نسخة الفيديو النصية
ﺕ وﺙ متجهان، حيث ﺕ هو المتجه سالب واحد، خمسة، سالب اثنين؛ وﺙ هو المتجه ثلاثة، واحد، واحد. بالمقارنة بين معيار ﺕ زائد ﺙ، ومعيار المتجه ﺕ زائد معيار المتجه ﺙ، أي كمية أكبر؟
في هذا السؤال، لدينا متجهان ثلاثيا الأبعاد، المتجه ﺕ والمتجه ﺙ. ونعلم من معطيات السؤال مركبات هذين المتجهين. وعلينا تحديد أي الكميتين أكبر، معيار المتجه ﺕ زائد المتجه ﺙ، أم معيار المتجه ﺕ زائد معيار المتجه ﺙ. ثمة العديد من الطرق المختلفة للإجابة عن هذا السؤال. وبما أننا نعرف مركبات المتجه ﺕ والمتجه ﺙ، دعونا نبدأ بحساب قيمتي هذين المقدارين.
دعونا نبدأ بإيجاد قيمة معيار مجموع هذين المتجهين. وهي تساوي معيار المتجه سالب واحد، خمسة، سالب اثنين زائد المتجه ثلاثة، واحد، واحد. ولإيجاد قيمة هذا المقدار، سيكون علينا جمع هذين المتجهين معًا. ولفعل ذلك، علينا جمع المركبات المتناظرة معًا. وهذا يعطينا معيار المتجه سالب واحد زائد ثلاثة، وخمسة زائد واحد، وسالب اثنين زائد واحد. وإذا حسبنا قيمة كل مركبة، فسنحصل على معيار المتجه اثنان، ستة، سالب واحد.
ولإيجاد قيمة معيار هذا المتجه، علينا أن نتذكر أن معيار المتجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباته. ومن ثم، فإن معيار المتجه ﺃ، ﺏ، ﺟ سيساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع زائد ﺟ تربيع. وبتطبيق هذه القاعدة على المتجه اثنان، ستة، سالب واحد، نحصل على معياره الذي يساوي الجذر التربيعي لاثنين تربيع زائد ستة تربيع زائد سالب واحد تربيع، وإذا بسطنا المقدار الموجود تحت علامة الجذر التربيعي، نحصل على الجذر التربيعي لـ ٤١.
بعد ذلك، علينا المقارنة بين هذا المعيار ومعيار المتجه ﺕ زائد معيار المتجه ﺙ. وهذا يساوي معيار المتجه سالب واحد، خمسة، سالب اثنين مضافًا إلى معيار المتجه ثلاثة، واحد، واحد. بإيجاد قيمة معيار كل متجه، نحصل على الجذر التربيعي لسالب واحد تربيع زائد خمسة تربيع زائد سالب اثنين تربيع زائد الجذر التربيعي لثلاثة تربيع زائد واحد تربيع زائد واحد تربيع، والذي يمكننا تبسيطه لنحصل على الجذر التربيعي لـ ٣٠ زائد الجذر التربيعي لـ ١١. وأخيرًا، يطلب منا السؤال تحديد أي كمية من هاتين الكميتين أكبر. وسنفعل ذلك بإيجاد قيمتي هذين المقدارين لأقرب منزلة عشرية. فنحصل على ٦٫٤ و٨٫٨، على الترتيب. وعليه، بما أن ٨٫٨ أكبر من ٦٫٤، يكون معيار ﺕ زائد معيار ﺙ أكبر من معيار ﺕ زائد ﺙ.
يمكننا الانتهاء من الإجابة هنا. ولكن، ثمة طريقة أخرى لتوضيح أن ما توصلنا إليه صحيح بشكل عام. لعلنا نتذكر أنه يمكننا تمثيل أي متجه بيانيًّا وكذلك جمع متجهين بيانيًّا. على سبيل المثال، دعونا نفترض أن لدينا المتجه ﺕ والمتجه ﺙ كما هو موضح. في هذا التفسير البياني، يمثل المتجهان الإزاحة، لذا يمكننا تمثيل المتجه ﺕ زائد ﺙ كما هو موضح. وبالطبع عند تمثيل هذين المتجهين بيانيًّا، يكون معيارهما هو طولهما. وباستخدام هذا الشكل، يمكننا إيجاد علاقة بين معيار المتجه ﺕ زائد ﺙ ومعيار المتجه ﺕ زائد معيار المتجه ﺙ. فمعيار المتجه ﺕ زائد ﺙ هو طول القطعة المستقيمة من نقطة بداية هذا المتجه إلى نقطة نهايته. وهي طول قاعدة هذا المثلث.
ولكن، معيار المتجه ﺕ المضاف إلى معيار المتجه ﺙ يساوي مجموع طولي الضلعين الآخرين للمثلث. ونحن نعلم أن أقصر مسافة بين نقطتين هي الخط المستقيم بينهما. وهذا يعطينا تفسيرًا بيانيًّا للمتباينة الآتية. سيكون معيار المتجه ﺕ زائد المتجه ﺙ أقل من أو يساوي معيار المتجه ﺕ زائد معيار المتجه ﺙ. ويشار إلى هذه المتباينة عادة باسم متباينة المثلث. وتنطبق هذه المتباينة على أي عدد من الأبعاد، ويمكننا إثباتها جبريًّا. وأخيرًا، يمكننا استخدام هذه المتباينة للإجابة عن السؤال باستخدام حقيقة أن المتباينة ستكون تامة إذا لم يكن أي من المتجهين ﺕ أو ﺙ متجهًا صفريًّا.
وعليه، يمكننا استخدام هذه المتباينة لنستنتج أنه إذا كان ﺕ هو المتجه سالب واحد، خمسة، سالب اثنين وﺙ هو المتجه ثلاثة، واحد، واحد، فإن معيار المتجه ﺕ زائد معيار المتجه ﺙ سيكون أكبر من معيار المتجه ﺕ زائد المتجه ﺙ.
