فيديو السؤال: حل المسائل الكلامية التي تتضمن زوايا ارتفاع الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

قاس أحد الأشخاص زاوية ارتفاع منطاد ثابت، فوجد أنها تساوي ‏𝜋‏ على سبعة. بعد ذلك، تحرك هذا الشخص مسافة ٥٢٢ مترًا في اتجاه أفقي نحو المنطاد. وكانت زاوية الارتفاع تساوي ‏𝜋‏ على أربعة. أوجد ارتفاع المنطاد لأقرب متر.

دعونا نبدأ برسم شكل. نعلم من المعطيات أن الشخص قاس زاوية ارتفاع منطاد الهواء الساخن في البداية ووجدها ‏𝜋‏ على سبعة. إذن نحن نستخدم وحدة الراديان. وزاوية الارتفاع هي الزاوية التي تقاس من الخط الأفقي عند النظر لأعلى باتجاه شيء ما. وفي الحالة لدينا، ينظر الشخص من الأرض إلى المنطاد في السماء. وبعد ذلك يتحرك الشخص مسافة ٥٢٢ مترًا في اتجاه أفقي. أي أنه يتحرك على الأرض في اتجاه المنطاد. ومن هذا الموضع الجديد، يكون قياس زاوية ارتفاع المنطاد ‏𝜋‏ على أربعة راديان.

والآن، علينا أن ننتبه عند تحديد ذلك على الشكل. فهذه الزاوية تتكون من الخط الأفقي عندما ننظر لأعلى نحو الجسم. أي أنها هذه الزاوية. لقد رسمنا الآن الشكل. ويمكننا أن نلاحظ أن لدينا مثلثًا يتكون من خطي النظر لأعلى باتجاه المنطاد من كل موضع، والمسافة الأفقية بينهما التي تبلغ ٥٢٢ مترًا. ونحن نريد إيجاد ارتفاع منطاد الهواء الساخن فوق الأرض. سنرسم قطعة مستقيمة لتمثيل ذلك على الشكل، ويمكننا تسمية هذه القطعة المستقيمة ﺱ متر. سنضيف أيضًا بعض الأحرف إلى الشكل: ﺏ هو موضع المنطاد، وﺃ وﺟ هما الموضعان اللذان يقف عندهما الشخص، وﺩ هي النقطة التي تقع على الأرض أسفل البالون رأسيًّا.

يمكننا ملاحظة أن ارتفاع المنطاد، الذي نشير له ﺱ متر، يمثل أحد أضلاع المثلث القائم الزاوية ﺏﺟﺩ. والمعلومة الوحيدة التي نعرفها عن هذا المثلث هي أنه مثلث قائم الزاوية، وبه زاوية قياسها ‏𝜋‏ على أربعة راديان. بدون معرفة أي من أطوال أضلاع هذا المثلث، لن نتمكن من إيجاد طول الضلع ﺏﺩ. لكننا نلاحظ أن الضلع ﺏﺟ يشترك مع المثلث الآخر في الشكل، وهو المثلث ﺃﺏﺟ، الذي نعرف أن فيه زاوية قياسها ‏𝜋‏ على سبعة راديان، وطول ضلع يساوي ٥٢٢ مترًا.

يمكننا إيجاد قياس الزاوية ﺃﺟﺏ بتذكر أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة أو ‏𝜋‏ راديان. إذن، قياس الزاوية ﺃﺟﺏ يساوي ‏𝜋‏ ناقص ‏𝜋‏ على أربعة، وهو ما يساوي ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة راديان. كما يمكننا إيجاد قياس الزاوية الثالثة في هذا المثلث، وهي الزاوية ﺃﺏﺟ، بتذكر أن مجموع قياسات زوايا أي مثلث يساوي ١٨٠ درجة أو ‏𝜋‏ راديان. إذن، قياس هذه الزاوية الثالثة يساوي ‏𝜋‏ ناقص ‏𝜋‏ على سبعة ناقص ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة، وهو ما يساوي ثلاثة ‏𝜋‏ على ٢٨ راديان.

في المثلث ﺃﺏﺟ، نحن نعرف الآن قياسات الزوايا الثلاث كلها وطول أحد الأضلاع. وهذا يعني أنه يمكننا حساب طول أي ضلع آخر في المثلث ﺃﺏﺟ بتطبيق قانون الجيب. وينص على أنه في أي مثلث نشير إلى زواياه بـ ﺃ، وﺏ، وﺟ، ونشير إلى أضلاعه المقابلة بـ ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة، فإن النسبة بين طول كل ضلع وجيب الزاوية المقابلة له يكون ثابتًا. إذن ﺃ شرطة على جا ﺃ يساوي ﺏ شرطة على جا ﺏ يساوي ﺟ شرطة على جا ﺟ.

في المثلث لدينا، الضلع الذي طوله ٥٢٢ مترًا يقابل الزاوية التي قياسها ثلاثة ‏𝜋‏ على ٢٨ راديان. والضلع الذي نريد إيجاد طوله، أي الضلع ﺏﺟ، يقابل الزاوية التي قياسها ‏𝜋‏ على سبعة راديان. إذن باستخدام قانون الجيب، يمكننا تكوين معادلة. ‏ﺏﺟ على جا ‏𝜋‏ على سبعة يساوي ٥٢٢ على جا ثلاثة ‏𝜋‏ على ٢٨. بضرب طرفي هذه المعادلة في جا ‏𝜋‏ على سبعة، نحصل على تعبير طول ﺏﺟ: ٥٢٢ جا ‏𝜋‏ على سبعة على جا ثلاثة ‏𝜋‏ على ٢٨.

والآن يمكننا حساب قيمة ذلك على الآلة الحاسبة، التي علينا التأكد من أنها على نظام الراديان. ويعطينا هذا ٦٨٥٫٧٤٥٢ وهكذا مع توالي الأرقام. تأكد من الاحتفاظ بهذه القيمة على شاشة الآلة الحاسبة أو احفظها في ذاكرة الآلة الحاسبة.

بالنظر إلى المثلث ﺏﺟﺩ، نجد أننا نعرف طول أحد الأضلاع، وهو الضلع ﺏﺟ. نحن نعرف أن هذا مثلث قائم الزاوية، ونعرف قياس إحدى الزوايا الأخرى فيه. الزاوية ﺏﺟﺩ تساوي ‏𝜋‏ على أربعة راديان. يمكننا إذن استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لحساب طول الضلع ﺏﺩ. نبدأ بتسمية أضلاع المثلث الثلاثة بالنسبة إلى الزاوية التي قياسها ‏𝜋‏ على أربعة راديان. الضلع ﺏﺩ هو الضلع المقابل، والضلع ﺟﺩ هو المجاور، والضلع ﺏﺟ هو الوتر. الضلع الذي نريد حساب طوله هو المقابل، والضلع الذي نعرف طوله هو الوتر. بتذكر تعريفات النسب المثلثية، نعرف أنه يمكننا الإجابة عن هذا السؤال باستخدام نسبة الجيب. نسبة الجيب في المثلث القائم الزاوية تساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر. ومن ثم، يصبح لدينا جا ‏𝜋‏ على أربعة يساوي ﺱ على ٦٨٥٫٧٤٥٢ وهكذا مع توالي الأرقام. للحل لإيجاد قيمة ﺱ، علينا ضرب كلا طرفي هذه المعادلة في ٦٨٥٫٧٤٥٢ وهكذا مع توالي الأرقام، وبذلك نحصل على ﺱ يساوي ٦٨٥٫٧٤٥٢ وهكذا مع توالي الأرقام في جا ‏𝜋‏ على أربعة.

إذا كنت قد تركت هذه القيمة على شاشة الآلة الحاسبة، يمكنك ضربها مباشرة في جا ‏𝜋‏ على أربعة للحصول على الإجابة. وبذلك، نحصل على ٤٨٤٫٨٩٥ وهكذا مع توالي الأرقام. بهذا نكون قد أوجدنا ارتفاع المنطاد. يطلب منا السؤال تقريب الإجابة لأقرب متر. إذن، علينا التقريب إلى أقرب عدد صحيح. وهو ما يساوي ٤٨٥. إذن، بتذكر زوايا الارتفاع، وهي الزوايا التي تقاس من الخط الأفقي عند النظر لأعلى باتجاه شيء ما، ثم تطبيق قانون الجيب ونسبة الجيب في المثلث القائم الزاوية، نكون قد أوجدنا ارتفاع منطاد الهواء الساخن لأقرب متر، وهو ٤٨٥ مترًا.