تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: ارتفاعات المثلث

نهال عصمت

يتناول الفيديو ارتفاعات المثلث، وملتقى الارتفاعات، وطريقة إيجاد ملتقى الارتفاعات في المستوى الإحداثي.

١٢:٢١

‏نسخة الفيديو النصية

ارتفاعات المثلث.

هنتكلّم عن ارتفاعات المثلث. وإيه هو ملتقى الارتفاعات. وطريقة إيجاد ملتقى الارتفاعات في المستوى الإحداثي.

في البداية هنتكلّم عن ارتفاعات المثلث. ارتفاع المثلث هو القطعة المستقيمة العمودية النازلة من أحد الرؤوس، إلى المستقيم الذي يحوي الضلع المقابل لذلك الرأس. ويمكن أن يقع الارتفاع داخل المثلث أو خارجه أو على أحد أضلاعه.

في المثلث الأول هنلاقي عندنا قطعة مستقيمة عمودية من أحد الرؤوس اللي هي ب، على الضلع المقابل للرأس اللي هو أ ج. عندنا هنا على امتداد أ ج عند نقطة د. وفي المثلث التاني عندنا برضو ب د عمودية على أ ج. يبقى نقدر نقول إن القطعة المستقيمة ب د هو الارتفاع من نقطة ب إلى القطعة المستقيمة أ ج. لكن في المثلث التالت هنلاقي إن القطعة المستقيمة أ ب هو الارتفاع إلى ب ج. يعني الارتفاع هو أحد أضلاع المثلث.

وفيه معلومة كمان إن لكل مثلث ثلاثة ارتفاعات. وتتلاقي المستقيمات التي تحويها في نقطة مشتركة. والارتفاع يطلق على القطعة وعلى طولها. ويستخدم الارتفاع لحساب مساحة المثلث. ومساحة المثلث هي نص طول القاعدة في الارتفاع العمودي عليها. يبقى كده بعد ما عرفنا ارتفاعات المثلث، هنبدأ نتكلم عن ملتقى الارتفاعات.

تتقاطع المستقيمات التي تحوي ارتفاعات أي مثلث في نقطة تسمى ملتقى الارتفاعات. بمعنى في المثلث أ ب ج هنلاحظ إن أ د عمودية على ب ج. وإن ج ن عمودية على أ ب. وإن ب د عمودية على أ ج. يبقى نقدر نقول على أ هـ وَ ج ن وَ ب د، هي ارتفاعات المثلث. وتتقاطع جميعها في نقطة واحدة، وهي نقطة و. يبقى نقدر نقول إن نقطة و هي ملتقي ارتفاعات المثلث أ ب ج. يبقى في المثلث أ ب ج تتقاطع المستقيمات التي تحوي الارتفاعات … القطعة المستقيمة أ هـ، والقطعة المستقيمة ج ن، والقطعة المستقيمة ب د؛ عند نقطة أو عند النقطة و. وهي ملتقى الارتفاعات في المثلث أ ب ج. ويمكن أن تتلاقي الارتفاعات في مثلث داخله أو خارجه أو على أحد أضلاعه بالشكل الآتي.

في حالة المثلث الحاد الزوايا، تتلاقي الارتفاعات داخل المثلث. وفي حالة المثلث المنفرج الزاوية، تتلاقي الارتفاعات خارج المثلث. أما في حالة المثلث القائم الزاوية تتلاقي الارتفاعات على أحد أضلاعه. يبقى كده عرفنا الأماكن المختلفة الممكن أن تتلاقي فيها الارتفاعات في المثلث.

بعد كده هنبدأ نتعرف على طريقة إيجاد ملتقى الارتفاعات في المستوى الإحداثي، من خلال مثال.

معطى إذا كانت رؤوس المثلث س ص ع هي س سالب اتنين وأربعة، وَ ص أربعة وأربعة، وَ ع واحد وسالب اتنين. فأوجد إحداثيات ملتقى ارتفاعاته.

أول حاجة هنبدأ نمثّل المثلث س ص ع بيانيًّا بالشكل الآتي. بعد كده عشان نوجد ملتقى الارتفاعات، هنبدأ نوجد نقطة التقاطع أو نقطة تقاطع الارتفاعات. هنبدأ نجيب ارتفاعين، ومنهم نقدر نوجد نقطة التقاطع.

أول حاجة هنبدأ نجيب معادلة الارتفاع من نقطة س إلى القطعة المستقيمة ص ع. بعد كده هنجيب معادلة الارتفاع من نقطة ص إلى القطعة المستقيمة س ع. يبقى أول حاجة معادلة الارتفاع من نقطة س إلى القطعة المستقيمة ص ع. أول حاجة هنوجد ميل القطعة المستقيمة ص ع. الميل بيساوي فرق الصادات على فرق السينات. هيبقى عندنا أربعة ناقص سالب اتنين، مقسومة على أربعة ناقص واحد. يبقى ميل القطعة المستقيمة ص ع هيساوي اتنين.

إحنا محتاجين نوجد ميل الارتفاع العمودي على ص ع. يبقى نقدر نقول إن ميل الارتفاع العمودي على القطعة المستقيمة ص ع، هيساوي سالب واحد على اتنين. يبقى كده قدرنا نوجد ميل الارتفاع العمودي على القطعة المستقيمة ص ع. هنبدأ نكتب صيغة الميل ونقطة، وهي ص ناقص ص واحد، تساوي م مضروبة في س ناقص س واحد.

هنبدأ نعوّض بالميل اللي هو ميل الارتفاع العمودي على القطعة المستقيمة ص ع. وهنعوض عن س واحد وَ ص واحد بنقطة س. هيبقى عندنا ص ناقص أربعة تساوي سالب واحد على اتنين، مضروبة في س ناقص سالب اتنين. وبالتالي ص ناقص أربعة هتساوي سالب واحد على اتنين مضروبة في س زائد اتنين. بعد كده هنبدأ نضرب سالب واحد على اتنين في كل حدّ من حدود القوس. هيبقى عندنا ص ناقص أربعة، هتساوي سالب واحد على اتنين في س، ناقص واحد.

بعد كده هنجمع أربعة على طرفَي المعادلة. هيبقى عندنا ص تساوي سالب واحد على اتنين مضروبة في س، زائد تلاتة. يبقى كده قدرنا نجيب أول معادلة وهي معادلة الارتفاع من نقطة س إلى القطعة المستقيمة ص ع. هنكتب جنبها دي المعادلة رقم واحد.

الخطوة التانية هنبدأ نوجد معادلة الارتفاع من ص إلى القطعة المستقيمة س ع. أول حاجة هنوجد ميل القطعة المستقيمة س ع. هيساوي فرق الصادات على فرق السينات. يعني هيساوي سالب اتنين ناقص أربعة، مقسومة على واحد ناقص سالب اتنين. وبالتالي ميل القطعة المستقيمة س ع هيساوي سالب اتنين. بس إحنا محتاجين نوجد ميل الارتفاع العمودي على القطعة المستقيمة س ع. يبقى هنبدأ نكتب ميل الارتفاع العمودي على القطعة المستقيمة س ع، هيساوي واحد على اتنين. بعد كده هنبدأ نكتب صيغة الميل ونقطة، وهي ص ناقص ص واحد بتساوي م مضروبة في س ناقص س واحد.

هنبدأ نعوّض بالميل اللي إحنا جبناه. وهنعوض بنقطة ص عن س واحد وَ ص واحد. هيبقى عندنا ص ناقص أربعة، هتساوي نص مضروبة في س ناقص أربعة. بعد كده هنضرب نص في كل حدّ من حدود القوس. هيبقى عندنا ص ناقص أربعة، هتساوي نُص س ناقص اتنين. بعد كده هنجمع أربعة على طرفَي المعادلة. هيبقى عندنا ص تساوي نص س زائد اتنين. يبقى كده قدرنا نجيب معادلة الارتفاع من نقطة ص إلى القطعة المستقيمة س ع. هتبقى دي المعادلة رقم اتنين.

آخر خطوة هنبدأ نحل المعادلة واحد والمعادلة اتنين مع بعض؛ عشان نوجد نقطة تقاطع الارتفاعين. يبقى كده عندنا دي المعادلة الأولى، ودي المعادلة التانية. هنبدأ نجمع المعادلتين عشان نقدر نوجد نقطة التقاطع. هيبقى عندنا ص زائد ص باتنين ص. هتساوي … سالب نص س زائد نص س هيساوي صفر. زائد تلاتة زائد اتنين بخمسة. يبقى نقدر نقول إن بقى عندنا اتنين ص تساوي خمسة. وبالتالي لو قسمنا طرفَي المعادلة على اتنين، نقدر نقول إن ص هتساوي خمسة على اتنين. يبقى كده قدرنا نوجد قيمة ص.

هنبدأ نعوّض في أحد المعادلتين، ولْيكُن المعادلة رقم اتنين. عندنا المعادلة رقم اتنين هي ص تساوي نص س زائد اتنين. هنعوّض بـ ص بخمسة على الاتنين، هتساوي نص في س زائد اتنين. بعد كده هنضرب طرفين … عفوًا … هنطرح اتنين من طرفَي المعادلة. هيبقى عندنا نص هتساوي نص س. عشان نقدر نوجد قيمة س، هنضرب طرفَي المعادلة في اتنين. يبقى نقدر نقول إن س هتساوي واحد. يبقى كده قدرنا نوجد قيمة س، وقدرنا نوجد قيمة ص. يبقى نقدر نقول إن … إذن إحداثيات ملتقى ارتفاعات المثلث س ص ع، هي خمسة على اتنين وواحد. نكتب خمسة بطريقة أفضل. يبقى خمسة على اتنين، وواحد. أو اتنين ونص وواحد. يبقى كده قدرنا نوجد إحداثيات أو إحداثي ملتقى ارتفاعات المثلث س ص ع.

وبكده يبقى اتكلمنا عن ارتفاعات المثلث. وعرفنا إيه هو ملتقى الارتفاعات. واتعرفنا كمان على طريقة إيجاد ملتقى الارتفاعات في المستوى الإحداثي.