فيديو السؤال: كتابة نظام المتباينات الذي يصف منطقة في تمثيل بياني الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد نظام المتباينات الذي يكون المثلث الموضح في التمثيل البياني.

يمكننا تذكر أن نظام المتباينات هو مجموعة من المتباينات المختلفة التي تكون منطقة معينة. عندما تكون لدينا منطقة، كما هو الحال في هذا السؤال، فإن أول ما علينا فعله هو إيجاد معادلة كل خط مستقيم والذي يكون حد هذه المنطقة. في هذا السؤال، علينا إيجاد ثلاث متباينات مختلفة نظرًا لأن لدينا ثلاثة خطوط مستقيمة موضحة على التمثيل البياني. الخط المستقيم الأول، والذي ليس خطًّا مستقيمًا متقطعًا، يميل لأسفل من اليسار إلى اليمين، ويمر بنقطة الأصل. الخط المستقيم الثاني يميل لأعلى من اليسار إلى اليمين. إنه خط مستقيم متقطع. ويمر بستة على المحور ﺹ. وأخيرًا، لدينا هذا الخط المستقيم الثالث، وهو أيضًا ليس خطًّا مستقيمًا متقطعًا. ويميل لأسفل من اليسار إلى اليمين.

ما سنفعله أولًا هو إيجاد معادلة كل خط من هذه الخطوط المستقيمة الثلاثة، ثم التفكير في المتباينة التي يمثلها الجزء المظلل. قبل أن نبدأ بالخط المستقيم الأول، علينا أن نتذكر الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم وهي: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ، حيث ﻡ هو ميل الخط المستقيم أو انحداره، وﺏ هو الجزء المقطوع من المحور ﺹ. إذا نظرنا إلى الخط المستقيم الأول، فدعونا نوجد ميله. يمكننا إيجاد ميل أي خط مستقيم من خلال حساب فرق الصادات مقسومًا على فرق السينات، أو حساب التغير في ﺹ على التغير في ﺱ. وبالنظر إلى هذا المثلث الذي رسمناه أسفل الخط المستقيم الأول، نجد أن التغير في ﺹ يساوي سالب واحد والتغير في ﺱ يساوي واحدًا. ومن ثم، فإن الميل يساوي سالب واحد على واحد. وهو ما يساوي سالب واحد.

بعد ذلك، لإيجاد الجزء المقطوع من المحور ﺹ، نبحث عن الموضع الذي يمر عنده الخط المستقيم بالمحور ﺹ. وذلك عند: صفر، صفر. ومن ثم، فإن قيمة ﺹ تساوي صفرًا. والآن بعد أن أصبح لدينا الميل والجزء المقطوع من المحور ﺹ، يمكننا التعويض بذلك في معادلة الخط المستقيم. ‏ﺹ يساوي سالب واحد ﺱ زائد صفر. وبالطبع، يمكننا تبسيط ذلك لنحصل على ﺹ يساوي سالب ﺱ.

والآن، لنلق نظرة على إيجاد الميل والجزء المقطوع من المحور ﺹ للخط المستقيم الثاني. يمكننا رسم مثلث في أي مكان على هذا الخط المستقيم لمساعدتنا في إيجاد الميل، لكن من المفيد عادة إيجاد قيم صحيحة لإحداثيات ﺱ وﺹ. يمر الخط المستقيم بالإحداثيات سالب اثنين، اثنين؛ وسالب واحد، أربعة. هذه المرة، يكون التغير في ﺹ أو فرق الصادات يساوي اثنين والتغير في ﺱ أو فرق السينات يساوي واحدًا. إذن، الميل يساوي اثنين على واحد، وهو ما يساوي اثنين. من الجيد دائمًا التحقق، وبما أن هذا الخط المستقيم يميل لأعلى من اليسار إلى اليمين، فلا بد أن يكون له ميل موجب، وهو ما أوجدناه بالفعل.

بعد ذلك، علينا إيجاد الجزء المقطوع من المحور ﺹ لهذا الخط المستقيم؛ ما يعني أننا نبحث عن النقطة التي يمر عندها الخط المستقيم بالمحور ﺹ. وبما أن ذلك يحدث عندما تكون قيمة ﺹ تساوي ستة، فإن الجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي ستة. بوضع هاتين القيمتين في المعادلة العامة للخط المستقيم، نجد أن ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد ستة. يمكننا الآن إفراغ بعض المساحة لنتمكن من إيجاد معادلة الخط المستقيم الثالث. دعونا نبدأ مرة أخرى بإيجاد ميل الخط المستقيم الثالث. يمر هذا الخط المستقيم بالنقطة واحد، ثمانية، وأيضًا بالنقطة اثنين، سالب اثنين. وعليه، فإن فرق الصادات لهذا الخط المستقيم يساوي سالب ١٠. ويمكننا رؤية أنه يقع فوق المحور ﺱ بثماني وحدات، وأسفله بوحدتين. أما فرق السينات، فسيكون واحدًا. وعليه، يمكن كتابة الميل، الذي هو فرق الصادات مقسومًا على فرق السينات، على الصورة سالب ١٠ على واحد، وهو ما يمكن تبسيطه إلى سالب ١٠ فقط.

وللتحقق سريعًا من هذه القيمة، فهذا الخط المستقيم أكثر انحدارًا من الخطين المستقيمين الآخرين؛ لذا يمكننا توقع أن تكون القيمة المطلقة للميل أكبر. كما أنه يميل لأسفل من اليسار إلى اليمين، وهو ما يشير إلى أن قيمة الميل ستكون سالبة. وعند الانتقال لإيجاد الجزء المقطوع من المحور ﺹ لهذا المستقيم، فسنلاحظ أننا سنواجه مشكلة. في الحقيقة لا يمكننا بالفعل رؤية موضع تقاطع الخط المستقيم مع المحور ﺹ. ولذلك، سنحتاج إلى طريقة أخرى لإيجاد معادلة هذا الخط المستقيم.

عادة يشار إلى صيغة الخط المستقيم هذه، ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد، باسم صيغة الميل ونقطة للخط المستقيم. وعندما يكون لدينا الإحداثيات أو الزوج المرتب ﺱ واحد، ﺹ واحد، ونعرف الميل ﻡ، يمكننا كتابة هذه القيم في صيغة الميل ونقطة لإيجاد معادلة الخط المستقيم. حددنا بالفعل أن النقطة واحد، ثمانية تقع على المستقيم. إذن، واحد وثمانية يمكن أن تكونا القيمتين ﺱ واحد وﺹ واحد. ونعلم أن ﻡ، أي الميل، يساوي سالب ١٠. يمكننا إذن كتابة صيغة الميل ونقطة، والتعويض بالقيم في الصيغة. ‏ﺹ ناقص ثمانية يساوي سالب ١٠ مضروبًا في ﺱ ناقص واحد.

عندما نوزع سالب ١٠ على القوس، نحصل على سالب ١٠ﺱ. ثم سالب ١٠ مضروبًا في سالب واحد، وهو ما يعطينا القيمة الموجبة ١٠. يمكننا عزل المتغير ﺹ في الطرف الأيمن بإضافة ثمانية إلى كلا طرفي المعادلة. وبهذا يصبح لدينا ﺹ يساوي سالب ١٠ﺱ زائد ١٨. ها قد أوجدنا المعادلات الثلاث لهذه الخطوط المستقيمة الثلاثة. يمكننا الآن أخذ كل خط مستقيم على حدة لتحديد المنطقة وكيفية مقارنتها بمعادلة ذلك الخط مستقيم.

عندما يكون لدينا خط مستقيم غير متقطع، فهذا يعني أن القيم قد تقع أيضًا على هذا الخط المستقيم. بعبارة أخرى، ننظر إلى المتباينات أكبر من أو يساوي؛ أو أصغر من أو يساوي. المثلث أو المنطقة المظللة تقع أعلى الخط المستقيم الأول. وهذا يمثل جميع القيم حيث ﺹ أكبر من سالب ﺱ. وتذكر أنه علينا أيضًا تضمين هذه القيم التي عندها ﺹ يساوي سالب ﺱ. وعليه، هذه هي المتباينة الأولى. أما إذا كانت المنطقة المظللة أسفل هذا الخط المستقيم، فستكون المتباينة ﺹ أصغر من أو يساوي سالب ﺱ.

وللخط الثاني، نعلم أن المعادلة هي ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد ستة. لكن لاحظ أن هذا الخط متقطع؛ ما يعني أن المتباينة لن تتضمن القيم التي يكون عندها ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد ستة. تقع المنطقة المظللة أسفل هذا الخط؛ ومن ثم فهي تمثل جميع القيم التي تكون عندها ﺹ أصغر من اثنين ﺱ زائد ستة. وهذه هي المتباينة الثانية. وأخيرًا، لدينا الخط المستقيم الثالث الذي معادلته ﺹ يساوي سالب ١٠ﺱ زائد ١٨. يقع المثلث والمنطقة المظللة أسفل هذا الخط المستقيم، لكن هل ستكون علامة المتباينة أصغر من فقط أم أصغر من أو يساوي؟

حسنًا، بما أن لدينا خطًّا مستقيمًا كاملًا وليس خطًّا متقطعًا، فهذا يعني أن علينا أيضًا تضمين القيم التي يساوي عندها ﺹ سالب ١٠ﺱ زائد ١٨. وهذه هي المتباينة الثالثة. يمكننا إذن الإجابة بأن هذا النظام من المتباينات هو المتباينات ﺹ أصغر من اثنين ﺱ زائد ستة، وﺹ أكبر من أو يساوي سالب ﺱ، وﺹ أصغر من أو يساوي سالب ١٠ﺱ زائد ١٨. ولا يهم أي ترتيب نكتب به هذه المتباينات.