فيديو الدرس: الكميات والوحدات في الميكانيكا الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد الكميات الأساسية والمشتقة المستخدمة في الميكانيكا، مثل الطول، والزمن، والسرعة، وكذلك تحديد وحداتها وتحويلات الوحدات.

٢١:٠٣

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد الكميات الأساسية والمشتقة المستخدمة في الميكانيكا، مثل الطول، والزمن، والسرعة، وكذلك تحديد وحداتها وتحويلات الوحدات.

الوحدة هي مقدار معرف لكمية ما. ويمكن التعبير عن أي مقدار آخر لنفس الكمية على صورة مضاعف لهذه الوحدة. على سبيل المثال، الكيلوجرام هو وحدة للكتلة. وأي كتلة أخرى، ككتلة شخص مثلًا، يمكن التعبير عنها على صورة مضاعف لهذه الوحدة. وبعض وحدات القياس المعينة اختيارية، ويمكن تحديدها وفقًا لما هو مناسب. على سبيل المثال، الدرجات والراديان تم تعريفهما بشكل اختياري لاستخدام كل منهما في حالات معينة.

عادة ما يكون الراديان أكثر ملاءمة في المسائل الرياضية، مثل مسائل حساب المثلثات؛ لأن الدوال الأساسية للجيب وجيب التمام تستخدم الراديان بطبيعة الحال. فالكميات المقيسة بالدرجات والدقائق والثواني يجب تحويلها أولًا إلى الراديان قبل استخدامها في الدوال المثلثية. لكن الدرجات هي الطريقة الأكثر بديهية التي نفكر بها في الزوايا. مع ذلك، فكلتا الوحدتين تصف الكمية نفسها، والتي تعرف أيضًا بالبعد، وهي في هذه الحالة زاوية.

يحتوي كل نظام من الوحدات على وحدة لكل كمية مادية. ونظام الوحدات الأكثر شيوعًا هو النظام الدولي للوحدات. يتكون النظام الدولي للوحدات من سبع وحدات أساسية للكميات الأساسية التالية: للكتلة: الكيلوجرام ، للزمن: الثانية ، للطول: المتر، للتيار الكهربي: الأمبير، لكمية المادة: المول ، لشدة الإضاءة: كانديلا، لدرجة الحرارة المطلقة: الكلفن. ولكل كمية من هذه الكميات الأساسية رمز بعد يستخدم في تحليل الأبعاد، وهو ما سنتناوله بعد قليل.

النظام الدولي للوحدات يشكل نظامًا مترابطًا من الكميات، بمعنى أنه يمكن التعبير عن أي كمية مادية أخرى على صورة حاصل ضرب قوى أي من الوحدات السبع الأساسية. دعونا نتناول مثالًا على كيفية اشتقاق إحدى وحدات النظام الدولي لكمية ليست ضمن الوحدات السبع الأساسية.

السرعة تساوي المسافة المقطوعة في فترة زمنية. أي من الآتي ليس وحدة للسرعة؟ هل هي (أ) سنتيمتر لكل ثانية، (ب) متر لكل ثانية، (ج) متر لكل ثانية مربعة، (د) متر لكل دقيقة، (هـ) كيلومتر لكل ساعة؟

بما أن السرعة هي المسافة المقطوعة في فترة زمنية، فإن السرعة ﻉ تعطى بالمعادلة: ﻉ يساوي ﻑ على ﻥ، حيث ﻑ هي المسافة وﻥ هو الزمن المستغرق. يمكننا تحديد بعد السرعة بإجراء تحليل الأبعاد على هذه المعادلة. ويعني هذا التعويض عن كل متغير في الطرف الأيسر من المعادلة بالبعد الخاص به. في هذه الحالة، لدينا المسافة ﻑ لها بعد الطول ﻝ، والزمن المستغرق ﻥ له بعد الزمن ﺯ. يجب أن يكون لطرفي المعادلة البعد نفسه. من ثم، فإن بعد ﻉ لا بد أن يكون مثل بعد ﻑ على ﻥ، أي ﻝ على ﺯ.

يمكننا الآن مقارنة هذا بكل من الإجابات لدينا لنرى أي منها لا يحتوي على وحدات تمثل البعد ﻝ على ﺯ. بالنسبة إلى الإجابة (أ)، لدينا السنتيمتر، وهو من مضاعفات المتر، أي الوحدة الأساسية للطول. ولدينا الثانية، وهي الوحدة الأساسية للزمن. إذن، الإجابة (أ) لها البعد ﻝ على ﺯ. وعليه، تكون هذه بالفعل وحدة للسرعة.

بالنسبة إلى الإجابة (ب)، لدينا الوحدة الأساسية للطول على الوحدة الأساسية للزمن. وعليه، فإن هذه أيضًا وحدة للسرعة. بالنسبة إلى الإجابة (ج)، لدينا الوحدة الأساسية للطول، وهي المتر، مقسومة على الوحدة الأساسية للزمن، ثانية، تربيع. إذن، البعد لدينا هو ﻝ على ﺯ تربيع. وعليه، فإن (ج) ليست من وحدات السرعة. للتأكد من الإجابة نكمل الاختيارات، بالنسبة إلى (د)، لدينا الوحدة الأساسية للطول مقسومة أيضًا على الدقيقة، وهي من مضاعفات الثانية. إذن، لدينا الطول على الزمن مرة أخرى. وبالمثل، بالنسبة إلى (هـ)، لدينا الكيلومتر، وهو من مضاعفات المتر، مقسومًا على الساعة، أي مضاعف للثانية. إذن، لدينا ﻝ على ﺯ أيضًا. من ثم، تكون الإجابة هي (ج). الوحدة «متر لكل ثانية مربعة» ليست وحدة للسرعة.

في بعض الأحيان، قد يكون علينا إجراء أكثر من خطوة واحدة لاشتقاق وحدة النظام الدولي لكمية ليست من ضمن الكميات السبع الأساسية. وعادة ما يكون لكل من هذه الكميات والوحدات اسم خاص. ويحتوي النظام الدولي للوحدات على ٢٢ كمية أخرى مشتقة. إليك بضعة أمثلة. كما يمكنك أن تلاحظ، الكثير من هذه الكميات عبارة عن كميات مألوفة بوحدات ربما تكون بالفعل على دراية بها، مثل وحدة النيوتن للقوة. وبعض هذه الوحدات قد يكون غريبًا، مثل الكولوم للشحنة الكهربية. قد تعتقد أن الشحنة الكهربية كمية أساسية أكثر من التيار. ولكن قياس كمية التيار الكهربي أسهل من الناحية العملية.

يمكن كتابة كل هذه الوحدات المشتقة على صورة حاصل ضرب قوى أي من الوحدات الأساسية للنظام الدولي. على سبيل المثال، يمكن تعريف النيوتن بأنه كيلوجرام واحد أس واحد مضروبًا في متر واحد أس واحد مقسومًا على ثانية واحدة مربعة. وبعض الكميات، مثل الزاوية المستوية، هي في الواقع ما نطلق عليه كميات بلا أبعاد أو لها البعد واحد. وهذا لأنها عبارة عن حواصل ضرب وحدات أساسية للنظام الدولي جميعها أس صفر.

دعونا نأخذ الزاوية المستوية مثالًا، يمكننا التفكير في أي زاوية باعتبارها نوعًا من التناسب. على سبيل المثال، قياس الزاوية 𝜋 راديان يساوي نصف الدائرة أو نصف محيط الدائرة، مقسومًا على محيطها بالكامل. كلتا هاتين الكميتين أطوال. إذن، يتكون الراديان في الواقع من الوحدة الأساسية للنظام الدولي متر على متر، أو متر أس صفر. وبالطبع أي قيمة أس صفر تساوي واحدًا. بعض هذه الوحدات، مثل الفولت لفرق الجهد الكهربي، يمكن أن يصبح معقدًا إلى حد ما إذا عبرنا عنه بدلالة الوحدات الأساسية للنظام الدولي. هيا نلق نظرة على مثال حول كيفية اشتقاق هذه الوحدات الأكثر تعقيدًا من الوحدات السبع الأساسية.

طاقة الحركة، المقيسة بالجول، تعطى بالقاعدة ﻁ يساوي نصف ﻙﻉ تربيع. أي الوحدات الآتية تساوي الجول؟ (أ) كيلوجرام لكل متر لكل ثانية مربعة. (ب) كيلوجرام في متر لكل ثانية. (ج) كيلوجرام في متر مربع لكل ثانية مربعة. (د) كيلوجرام لكل متر مربع لكل ثانية مربعة. (هـ) كيلوجرام في متر لكل ثانية مربعة.

دعونا نفكر في معادلة طاقة الحركة: ﻁ يساوي نصف ﻙﻉ تربيع، حيث ﻁ هي طاقة الحركة، وﻙ هي الكتلة، وﻉ هي السرعة. في المعادلات التي تمثل كميات مادية، يجب أن تكون أبعاد الكميات في كلا الطرفين متماثلة. ومن ثم، فإن بعد طاقة الحركة ﻁ يجب أن يساوي بعد النصف مضروبًا في بعد ﻙ في بعد ﻉ تربيع. النصف هو مجرد عدد. أي إنه بلا أبعاد أو له البعد واحد. وﻙ هي الكتلة، أي إن بعدها الكتلة. أما السرعة المربعة، فهي أكثر تعقيدًا؛ وذلك لأنها ليست بعدًا أساسيًّا في النظام الدولي للوحدات.

لإيجاد بعد السرعة المربعة بدلالة الأبعاد الأساسية في النظام الدولي للوحدات، علينا التفكير في معادلة السرعة أيضًا. تذكر أن السرعة تعطى بالإزاحة ﻑ مقسومة على الزمن المستغرق ﻥ. وبهذا يصبح لدينا السرعة معبرًا عنها بدلالة كميتين من الكميات الأساسية في النظام الدولي للوحدات، وهما الطول والزمن. للإزاحة بعد الطول ﻝ وللزمن المستغرق بعد الزمن ﺯ. إذن، المعادلة ﻉ تربيع يساوي ﻑ تربيع على ﻥ تربيع لها البعد ﻝ تربيع على ﺯ تربيع. بالتعويض بذلك في المعادلة الأصلية لطاقة الحركة، نحصل على بعد طاقة الحركة ﻁ يساوي واحدًا مضروبًا في ﻙ مضروبًا في ﻝ تربيع على ﺯ تربيع.

يمكننا الآن التعويض بالوحدة الأساسية في النظام الدولي لكل من هذه الكميات. البعد واحد ليس له وحدة محددة. أما بالنسبة إلى الكتلة ﻙ، فلدينا الكيلوجرام. وبالنسبة إلى الطول ﻝ، لدينا المتر، وهو في هذه الحالة مربع. وبالنسبة إلى الزمن ﺯ، لدينا الثانية، وهي أيضًا مربعة في هذه الحالة. بدمج كل ذلك، نحصل على وحدة طاقة الحركة بدلالة الوحدات الأساسية للنظام الدولي، وهي كيلوجرام متر مربع لكل ثانية مربعة. بمقارنة هذا بالإجابات المحتملة، يمكننا أن نلاحظ أنه يطابق الإجابة (ج): كيلوجرام في متر مربع لكل ثانية مربعة.

أحيانًا قد لا يكون من المناسب أو المفيد أن نعبر عن وحدة كمية بدلالة الوحدات الأساسية للنظام الدولي. على سبيل المثال، عزم الدوران يمثل التأثير الدوراني لقوة ما، ويعطى بالمعادلة: عزم الدوران يساوي ﻕﻑ، حيث ﻕ هي القوة، وﻑ هي المسافة العمودية من نقطة الارتكاز. إذا كنا نجري تحليل أبعاد على هذه المعادلة لإيجاد وحدة عزم الدوران في النظام الدولي للوحدات، فسنبدأ بملاحظة أن ﻕ له بعد القوة، وﻑ له بعد الطول، وهو بعد أساسي في النظام الدولي للوحدات. لإيجاد بعد القوة، نبدأ بقانون نيوتن الثاني الذي ينص على أن القوة تساوي الكتلة في العجلة، ونحول ذلك إلى «الكتلة في السرعة على الزمن»، ثم إلى «الكتلة في المسافة على الزمن على الزمن».

بتبسيط الطرف الأيسر، نحصل على ﻙﻑ على ﻥ تربيع، وكلها بدلالة كميات أساسية في النظام الدولي للوحدات، ولها البعد ﻙﻝ على ﺯ تربيع. ومن ثم، فإن بعد القوة بدلالة الأبعاد الأساسية في النظام الدولي هو ﻙﻝ على ﺯ تربيع. أي إن الوحدة الأساسية للقوة في للنظام الدولي هي كيلوجرام متر لكل ثانية مربعة.

بالتعويض ببعد القوة في معادلة عزم الدوران، نحصل على بعد عزم الدوران يساوي ﻙﻝ تربيع على ﺯ تربيع. إذن، وحدة عزم الدوران بدلالة الوحدات الأساسية للنظام الدولي هي كيلوجرام متر مربع لكل ثانية مربعة. وهي تماثل تمامًا وحدة الطاقة، بالرغم من أن الكميتين مختلفتان كليًّا. لكن يجب ألا نندهش من ذلك؛ لأنه في سياق مختلف فإن القوة في المسافة تعطينا الشغل المبذول أيضًا، أي الطاقة. وهو أحد الأسباب التي تجعلنا نختار أن نطلق على وحدات الكميات المشتقة، مثل الطاقة، أسماء خاصة، لأنها تعطي سياقًا للوحدة.

في الواقع لا يوجد لعزم الدوران وحدة خاصة به. فالأمر الأكثر شيوعًا هو استخدام الوحدة نيوتن متر، أي نيوتن واحد في متر واحد. على الرغم من أن هاتين الوحدتين متساويتان فعليًّا، لكن عندما نرى الجول، نعرف أننا نتحدث عن الطاقة أو الشغل المبذول. وعندما نرى نيوتن متر، نعرف أننا نتحدث عن العزم أو عزم الدوران.

من الأمور الأخرى الشائعة استخدام الوحدات التي لها مقادير مختلفة عن الوحدات الأساسية للنظام الدولي. على سبيل المثال، الوحدة الأساسية للسرعة في النظام الدولي هي المتر لكل ثانية. لكن في سياقات مختلفة، مثل سرعة سيارة، يمكن استخدام وحدة مختلفة لتكون أنسب، مثل الكيلومتر لكل ساعة. مع ذلك، عادة يكون من الضروري أن نتعامل مع الكميات بوحدات مختلفة. وفي هذه الحالات، غالبًا ما نحول جميع الكميات إلى الوحدات الأساسية للنظام الدولي أولًا. هيا نتناول مثالًا على كيفية تحويل وحدات لها مقادير مختلفة إلى الوحدات الأساسية للنظام الدولي.

ما قيمة ٢٫٨٧ في ١٠ أس سبعة داين بالنيوتن؟

يعرف الداين بأنه جرام واحد مضروبًا في سنتيمتر لكل ثانية مربعة، وهو مفيد بالأخص عند التعامل مع قوى صغيرة جدًّا، مثل التوتر السطحي. أما النيوتن فهو وحدة مشتقة في النظام الدولي، وتعطى بدلالة الوحدات الأساسية للنظام الدولي على الصورة: كيلوجرام واحد في متر لكل ثانية مربعة. يمكننا الآن بدء الحل بتحويل جميع الوحدات الموجودة في الطرف الأيسر من معادلة الداين إلى الوحدات الأساسية للنظام الدولي.

في البداية، لدينا الجرام الواحد يساوي كيلوجرامًا واحدًا مقسومًا على ١٠٠٠، وهو ما يساوي ١٠ أس سالب ثلاثة كيلوجرام. وبالمثل، السنتيمتر الواحد يساوي مترًا واحدًا على ١٠٠، وهو ما يساوي ١٠ أس سالب اثنين متر. وبالنسبة إلى الحد الأخير، ثانية مربعة، فهو لدينا بالفعل بدلالة الوحدات الأساسية للنظام الدولي. لذا، لسنا بحاجة إلى فعل أي شيء هنا. بالتعويض بقيمتي التحويل في معادلة الداين، نحصل على داين واحد يساوي واحدًا في ١٠ أس سالب ثلاثة كيلوجرام في ١٠ أس سالب اثنين متر على ثانية مربعة. بتجميع قوتي العدد ١٠، نحصل على ١٠ أس سالب خمسة كيلوجرام متر مربع لكل ثانية مربعة. إذن، لدينا داين واحد يساوي ١٠ أس سالب خمسة نيوتن.

والآن، بضرب طرفي المعادلة في ٢٫٨٧ في ١٠ أس سبعة، نحصل على عدد وحدات الداين بدلالة النيوتن. بتبسيط الطرف الأيسر نحصل على الناتج النهائي. ‏٢٫٨٧ في ١٠ أس سبعة داين يساوي ٢٨٧ نيوتن.

أحيانًا، قد لا يكون التحويل إلى الوحدات الأساسية للنظام الدولي عملية مباشرة كالضرب في قوة للعدد ١٠. في المثال الأخير، دعونا نلق نظرة على كيفية التحويل من وحدات ذات مقادير غير قياسية إلى الوحدات الأساسية للنظام الدولي والعكس.

أي من الآتي خطأ؟ (أ) ٧٢ كيلومترًا لكل ساعة يساوي ٢٠ مترًا لكل ثانية. (ب) ثلاثة كيلومترات لكل دقيقة يساوي ٥٠ سنتيمترًا لكل ثانية. (ج) ١٥ مترًا لكل ثانية يساوي ٥٤ كيلومترًا لكل ساعة. (د) ٤٢ مترًا لكل دقيقة يساوي ٧٠ سنتيمترًا لكل ثانية.

للتحقق من صحة كل معادلة، علينا تحويل الوحدات المستخدمة في أحد طرفي المعادلة إلى الوحدات المستخدمة في الطرف الآخر من المعادلة. دعونا نحول الوحدات في الطرف الأيمن من كل معادلة إلى الوحدات في الطرف الأيسر من كل معادلة، ثم نقارن بين المعاملات لنرى ما إذا كانت صحيحة أم خاطئة.

نبدأ من (أ)، علينا تحويل الكيلومترات إلى أمتار والساعات إلى ثوان. الكيلومتر الواحد يساوي ١٠٠٠ متر، والساعة الواحدة تساوي ٣٦٠٠ ثانية. إذن، ٧٢ كيلومترًا لكل ساعة يساوي ٧٢ في ١٠٠٠ متر لكل ٣٦٠٠ ثانية. قد يكون من المفيد كتابة ذلك في صورة كسر لنتمكن من رؤية عمليات الضرب والقسمة بشكل أوضح. لدينا ٧٢٠٠٠ متر مقسومًا على ٣٦٠٠ ثانية. بالتبسيط، نحصل على ٢٠ مترًا على ثانية واحدة، أو ٢٠ مترًا لكل ثانية. وعليه، فإن المعادلة (أ) صحيحة.

بعد ذلك، في المعادلة (ب)، علينا تحويل الكيلومترات إلى سنتيمترات، والدقائق إلى ثوان. الكيلومتر الواحد يساوي ١٠٠٠ متر. إذن، بالسنتيمترات، الكيلومتر الواحد يساوي ١٠٠٠٠٠ سنتيمتر، أو ١٠ أس خمسة سنتيمتر. وبالمثل، الدقيقة الواحدة تساوي ٦٠ ثانية. إذن، لدينا ثلاثة كيلومترات لكل دقيقة يساوي ثلاثة في ١٠ أس خمسة سنتيمتر لكل ٦٠ ثانية. بتبسيط هذا الكسر، نحصل على ثلاثة كيلومترات لكل دقيقة يساوي ٥٠٠٠ سنتيمتر لكل ثانية. من ثم، فإن المعادلة الخاطئة هي (ب) ثلاثة كيلومترات لكل دقيقة يساوي ٥٠ سنتيمترًا لكل ثانية.

دعونا ننه هذا الفيديو بتلخيص بعض النقاط الرئيسية. يتكون النظام الدولي للوحدات من سبع وحدات أساسية لسبع كميات مادية أساسية. وكل كمية مادية غير هذه الكميات لها وحدة يمكن التعبير عنها في صورة حاصل ضرب قوى أي من هذه الوحدات الأساسية السبع. يمكن إيجاد وحدة أي كمية مادية بدلالة الوحدات الأساسية للنظام الدولي من معادلة هذه الكمية باستخدام تحليل الأبعاد. وأخيرًا، يمكن تحويل الوحدات ذات المقادير غير القياسية إلى وحدات النظام الدولي بالضرب في المعامل المناسب. على سبيل المثال، ساعة واحدة تساوي ٣٦٠٠ في واحد ثانية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.