فيديو السؤال: حساب القيمة التقديرية لمتغير عند نقطة معطاة في نموذج انحدار الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

باستخدام بيانات الجدول، احسب قيمة ﺹ، عندما يكون ﺱ يساوي ١٣. قرب إجابتك لأقرب عدد صحيح.

لدينا جدول يحتوي على أزواج من بيانات ثنائية المتغير لكل من ﺱ وﺹ. لحساب قيمة ﺹ عند قيمة معطاة لـ ﺱ، والتي تساوي ١٣ هنا، وبافتراض أن العلاقة بين البيانات خطية تقريبًا، علينا أولًا إيجاد معادلة خط الانحدار. وهي تكون على الصورة ﺹ هات يساوي ﺃ زائد ﺏﺱ. ‏‏ﺏ هو ميل الخط، ونستخدم الصيغة ﻍﺱﺹ مقسومًا على ﻍﺱﺱ لإيجاده. يمكننا بعد ذلك حساب قيمتي ﻍﺱﺹ وﻍﺱﺱ كل على حدة. وإذا أردنا إيجاد خارج قسمتهما، فيمكننا إعادة كتابة الصيغة على الصورة ﻥ في المجموع لـ ﺱﺹ ناقص المجموع لـ ﺱ في المجموع لـ ﺹ مقسومًا على ﻥ في المجموع لـ ﺱ تربيع ناقص المجموع لـ ﺱ الكل تربيع.

بمجرد الحصول على قيمة ﺏ، يمكننا إيجاد قيمة ﺃ. وهي تساوي ﺹ بار ناقص ﺏ في ﺱ بار، حيث ﺹ بار وﺱ بار هما الوسطان الحسابيان لكل من ﺹ وﺱ، على الترتيب. لذا يجب أن يكون واضحًا تمامًا أنه علينا البدء بحساب مجموع قيم ﺱ وﺹ، لكن علينا أيضًا حساب قيم ﺱﺹ وﺱ تربيع. إذن، سنضع هذه الصيغ جانبًا، ونضيف بعض الصفوف والأعمدة إلى الجدول.

لنبدأ بحساب كل قيمة من قيم ﺱﺹ. لإيجاد القيمة الأولى، نضرب ٢٣ في ٢٢، وهو ما يساوي ٥٠٦. القيمة التالية هي حاصل ضرب تسعة في ٢٤، أي ٢١٦. بالمتابعة بهذه الطريقة، نحصل على ٦٠٠ و١٩٥ و١٤٧ و١٠٨. بعد ذلك، سنكمل صف قيم ﺱ تربيع. القيمة الأولى هي ناتج ٢٣ تربيع، أي ٥٢٩. نحسب بعد ذلك ناتج تسعة تربيع؛ وهو ٨١. ‏٢٤ تربيع يساوي ٥٧٦. و١٥ تربيع يساوي ٢٢٥. القيمتان المتبقيتان هما ٤٩ و١٤٤، على الترتيب. والآن سنكمل العمود الأخير في الجدول. وهو يمثل المجاميع، أي مجموع كل القيم في كل صف على حدة. مجموع قيم ﺱ يساوي ٩٠. ومجموع قيم ﺹ يساوي ١١٤. ومجموع القيم في الصف ﺱﺹ يساوي ١٧٧٢. ومجموع قيم ﺱ تربيع يساوي ١٦٠٤.

أصبح لدينا الآن المعلومات الكافية التي تمكننا من حساب قيمة ﺏ في معادلة خط الانحدار باستخدام المربعات الصغرى. بما أن هناك ستة أزواج من القيم، نكتب ﻥ يساوي ستة. إذن ﺏ يساوي ﻥ في المجموع لـ ﺱﺹ. وهذا يعني أن لدينا ستة في ١٧٧٢ ناقص المجموع لـ ﺱ في المجموع لـ ﺹ، أي ٩٠ في ١١٤، مقسومًا على ﻥ في المجموع لـ ﺱ تربيع، أي ستة في ١٦٠٤، ناقص المجموع لـ ﺱ الكل تربيع. وهو يساوي ٩٠ تربيع. هذا يعطينا ٣٧٢ مقسومًا على ١٥٢٤، ما يساوي تقريبًا ٠٫٢٤٤ لأقرب ثلاث منازل عشرية. وبذلك أصبح لدينا قيمة ﺏ.

مهمتنا التالية هي حساب قيمة ﺃ. تذكر أن الصيغة التي نستخدمها هي ﺃ يساوي ﺹ بار ناقص ﺏ في ﺱ بار، حيث ﺹ بار وﺱ بار هما الوسطان الحسابيان لكل من ﺹ وﺱ، على الترتيب. بعبارة أخرى، ﺹ بار هو مجموع كل قيم ﺹ مقسومًا على ﻥ، وﺱ بار هو مجموع كل قيم ﺱ مقسومًا على ﻥ. إذن، ﺹ بار يساوي ١١٤ مقسومًا على ستة، وهو ما يساوي ١٩. وﺱ بار يساوي ٩٠ مقسومًا على ستة، وهو ما يساوي ١٥. لدينا بعد ذلك ﺃ يساوي ١٩ ناقص ﺏ في ١٥، أي ١٥٫٣٤ لأقرب منزلتين عشريتين. وبالتعويض بهذا في صيغة خط الانحدار باستخدام المربعات الصغرى، نجد أن ﺹ هات يساوي ١٥٫٣٤ زائد ٠٫٢٤٤ﺱ.

تذكر أننا نريد إيجاد قيمة ﺹ عند ﺱ يساوي ١٣. إذن، سنعوض بـ ﺱ يساوي ١٣ في هذه المعادلة. وعليه، فإن قيمة ﺹ تساوي ١٥٫٣٤ زائد ٠٫٢٤٤ في ١٣. وهذا يساوي ١٨٫٥١ إلى آخر العدد، أي ١٩ لأقرب عدد صحيح.