فيديو السؤال: إيجاد قيمة مجهولة بحساب التباديل الرياضيات

أوجد مجموعة حل ٤٢ (ﺱ + ٣) ﻝ_٣ = (ﺱ + ٥) ﻝ_٥.

٠٥:٢٦

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة حل ٤٢ في ﺱ زائد ثلاثة ﻝ ثلاثة يساوي ﺱ زائد خمسة ﻝ خمسة.

الرمز ﻥﻝﺭ يعني عدد تباديل ﺭ من العناصر المختلفة المأخوذة من مجموعة من ﻥ من العناصر المختلفة. ويحسب على صورة مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﺭ. يعرف مضروب أي عدد صحيح موجب ﻥ بأنه حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من واحد إلى ﻥ، بما في ذلك هذان العددان. يمكننا كتابة هذا بإيجاز على صورة مضروب ﻥ يساوي ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد. باستخدام هذه العلاقة التكرارية للمضروب، يمكننا بالفعل استنتاج علاقة تكرارية مماثلة لـ ﻥﻝﺭ.

هذه العلاقة هي ﻥﻝﺭ يساوي ﻥ في ﻥ ناقص واحد ﻝﺭ ناقص واحد. يوجد عدد من الطرق لاستنتاج هذه المتطابقة. لكن أسهل طريقة للتأكد من صحتها هي حساب ﻥ ناقص واحد ﻝﺭ ناقص واحد. نحصل من ذلك على مضروب ﻥ ناقص واحد مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﺭ. إذا ضربنا في ﻥ، فسيصبح لدينا مضروب ﻥ في ﻥ ناقص واحد مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﺭ. لكن متطابقة مضروباتنا توضح أن ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد يساوي مضروب ﻥ. إذن، لدينا مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﺭ، وهو ما يكافئ بالطبع تعريف ﻥﻝﺭ. هذه المتطابقة مفيدة جدًّا في حل المعادلة.

نلاحظ أن ﺱ زائد خمسة أكبر من ﺱ زائد ثلاثة بمقدار اثنين، وخمسة أكبر من ثلاثة بمقدار اثنين. إذن، بتطبيق المتطابقة مرة واحدة، نجد أن ﺱ زائد خمسة ﻝ خمسة يساوي ﺱ زائد خمسة في ﺱ زائد أربعة ﻝ أربعة. إذا طبقنا المتطابقة مرة ثانية، هذه المرة على ﺱ زائد أربعة ﻝ أربعة، نلاحظ أن ﺱ زائد خمسة ﻝ خمسة يساوي ﺱ زائد خمسة في ﺱ زائد أربعة في ﺱ زائد ثلاثة ﻝ ثلاثة، حيث عوضنا بـ ﺱ زائد أربعة في ﺱ زائد ثلاثة ﻝ ثلاثة عن ﺱ زائد أربعة ﻝ أربعة باستخدام المتطابقة. يمكننا الآن مساواة هذا الحد الذي يكافئ الطرف الأيسر للمعادلة بالتعبير في الطرف الأيمن.

لاحظ العامل المشترك للعدد الصحيح غير الصفري ﺱ زائد ثلاثة ﻝ ثلاثة في كلا طرفي المعادلة. إذا قسمنا كلا الطرفين على هذا العدد، فسنجد أن ٤٢ يساوي ﺱ زائد خمسة في ﺱ زائد أربعة. سنحل هذه المعادلة التربيعية بالاعتماد على حقيقة أن ﺱ زائد خمسة وﺱ زائد أربعة هما عددان صحيحان متتاليان أكبر من واحد. بما أن ٤٢ هو حاصل ضرب عددين صحيحين متتاليين أكبر من واحد، فإن هذين العددين الصحيحين قريبان جدًّا من الجذر التربيعي لـ ٤٢. الجذر التربيعي لـ ٤٢ يساوي تقريبًا ٦٫٥، الذي يقع بين ستة وسبعة. إذن، تخميننا الأول هو أن ﺱ زائد أربعة يساوي ستة، وﺱ زائد خمسة يساوي سبعة، وبالفعل، سبعة في ستة يساوي ٤٢.

بسبب تساوي حاصلي الضرب هذين، نستنتج أن ﺱ زائد أربعة يساوي ستة وﺱ زائد خمسة يساوي سبعة، ما يعني أن ﺱ يساوي اثنين. يوجد حل آخر لـ ﺱ، تحديدًا عند ﺱ زائد خمسة يساوي سالب ستة، وﺱ زائد أربعة يساوي سالب سبعة؛ لأن سالب ستة في سالب سبعة لا يزال يساوي موجب ٤٢. لكن في هذه الحالة، سيصبح لدينا ﺱ يساوي سالب ١١. لكن الرمز ﻥﻝﺭ يشتمل على الافتراض الضمني بأن ﻥ أكبر من أو يساوي ﺭ. إذن، من الضروري لمسألتنا افتراض أن ﺱ زائد خمسة أكبر من أو يساوي خمسة لأن لدينا رمز تباديل عند ﻥ يساوي ﺱ زائد خمسة وﺭ يساوي خمسة.

لكن هذا الشرط يكافئ الشرط الذي فيه ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا. لذا، على الرغم من أن هذه المعادلة التربيعية لها حلان، ﺱ يساوي اثنين وﺱ يساوي سالب ١١، فإن الحل الوحيد الذي يحقق الشرط الإضافي الذي فرضته المعادلة الأصلية، بأن ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا، هو الحل ﺱ يساوي اثنين. لذا، على الرغم من أن مجموعة حل المعادلة التربيعية التي وجدناها تتضمن عنصرين، فإن مجموعة حل المعادلة الأصلية تتضمن عنصرًا واحدًا فقط هو اثنان.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.