا نستخدم حقيقة أن 𝑖 تربيع يساوي سالب واحد وحسب، ولكن أيضًا حقيقة أن 𝑖 تكعيب يساوي 𝑖 تربيع في 𝑖 وأن 𝑖 تربيع يساوي سالب واحد، إذن 𝑖 تكعيب يساوي سالب واحد في 𝑖 وهو ما يساوي سالب 𝑖، وأيضًا أن 𝑖 أس أربعة يساوي 𝑖 تربيع في 𝑖 تربيع، وهو ما يساوي سالب واحد في سالب واحد، والذي يساوي واحدًا.

باستخدام هذه الحقائق، سوف تحصل على الإجابة نفسها وهي أن واحدًا ناقص اثنين 𝑖 الكل أس أربعة يساوي سالب سبعة زائد 24𝑖.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.