فيديو السؤال: استخدام قانون الجيب لحساب الأطوال وقياسات الزوايا المجهولة في مثلث

نسخة الفيديو النصية

أوجد جميع قياسات زوايا المثلث المعطى وأطوال أضلاعه، مقربًا الأطوال لأقرب ثلاث منازل عشرية، وقياسات الزوايا لأقرب درجة.

بما أنه ليس لدينا مثلث قائم الزاوية، فلا يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس ولا يمكننا استخدام نسب الجيب وجيب التمام والظل. لكن يمكننا استخدام قانون الجيب. ينص قانون الجيب على أن ‪𝑎‬‏ على ‪sin 𝐴‬‏ يساوي ‪𝑏‬‏ على ‪sin 𝐵‬‏ يساوي ‪𝑐‬‏ على ‪sin 𝐶‬‏.

الحروف الصغيرة ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ و‪𝑐‬‏ تمثل أطوال الأضلاع، والحروف الكبيرة تمثل الزوايا، إذن لدينا الحروف الكبيرة بالفعل في هذا المثلث، وهي تمثل الزوايا. والحروف الصغيرة تقابل الحروف الكبيرة مباشرة.

الحرف الصغير ‪𝑎‬‏ يمثل طول الضلع ‪𝐵𝐶‬‏ الذي يبلغ طوله ‪6.3‬‏، والحرف الصغير ‪𝑏‬‏ يمثل طول الضلع ‪𝐴𝐶‬‏ المقابل للزاوية ‪𝐵‬‏، والحرف الصغير ‪𝑐‬‏ يمثل طول الضلع ‪𝐴𝐵‬‏ المقابل للزاوية ‪𝐶‬‏.

هيا نعوض بما لدينا من معطيات. نعرف أن ‪𝐴‬‏ يساوي ‪41‬‏ درجة، ونعرف أن ‪𝐵‬‏ يساوي ‪82‬‏ درجة، ونعرف أن ‪𝑎‬‏ يساوي ‪6.3‬‏. علينا إذن إيجاد قيمتي ‪𝑏‬‏ و‪𝑐‬‏ ثم قيمة ‪𝐶‬‏. يمكننا صياغة التناسبات، وإجراء الضرب التبادلي لإيجاد القيم المجهولة.

لنبدأ بإيجاد ‪𝑏‬‏، قيمة ‪𝑏‬‏. أول ما علينا فعله هو استخدام الضرب التبادلي؛ نجري عملية ضرب تبادلي. نضرب ‪6.3‬‏ في ‪sin 82‬‏ ونساوي ذلك بـ ‪𝑏‬‏ في ‪sin 41‬‏. لإيجاد قيمة ‪𝑏‬‏، نقسم على ‪sin 41‬‏، إذن نحذف ‪sin 41‬‏ من الطرف الأيمن، ونحصل على ‪𝑏‬‏ يساوي ‪9.509‬‏ سنتيمترات، لأنه طول ضلع، وقد قربنا لأقرب ثلاث منازل عشرية بعدما أجرينا الحسابات على الآلة الحاسبة.

يتبقى لنا الآن إيجاد قيمتي ‪𝑐‬‏ و‪𝐶‬‏، ولن نتمكن من ذلك إذا كان لدينا مجهولان في كسر واحد. لكن يمكننا إيجاد ‪𝐶‬‏ أولًا بسهولة. الحرف ‪𝐶‬‏ يمثل الزاوية المجهولة، ومجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ‪180‬‏ درجة. ‏‏‪𝐶‬‏ زائد ‪41‬‏ درجة زائد ‪82‬‏ درجة يساوي ‪180‬‏، إذن يمكننا جمع ‪41‬‏ و‪82‬‏ وطرح المجموع من ‪180‬‏ لنجد أن قياس الزاوية ‪𝐶‬‏ يساوي ‪57‬‏ درجة. إذن يمكننا التعويض عن ‪𝐶‬‏ بـ ‪57‬‏ درجة.

والآن يمكننا إيجاد قيمة ‪𝑐‬‏. وتحسبًا لأن نكون قد وقعنا في خطأ عند محاولة إيجاد قيمة ‪𝑏‬‏، دعونا نستخدم قيمة ‪𝑎‬‏ و‪𝐴‬‏، أي نقسم ‪6.3‬‏ على ‪sin 41‬‏ ثم نساوي ذلك بـ ‪𝑐‬‏ على ‪sin 57‬‏. إنها طريقة اختبار جيدة وهي ألا نستخدم قيمًا حسبناها بأنفسنا، تحسبًا لأن نكون قد أخطأنا عند حسابها؛ إذ لا نريد استخدام قيم غير صحيحة.

والآن علينا استخدام الضرب التبادلي. دعونا نجر عملية الضرب التبادلي. ‏‏‪6.3‬‏ في ‪sin 57‬‏ يساوي ‪𝑐‬‏ في ‪sin 41‬‏. لنقسم كلا الطرفين على ‪sin 41‬‏. نحذف ‪sin 41‬‏ من الطرف الأيمن، ثم بعد إجراء الحسابات على الآلة الحاسبة وبالتقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية، نجد أن ‪𝑐‬‏ يساوي ‪8.054‬‏ سنتيمترات.

إذن، القيم الثلاث التي أوجدناها هي: ‪𝑏‬‏ يساوي ‪9.509‬‏ سنتيمترات، و‪𝑐‬‏ يساوي ‪8.054‬‏ سنتيمترات، وقياس الزاوية ‪𝐶‬‏ يساوي ‪57‬‏ درجة.