فيديو السؤال: إيجاد معادلة المنحنى من الرسم

نسخة الفيديو النصية

أي من الدوال الآتية ممثل بيانيًا في الشكل الموضح؟ هل هي (أ) ﺹ يساوي سالب ﺱ زائد واحد تربيع في ﺱ زائد سبعة، أم (ب) ﺹ يساوي ﺱ ناقص واحد تربيع في ﺱ ناقص سبعة، أم (ج) ﺹ يساوي ﺱ ناقص سبعة تربيع في ﺱ ناقص واحد، أم (د) ﺹ يساوي سالب ﺱ زائد سبعة تربيع في ﺱ زائد واحد، أم (هـ) ﺹ يساوي ﺱ زائد سبعة تربيع في ﺱ زائد واحد؟

نرى هنا أن التمثيل البياني يحتوي على نقطتي تقاطع مع محور ﺱ عند واحد وسبعة. هذا يعني أن جميع الدوال يجب أن تكون بالصورة ﺹ يساوي عددًا ما ﺃ في ﺱ ناقص واحد أس عدد ما ﻥ، في ﺱ ناقص سبعة أس عدد ما ﻡ. ويمكننا استبعاد عدة خيارات ليست بهذه الصورة. لقد استبعدنا إذن الخيارات (أ) و(د) و(هـ). ومن ثم، يتبقى لدينا الخياران (ب) و(ج).

والآن، كيف سنختار بين هذين الخيارين؟ في الخيار (ب)، قيمة ﻥ هي اثنان، وقيمة ﻡ هي واحد. والعكس تمامًا موجود في الخيار (ج). قيمة ﻡ هي اثنان، وقيمة ﻥ هي واحد. في التمثيل البياني، نلاحظ وجود اختلاف كبير بين نقطتي التقاطع مع محور ﺱ. فالمنحنى عند الجزء المقطوع من محور ﺱ عند ﺱ يساوي واحدًا يقطع المحور ﺱ، بينما عند الجزء المقطوع من محور ﺱ عند ﺱ يساوي سبعة يمس المنحنى المحور ﺱ ولا يقطعه.

وحقيقة أن المنحنى يمس محور ﺱ عند ﺱ يساوي سبعة تعني أنه لا بد من وجود جذر متكرر هنا. لذلك، فإن أس ﺱ ناقص سبعة، أي، ﻡ، لا يمكن أن يساوي واحدًا. في الواقع، يمكن أن نقول أكثر من ذلك. يمكننا القول: إن ﻡ عدد زوجي، ولكننا لا نحتاج لذلك في هذه المسألة. وهكذا، يكون لدينا معلومات كافية لاستبعاد الخيار (ب)؛ لأن ﻡ فيه يساوي واحدًا. ويتبقى لدينا الخيار (ج) فقط: ﺹ يساوي ﺱ ناقص سبعة تربيع في ﺱ ناقص واحد.

في هذه المسألة، لم نكن بحاجة إلى معرفة أي شيء عن قيمة ﺃ، ولكن يمكننا من التمثيل البياني ملاحظة أن ﺃ سيكون موجبًا، وهو أمر منطقي؛ نظرًا لأن الإجابة التي وصلنا إليها فيها ﺃ يساوي واحدًا. ولو كان ﺃ سالبًا، لانتقل منحنى الدالة من الربع الثاني إلى الربع الرابع، مع زيادة ﺱ، بدلًا من انتقاله الحالي من الربع الثالث إلى الربع الأول. ولو كان ﺃ يساوي سالب واحد، لكان المنحنى الذي كنت ستراه في الرسم قد صار هو نفسه معكوسًا بالنسبة للمحور ﺱ. ولقد رسمت شكله هنا بخط متقطع. ولو كان ﺹ يساوي سالب ﺱ ناقص سبعة تربيع في ﺱ ناقص واحد هو أحد الخيارات، لكنا استبعدناه من خلال فك هذا الخيار، وملاحظة أنه يعني أن الجزء المقطوع من محور ﺹ كان موجبًا، بينما من الواضح أن الجزء المقطوع من محور ﺹ في التمثيل البياني سالب.