فيديو: حل أنظمة المتباينات الخطية بيانيًّا

نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على حلّ أنظمة المتباينات الخطية بيانيًّا. لمّا بيكون عندنا أكتر من متباينة، بنفس المتغيرات، بنسمي المتباينات دي نظام متباينات. وحلّ أنظمة المتباينات، بيبقى هو إيجاد زوج مرتب أو أكتر، بيحقّق جميع المتباينات في النظام، في نفس الوقت. يعني لو في الشكل اللي قدامنا ده، عندنا متباينة: س أكبر من تلاتة، وَ س أصغر من أو تساوي سبعة. الاتنين دول مع بعض، في نفس المتغيّر. يبقى ده نظام متباينات.

حلّ أنظمة المتباينات، بإن إحنا بنشوف المنطقة اللي فيها نفس الزوج المرتب، بيحقّق جميع المتباينات. يعني الـ س أكبر من التلاتة، اللي هي بتمثّل المنطقة دي، اللي هي بعد الخط اللي إحنا راسمينه. وبعدين الـ س أصغر من أو تساوي السبعة، اللي هي دي، اللي هي تحت أو شمال الخط. طيب هنا أصغر من أو يساوي، يبقى معناها إن الخط البنفسجي بتاع المعادلة ده، واصل في بعضه، ما فيهوش تنقيط. لكن س أكبر من التلاتة، يبقى معناها إن الخط بيبقى متقطّع. يعني المنطقة بتبقى أكبر من تلاتة، لكن ما بناخدش اللي على الخط نفسه.

المطلوب منّنا إزَّاي نعرف نحلّ أنظمة المتباينات دي، من على الرسم البياني. خطوات الحلّ. أول خطوة: هنرسم كل متباينة في النظام، على الرسم البياني. وناخد بالنا لو مكتوب يساوي، أو مش مكتوب يساوي. لأن لو مكتوب يساوي، يبقى الخط نفسه اللي معانا ده، هيبقى من ضمن البيانات بتاعتنا. لكن لو كان ما فيش يساوي، يبقى لازم هننقّط الخط.

تاني خطوة معانا: نحدّد المنطقة المظلّلة المشتركة بين مناطق حلّ المتباينات، والتي تمثّل منطقة حلّ النظام. يعني هي دي اللي بتمثّل الزوج المرتب اللي بيحقّق جميع المتباينات. يعني هنا في الشكل اللي قدامنا دي، المنطقة المشتركة اللي هي دي. يبقى هو ده الحلّ بتاع المتباينتين دول. نقلب الصفحة وناخد مثال على الكلام ده.

المثال بيقول: حلّ النظام الآتي بيانيًّا: ص أكبر من اتنين س ناقص أربعة. وَ ص أصغر من أو يساوي سالب نص س زائد تلاتة. أول خطوة عندنا، إن إحنا هنمثّل كل متباينة في النظام، على الرسم البياني. أول حاجة هنمثّل بيانيًّا المتباينة: ص أكبر من اتنين س ناقص أربعة.

طبعًا هنرسم ص يساوي اتنين س ناقص أربعة. ص يساوي اتنين س ناقص أربعة، يبقى الخط المستقيم اللي هيمثّلها … هنعوّض مرة بالـ ص يساوي صفر، ومرة بالـ س يساوي صفر. ونشوف نقط التقاطع مع محور السينات، ومع محور الصادات. هنلاقي إن الـ ص لمّا بتكون الـ س بصفر، هتقطع عند سالب أربعة. ولمّا بتكون الـ ص هي اللي بصفر، هيقطع عند الـ س تساوي اتنين. نوصّل النقطتين دول ببعض. يبقى الخط ده بيمثّل ص يساوي اتنين س ناقص أربعة.

لكن إحنا عندنا هنا أكبر من. يبقى معناها إن إحنا هنرسم الخط ده متقطّع. وناخد ما هو أكبر من اتنين س ناقص أربعة. والمفروض إن إحنا يا إمّا ناخد المنطقة اللي على شمال الخط، أو على يمين الخط. عشان نعرف إمتى هناخد اللي على اليمين أو على الشمال، ممكن نجرّب بنقطة موجودة. مثلًا زيّ هنا الصفر والصفر، دي على شمال الخط. لو حقّقت المعادلة وطلعت فعلًا بتحقّقها أو بتحقّق المتباينة. يبقى معنى كده إن المنطقة المقصودة لمّا ص أكبر من اتنين س ناقص أربعة، تبقى هي دي اللي معانا.

يعني لو حطّينا مثلًا عند الصفر والصفر، يبقى هنا الصفر أكبر من اتنين في صفر ناقص أربعة. يبقى معنى كده إن الصفر أكبر من … ده طبعًا هتبقى بصفر. يبقى الصفر أكبر من سالب أربعة. وده فعلًا صح. يبقى المنطقة اللي إحنا قاصدينها بِـ ص أكبر من اتنين س ناقص أربعة، هي المنطقة دي.

نرسم المتباينة التانية اللي هي: ص أصغر من سالب نص س زائد تلاتة. يبقى هنرسم ص يساوي سالب نص س زائد تلاتة. زيّ ما رسمنا المتباينة اللي فاتت، هنشوف لمّا الـ ص تساوي صفر، الـ س هتساوي كام. ولمّا الـ س تساوي صفر، الـ ص تساوي كام. لمّا الـ س تساوي صفر، يبقى هيقطع هنا الصادات عند التلاتة. ولمّا الـ ص تساوي صفر، هيقطع عند الستة. وهنوصّل الخطين دول. يبقى ده يمثّل ص يساوي سالب نص س زائد تلاتة. وطبعًا بما إننا عندنا هنا فيه يساوي في المتباينة، يبقى معنى كده إن الخط المستقيم ده هيبقى بالشكل ده، مش هيبقى متقطّع.

نحدّد المنطقة اللي هي أصغر من أو يساوي سالب نص س زائد تلاتة. زيّ ما عملنا اللي فاتت بالظبط، هنحطّ الصفر والصفر. ونشوف الصفر فين. صفر أصغر من أو يساوي تلاتة. فعلًا يبقى هو قاصد المنطقة دي. اللي هي موجودة فيها الصفر والصفر، هي دي المنطقة اللي إحنا عايزينها. كده أول خطوة في الحلّ، إن إحنا مثّلنا كل متباينة. وكمان حلو جدًّا إن إحنا نختار كل متباينة بلون، علشان نعرف نطلّع المنطقة المشتركة.

تاني خطوة هي: حدّد المنطقة المظلّلة المشتركة، بين مناطق حلّ متباينات النظام. وهي دي اللي بتمثّل الحلّ. يبقى المنطقة هنا اللي فيها الخطّين الأخضر والبنفسجي، هي المنطقة دي. يبقى هو ده منطقة الحلّ بتاعتنا. وعلشان نتأكّد إن الحلّ بتاعنا صح، نشوف نقطة سهلة نعوّض بيها في المتباينتين. ولو حقّقت المتباينتين، يبقى فعلًا هو ده حلّ النظام. لو بصّينا على أسهل نقطة دايمًا بنستخدمها، اللي هي الصفر والصفر. عوّضنا بيها في معادلة، وعوّضنا بيها في التانية، ولقيناها بتحقّقها. يبقى فعلًا المنطقة اللي إحنا اخترناها دي سليمة.

وعشان نتأكّد من الحلّ بتاعنا سليم، ناخد نفس النقطة، اللي هي الصفر والصفر. ونعوّض بيها في المتباينتين. لأن دي أسهل نقطة للتعويض. وهنلاقي زيّ ما عملنا في الجزئية الأولانية في الحلّ. عوّضنا بيها، طلعت مرة الصفر أكبر من سالب أربعة، في المتباينة الأولانية. ودي فعلًا حقيقة. والمرة التانية طلعت الصفر في المتباينة التانية أصغر من أو يساوي تلاتة. وده فعلًا كلام صح. يبقى معنى كده إن النقطة صفر وصفر، موجودة في المنطقة بتاعة الحلّ، وبتحقّق المتباينتين. يبقى فعلًا المنطقة دي هي منطقة حلّ النظام.

فيه بعض المتباينات، لمّا بنيجي نحلّهم مع بعض، ما بنلاقيش منطقة متقاطعة ما بينهم. وده بيبقى ما فيش حلّ للمتباينتين مع بعض. نقلب الصفحة، وناخد مثال على الكلام ده. المثال بيقول: حلّ النظام الآتي بيانيًّا: ص أكبر من أو يساوي س زائد خمسة. وَ ص أصغر من س ناقص أربعة. أول خطوة عندنا، هنمثّل كل متباينة بيانيًّا. أول حاجة نرسم ص أكبر من أو يساوي س زائد خمسة. يعني هنرسم ص يساوي س زائد خمسة.

زيّ ما قلنا، الأسهل إن إحنا نشوف بيتقاطع مع السينات والصادات في إيه. فهنشوف لمّا الـ ص تساوي صفر، يبقى الـ س هتساوي سالب خمسة. ولمّا الـ س هتساوي صفر، يبقى الـ ص هتبقى خمسة. وهنوصّل ما بينهم. وهنا بيقول لنا أكبر من أو يساوي س زائد خمسة، يعني الخط بتاع ص يساوي س زائد خمسة، ده معانا.

والمنطقة الأكبر من، عشان نعرفها، زيّ ما قلنا، هنعوّض بأسهل نقطة عندنا. لو جينا هنا جرّبنا الصفر والصفر، يبقى هنا صفر أكبر من صفر زائد خمسة. طبعًا ده مش صح. يبقى المنطقة اللي إحنا عايزينها، مش اللي فيها الصفر والصفر. لأة، ده اللي هي فوق الخط بتاع معادلة ص يساوي س زائد خمسة.

نمثّل تاني معادلة، اللي هي: ص أصغر من س ناقص أربعة. هنشوف التقاطع مع محور السينات ومحور الصادات. لمّا الـ ص هتساوي صفر، يبقى الـ س هتساوي أربعة. ولمّا الـ س هتساوي صفر، يبقى الـ ص هتساوي سالب أربعة. نوصّل ما بينهم. وهنا عندنا الـ ص أصغر من س ناقص أربعة، يعني الخط ده منقّط؛ لأنه مش معانا في المنطقة بتاعة الحلّ. والمنطقة اللي أصغر من س ناقص أربعة، ممكن نتأكّد منها. هي هتبقى المنطقة اللي تحت دي. وممكن نتأكّد منها بالطريقة اللي إحنا عملناها قبل كده.

تاني خطوة في الحلّ، إن إحنا بنحدّد المنطقة المشتركة ما بين المتباينات. وهنا ما فيش منطقة مشتركة. يبقى معنى كده إن ما فيش حلّ مشترك ما بين المتباينتين. يبقى الحلّ عندنا هتبقى مجموعة الحلّ هي: المجموعة الخالية 𝜙 لأن لا يوجد نقاط مشتركة بين المتباينات.

هنا في أنظمة المتباينات، لو كان حصل تقاطُع بين المنطقتين في المثال ده؛ كنا قلنا إن فيه حلّ هو المنطقة اللي ما بينهم. لو كان ده مش نظام متباينات، يعني ما كانش فيه أكبر من أو أصغر من، وكانت معادلة عادية؛ كنا هنقول إن ده ما فيش حلّ. لأن ما دام الخطين بتوع المعادلات ما تقاطعوش، يبقى ما فيش حلّ.

يعني مثلًا في الرسم البياني ده، لو كانت منطقة الحلّ المشتركة ما بينهم، هي دي في نظام المتباينات؛ يبقى معنى كده هي دي منطقة الحلّ. لكن لو كان دول معادلات أنظمة معادلات، ما كانش هيبقى فيه حلّ؛ كان هيبقى لا يوجد حلّ بين المعادلتين. يعني عند توازي الخطوط في أنظمة المتباينات، يمكن أن يوجد حلّ. لكن في أنظمة المعادلات، لا يوجد حلّ عند تَوازي الخطوط.

لمّا بنيجي نوصف قيود على بعض الاحتمالات في حياتنا، دي نقدر نمثّلها بمتباينات. وبنمثّلها بأنظمة متباينات. ممكن نشوف الحاجة المشتركة بين المزيج ده، بإن إحنا ندوّر على حلّ. وهي دي اللي بنسميها حلّ نظام المتباينات في الحياة بتاعتنا. نقلب الصفحة وناخد مثال.

المثال بيقول: منى هتدخل انتخابات اتحاد الطلبة. وعلشان تكسب، لازم تكون محقّقة تمانين في المية من الطلبة قاموا بالتصويت، اللي عددهم تسعمية طالب وطالبة. وكمان هي محتاجة أكتر من تلتمية وتلاتين صوت، عشان تكسب. إيه هو العدد اللي يضمن إنها تكسب الانتخابات؟ أو يساوي … هنفسّر الكلام اللي مدّيهولنا في المثال ده. إحنا دلوقتي عندنا نوعين من المتغيرات. أول حاجة عدد الطلبة اللي هيصوّتوا. تاني حاجة عدد الأصوات اللي هي محتاجاها.

هنرمز للمتغير الأولاني بِـ س، والمتغير التاني هيبقى ص. عايزين الـ س تساوي تمانين في المية من الطلبة، اللي هم عددهم تسعمية. يعني هتبقى النسبة تمنية من عشرة في التسعمية، هتطلع سبعمية وعشرين. يبقى إحنا عايزين الـ س أكبر من أو يساوي سبعمية وعشرين. هناخد المتغيّر التاني، اللي هو الـ ص. عايزينه يبقى أكبر من تلتمية وتلاتين. لأن هي محتاجة أكتر من تلتمية وتلاتين صوت. يبقى كده عندنا المتباينتين: س أكبر من أو تساوي سبعمية وعشرين. وَ ص أكبر من تلتمية وتلاتين.

هنمثّل الكلام ده بيانيًّا. س أكبر من أو تساوي سبعمية وعشرين، هتبقى بالشكل ده. والـ ص أكبر من تلتمية وتلاتين، هتبقى بالشكل ده. وطبعًا ص أكبر من، يعني الخط هيبقى متقطّع. طبعًا إحنا هنا شايفين إن المنطقة المشتركة هي دي. أول رقم هنشوفه بعد المنطقة المشتركة دي، ممكن يبقى تمنمية والربعمية. يعني الزوج المرتب تمنمية وربعمية، ده أول عدد ممكن يضمن إنها تكسب في الانتخابات، اللي هو هيبقى تمنمية وربعمية. يعني إن تمنمية طالب وطالبة يقوموا بالتصويت، وهي تكسب منهم ربعمية صوت.

يبقى اتكلمنا في الفيديو ده عن إزَّاي نمثّل المتباينات بيانيًّا، ونشوف الحلّ اللي هو المنطقة المشتركة ما بين خطوط المتباينات. عندنا خطوتين. أول خطوة إن إحنا هنمثّلهم بيانيًّا. تاني خطوة بنشوف منطقة التقاطع. وفيه فرق عندنا في المتباينات والمعادلات. لمّا بنرسم أنظمة المعادلات؛ لو الخطوط ما تقاطعتش، استحالة يكون فيه حلّ. يعني لو هم متوازيين، ما فيش حلّ. لكن في أنظمة المتباينات، ممكن المنطقة المشتركة بين الخطوط المتوازية، تِدّي لنا حلّ. وده فرق ما بين النظامين.