فيديو السؤال: إيجاد معادلة العمودي على منحنى معرف بمعادلات بارامترية عند قيمة معطاة للبارامتر الرياضيات

أوجد معادلة العمودي على المنحنى المعرف بالمعادلتين البارامتريتين ﺱ = ٤ﻥ^٢ − ٦ﻥ، وﺹ = ٥ﻥ^٢ عند ﻥ = ١.

٠٧:٢٢

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد معادلة العمودي على المنحنى المعرف بالمعادلتين البارامتريتين ﺱ يساوي أربعة ﻥ تربيع ناقص ستة ﻥ، وﺹ يساوي خمسة ﻥ تربيع عند ﻥ يساوي واحدًا.

دعونا نذكر أنفسنا أولًا بما يعنيه العمودي. لنفترض أن لدينا منحنى ﺹ ونريد إيجاد العمودي عليه عند هذه النقطة. لدينا مماس للمنحنى له نفس الميل ﺩﺹ على ﺩﺱ مثل المنحنى ﺹ. العمودي هو الخط المتعامد على المماس عند نقطة ما. من ثم، يكون للعمودي الميل سالب واحد على ﺩﺹ على ﺩﺱ.

لكن ما النقطة التي تعنينا في هذه المسألة؟ لدينا ﺱ وﺹ معرفان بدلالة بارامتر ثالث، ﻥ. ونعرف أننا نريد معادلة العمودي عند النقطة التي عندها ﻥ يساوي واحدًا. إذن بالتعويض عن ﻥ بواحد، نجد أن ﺱ يساوي أربعة مضروبًا في واحد تربيع ناقص ستة في واحد، وهو ما يعطينا أربعة ناقص ستة. وهذا يعطينا سالب اثنين. بالتعويض بـ ﻥ يساوي واحدًا في ﺹ، نحصل على ﺹ يساوي خمسة مضروبًا في واحد تربيع، وهو ما يعطينا خمسة.

لذا، نريد معادلة العمودي عند النقطة سالب اثنين، خمسة. ذكرنا الآن أن ميل العمودي يساوي سالب واحد على ﺩﺹ على ﺩﺱ. إذا استطعنا إيجاد ميل العمودي، يمكننا استخدام ذلك والنقطة التي وجدناها للتو لإيجاد معادلة العمودي. علينا إذن أن نبدأ بإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. عادة يمكننا فعل ذلك باشتقاق ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. لكن ليس لدينا ﺹ بدلالة ﺱ، ومن ثم نشتق بارامتريًّا. هذا يعني أنه إذا كانت ﺱ وﺹ دالتين لبارامتر ثالث ﻥ، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩﻥ على ﺩﺱ على ﺩﻥ. وهذا لا بأس به ما دام أن ﺩﺱ على ﺩﻥ لا يساوي صفرًا.

لنبدأ إذن بإيجاد ﺩﺹ على ﺩﻥ. هذه مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﻥ. ‏ﺹ يساوي خمسة ﻥ تربيع. وباستخدام قاعدة القوة للاشتقاق، التي تنص على أن نضرب في الأس ثم نطرح واحدًا من الأس، يصبح لدينا ﺩﺹ على ﺩﻥ يساوي ‎١٠ﻥ‏. ‏‎‏ ﺩﺱ على ﺩﻥ هي مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﻥ. وبما أن ﺱ يساوي أربعة ﻥ تربيع ناقص ستة ﻥ، باستخدام قاعدة القوة مرة أخرى، نجد أن ﺩﺱ على ﺩﻥ يساوي ثمانية ﻥ ناقص ستة. إذن، ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ١٠ﻥ على ثمانية ﻥ ناقص ستة.

تذكر أن ما يعنينا فقط هو الميل عند نقطة محددة. وتلك النقطة هي عند ﻥ يساوي واحدًا. إذن، بالتعويض عن ﻥ بواحد، ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ١٠ على اثنين. ويمكننا تبسيط ذلك لأن ١٠ على اثنين يساوي خمسة. تذكر أننا قلنا إن ﺩﺱ على ﺩﻥ، أي المقام، يجب ألا يساوي صفرًا. وبما أننا وجدنا أن ﺩﺱ على ﺩﻥ يساوي ثمانية ﻥ ناقص ستة، وعند النقطة التي يكون عندها ﻥ يساوي واحدًا، فإن هذا يساوي اثنين، فمن المقبول أننا استخدمنا هذه الصيغة.

الآن تذكر أننا قلنا إن ميل العمودي يساوي سالب واحد على ﺩﺹ على ﺩﺱ. وبما أننا وجدنا أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي خمسة، فباستخدام هذه الصيغة، نجد أن ميل العمودي يساوي سالب واحد على خمسة عند النقطة ﻥ يساوي واحدًا. يصبح لدينا الآن ميل العمودي والنقطة التي تعنينا، سالب اثنين، خمسة. يمكننا إيجاد معادلة العمودي.

نعلم صيغة الميل ونقطة للمعادلة العامة للخط لمستقيم. وهي عندما يكون معلومًا لدينا الميل ونقطة على المستقيم. وهذه الصيغة هي: ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡﺱ ناقص ﺱ واحد، حيث ﻡ هو الميل، وﺱ واحد ﺹ واحد هي نقطة على المستقيم. إذن، بعد التعويض عن ﻡ بسالب واحد على خمسة وﺱ واحد بسالب اثنين وﺹ واحد بخمسة، نجد أن معادلة العمودي هي ﺹ ناقص خمسة يساوي سالب واحد على خمسة في ﺱ ناقص سالب اثنين.

بالطبع، هذه ليست الطريقة المثلى للتعبير عن إجابتنا، لذا سنجري بعض التبسيط. أولًا، لدينا داخل القوس ﺱ ناقص سالب اثنين. ونعلم أنه عند طرح عدد سالب، فإن هذا يماثل الجمع. إذن، هذا يماثل ﺱ زائد اثنين. لنضرب كلا الطرفين أيضًا في خمسة للتخلص من هذا الكسر. وعليه، نحصل على خمسة ﺹ ناقص ٢٥ يساوي سالب ﺱ ناقص اثنين. وهذا يماثل وجود سالب واحد أمام القوس ﺱ زائد اثنين. لنضرب إذن حدي هذا القوس في سالب واحد.

من ثم، نعيد الترتيب لإيجاد الإجابة النهائية. سنحاول وضع جميع الحدود في طرف واحد من علامة يساوي. لنبدأ إذن بإضافة ٢٥ إلى كلا الطرفين، وهو ما يعطينا خمسة ﺹ يساوي سالب ﺱ زائد ٢٣. ثم نطرح بعد ذلك خمسة ﺹ من كلا الطرفين، فنحصل على الإجابة النهائية وهي سالب خمسة ﺹ ناقص ﺱ زائد ٢٣ يساوي صفرًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.