تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: تحديد خواص الدالة الأحادية واستخدامها الرياضيات

أي الاختيارات الآتية لا يعد دالة أحادية على الفترة [٠‎، ∞)؟ أ: ﺩ(ﺱ) = |ﺱ|، ب: ﺩ(ﺱ) = ﺱ^٢، ج: ﺩ(ﺱ) = ١٠، د: ﺩ(ﺱ) = ٢ﺱ + ٤، هـ: ﺩ(ﺱ) = ١‏/‏(ﺱ + ١)

١٠:٤٠

‏نسخة الفيديو النصية

أي الاختيارات الآتية لا يعد دالة أحادية على الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من صفر إلى ∞؟

حسنًا، معطى لنا خمسة خيارات علينا التفكير فيها. أ: ﺩﺱ تساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ. ب: ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع. ج: ﺩﺱ تساوي ١٠. د: ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ زائد أربعة. هـ: ﺩﺱ تساوي واحدًا على ﺱ زائد واحد. علينا هنا ملاحظة أن أربعة من هذه الدوال هي دوال أحادية على الفترة من صفر إلى ∞. وهناك خيار واحد فقط يتضمن دالة ليست أحادية على هذه الفترة. وهذه هي الدالة التي نبحث عنها.

نحن نعلم أن هذه الفترة تعني جميع الأعداد الحقيقية الموجبة، بالإضافة إلى الصفر؛ لأنه مسبوق بقوس مغلق. يمكننا التعبير عن هذه الفترة أحيانًا باستخدام ترميز آخر. قد نرى قوسًا مفتوحًا حول ∞، أو قد نرى هذه الفترة ممثلة في صورة متباينة مركبة. لعلنا نتذكر أن الدالة الأحادية، والتي تسمى أيضًا دالة واحد لواحد، تعرف بأنها دالة يكون كل عنصر من عناصر مداها مرتبطًا بعنصر واحد فقط من عناصر مجالها. بعبارة أخرى، توجد قيمة مخرجة واحدة لكل قيمة مدخلة.

في هذا المثال، سنستخدم المتغير ﺱ لتمثيل القيم المدخلة التي يتكون منها مجال كل دالة. ونستخدم ﺩﺱ لتمثيل القيم المخرجة التي يتكون منها مدى الدوال لدينا. إذا كان لدينا تمثيل بياني لكل من هذه الدوال الخمس، أو إذا كنا نريد رسم التمثيلات البيانية بأنفسنا، يمكننا استخدام اختبار الخط الأفقي. نحن نعلم أن أي دالة تكون دالة أحادية إذا كان كل خط أفقي يتقاطع مع التمثيل البياني للدالة مرة واحدة على الأكثر.

ومن ثم يمكننا استخدام اختبار الخط الأفقي لتوضيح أن أي دالة لا تكون دالة أحادية إذا تقاطع أي خط أفقي مع تمثيلها البياني عند أكثر من نقطة. على سبيل المثال، إذا نظرنا إلى التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ التي تساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ، وهو تمثيل بياني على شكل حرف V رأسه عند النقطة صفر، صفر، فسنلاحظ أن هذه الدالة ليست دالة أحادية. وذلك لأن أي خط أفقي أعلى المحور ﺱ سيتقاطع مع التمثيل البياني عند نقطتين. مع ذلك، مطلوب منا فقط التفكير في هذه الدالة على الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من صفر إلى ∞، وهذا يعني أن الجزء الذي علينا النظر إليه في التمثيل البياني هو الجزء باللون الأزرق فقط. هذه الدالة المقيدة حققت شرط اختبار الخط الأفقي. ومن ثم يمكننا قول إن دالة القيمة المطلقة هي دالة أحادية على الفترة من صفر إلى ∞.

حسنًا، دعونا نفترض أننا لا نريد تمثيل هذه الدوال الخمس بيانيًّا. يمكننا بدلًا من ذلك استخدام إحدى الطرق الجبرية للتحقق مما إذا كانت هذه الدوال أحادية. في البداية، دعونا نسترجع أنه إذا كانت لدينا قيمتان مدخلتان مختلفتان، على سبيل المثال ﺱ واحد وﺱ اثنان، تحققان المعادلة ﺩﺱ واحد تساوي ﺩﺱ اثنين، فإن ﺩ ليست دالة أحادية. ويمكننا قول إن ﺩ تكون دالة أحادية إذا افترضنا أن ﺩﺱ واحد تساوي ﺩﺱ اثنين، بحيث يكون ﺱ واحد يساوي ﺱ اثنين. بعبارة أخرى، إذا أوجدنا قيمة دالة مرتين وحصلنا على القيمة المخرجة نفسها، فهذا يعني أننا استخدمنا القيمة المدخلة نفسها في كل مرة. وسنستخدم هذا المفهوم للتحقق من كل دالة من الدوال الخمس المعطاة لنحدد إذا ما كانت كل دالة أحادية أم لا.

سنفرغ الآن بعض المساحة للتحقق جبريًّا من أن الخيار أ يتضمن دالة أحادية. سنبدأ بتناول عنصرين عشوائيين في المجال، وهما ﺱ واحد وﺱ اثنان. كل منهما أكبر من أو يساوي صفرًا. وﺩﺱ واحد تساوي ﺩﺱ اثنين. إذا استطعنا توضيح أن ﺱ واحدًا يساوي ﺱ اثنين في هذه الحالة، فإن هذه الدالة ستكون دالة أحادية. لكن إذا اتضح لنا أن ﺱ واحدًا لا يساوي ﺱ اثنين، فإنه في ظل نفس الشروط لا يمكننا قول إن هذه الدالة دالة أحادية.

حسنًا، بما أننا سنتناول الدالة ﺩﺱ تساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ، يمكننا كتابة الطرف الأيمن من المعادلة في صورة القيمة المطلقة لـ ﺱ واحد، وكتابة الطرف الأيسر من المعادلة في صورة القيمة المطلقة لـ ﺱ اثنين. وبما أن ﺱ واحدًا وﺱ اثنين قيمتان غير سالبتين، فإن القيمة المطلقة لـ ﺱ واحد هي ﺱ واحد، والقيمة المطلقة لـ ﺱ اثنين هي ﺱ اثنان. وبهذا، يكون ﺱ واحد يساوي ﺱ اثنين. وهذا يؤكد لنا أن الخيار الأول يمثل دالة أحادية.

ننتقل الآن إلى الخيار ب؛ حيث ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع بدلًا من القيمة المطلقة لـ ﺱ. هذا يعني أن الطرف الأيمن من المعادلة هو ﺱ واحد تربيع، والطرف الأيسر من المعادلة هو ﺱ اثنان تربيع. ولكي نستعرض العلاقة بين ﺱ واحد وﺱ اثنين، سنعيد ترتيب هذه المعادلة بحيث تكون قابلة للتحليل. نطرح ﺱ اثنين تربيع من كلا الطرفين، ويصبح لدينا بذلك ﺱ واحد تربيع ناقص ﺱ اثنين تربيع. وهذا يعرف بالفرق بين مربعين.

لعلنا نتذكر أن 𝑎 تربيع ناقص 𝑏 تربيع يحلل إلى العاملين 𝑎 ناقص 𝑏 في 𝑎 زائد 𝑏. لذا سنستخدم نمط التحليل هذا لتحليل الطرف الأيمن من المعادلة. وبهذا يصبح لدينا ﺱ واحد ناقص ﺱ اثنين في ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين يساوي صفرًا. ولكي تتحقق هذه المعادلة، يجب أن يكون ﺱ واحد ناقص ﺱ اثنين يساوي صفرًا أو ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين يساوي صفرًا. نضيف ﺱ اثنين إلى طرفي المعادلة الأولى لنحصل عندئذ على ﺱ واحد يساوي ﺱ اثنين. وبما أن كلًّا من ﺱ واحد وﺱ اثنين غير سالب، فإن المعادلة الثانية يمكن أن تتحقق فقط إذا كان كل من ﺱ واحد وﺱ اثنين يساوي صفرًا. هذا يعني أنه في الحالتين، لا بد أن يكون ﺱ واحد يساوي ﺱ اثنين. ومن ثم فإن الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع هي دالة أحادية على الفترة من صفر إلى ∞.

ننتقل الآن إلى الخيار التالي، وهو الدالة الثابتة ﺩﺱ تساوي ١٠. تربط الدالة الثابتة جميع المدخلات المختلفة بنفس القيمة المخرجة. هذا يعني أن ﺩﺱ واحد ستساوي دائمًا ﺩﺱ اثنين. لكننا نريد معرفة إذا ما كان هذا التساوي يشير إلى أن ﺱ واحدًا يساوي ﺱ اثنين. على سبيل المثال، دعونا نفترض أن ﺱ واحدًا يساوي صفرًا وﺱ اثنين يساوي واحدًا. بالتعويض، يصبح لدينا ﺩ لصفر يساوي ١٠ وﺩ لواحد يساوي ١٠. يوضح هذا المثال قيمتين مدخلتين مختلفتين لهما نفس القيمة المخرجة. ومن المعلوم أن ﺩﺱ واحد تساوي دائمًا ﺩﺱ اثنين. لكن ﺱ واحدًا لا يساوي ﺱ اثنين. ومن ثم يمكننا قول إن هذه الدالة الثابتة ليست دالة أحادية.

يبدو أننا توصلنا إلى الإجابة. لكن للتأكد فقط، دعونا نتحقق سريعًا من الخيارين الأخيرين. نفرض أن ﺩﺱ واحد تساوي ﺩﺱ اثنين، وباستخدام الدالة ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ زائد أربعة حصلنا على المعادلة اثنين ﺱ واحد زائد أربعة يساوي اثنين ﺱ اثنين زائد أربعة، وبطرح أربعة من طرفي المعادلة ثم قسمتهما على اثنين، نجد أن ﺱ واحدًا يساوي ﺱ اثنين. وبهذا نجد أن الخيار د يتضمن دالة أحادية.

دعونا الآن نتحقق من الخيار الأخير، ونفترض مرة أخرى أن ﺩﺱ واحد تساوي ﺩﺱ اثنين للدالة ﺩﺱ تساوي واحدًا على ﺱ زائد واحد. بهذا يصبح لدينا المعادلة واحد على ﺱ واحد زائد واحد يساوي واحدًا على ﺱ اثنين زائد واحد. وبما أن ﺱ واحدًا وﺱ اثنين قيمتان غير سالبتين، فهذا يعني أن المقامين مقداران موجبان. ومن ثم يمكننا إجراء الضرب التبادلي. وأخيرًا نطرح واحدًا من طرفي المعادلة ليصبح لدينا بذلك ﺱ اثنان يساوي ﺱ واحدًا. وهذا يعني أن الخيار الأخير يمثل دالة أحادية.

إذن من بين الخيارات الخمسة المعطاة، أوضحنا أن جميع الدوال هي دوال أحادية، باستثناء ﺩﺱ تساوي ١٠ على الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من صفر إلى ∞. لقد وجدنا أن هناك قيمتين مدخلتين مختلفتين لهذه الدالة لهما نفس القيمة المخرجة؛ لذا يمكننا قول إن هذه الدالة لا تعد دالة أحادية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.