نسخة الفيديو النصية
إذا كان الخطان المستقيمان ﺱ زائد ثلاثة الكل مقسوم على سالب ثمانية يساوي ﺹ ناقص أربعة الكل مقسوم على أربعة ﻥ يساوي ﻉ زائد واحد الكل مقسوم على ١٠، وﺱ زائد خمسة الكل مقسوم على أربعة ﻥ يساوي ﺹ زائد ١٠ الكل مقسوم على سالب أربعة يساوي ﻉ ناقص ثلاثة الكل مقسوم على سالب خمسة، متعامدين، فأوجد قيمة ﻥ.
في هذا السؤال، لدينا مستقيمان، وعلمنا أن هذين المستقيمين متعامدان. علينا استخدام هذه المعلومة لإيجاد قيمة ﻥ. ولفعل ذلك، نبدأ بالنظر إلى الصورتين المعطى عليهما المستقيمان. نلاحظ أن المستقيمين معطيان في صورة مفيدة للغاية تتكون من ثلاثة تعبيرات متساوية. تعرف هذه الصورة للخط المستقيم باسم معين. وهو «الصورة الإحداثية». وهي تتمثل عندما يعطى الخط المستقيم على الصورة ﺱ ناقص ﺱ صفر الكل مقسوم على ﺃ يساوي ﺹ ناقص ﺹ صفر الكل مقسوم على ﺏ يساوي ﻉ ناقص ﻉ صفر الكل مقسوم على ﺟ، حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت لا تساوي صفرًا.
والآن، علينا إيجاد قيمة ﻥ. ولفعل ذلك، علينا استخدام حقيقة أن المستقيمين متعامدان. نعلم أن الصورة الإحداثية هي صورة مهمة للخطوط المستقيمة. لكن من الصعب استخدام حقيقة أن هذين المستقيمين متعامدان في هذه الصورة. وسيكون من الأفضل لو أن الصورة توضح اتجاهي المستقيم، على غرار الصورة المتجهة مثلًا. وفي الواقع، من السهل جدًّا التحويل بين الصورتين.
على سبيل المثال، إذا كانت لدينا الصورة الإحداثية لمستقيم، فيمكننا كتابة الصورة المتجهة على النحو التالي. ﺭ يساوي المتجه ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر زائد ﻡ في المتجه ﺃ، ﺏ، ﺟ. بعبارة أخرى، نعلم أن المتجه سوف يمر بالنقطة ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر، كما نعلم أن المستقيم سيكون في اتجاه المتجه ﺃ، ﺏ، ﺟ. دعونا نستخدم هذه المعلومة لكتابة كلا المستقيمين على الصورة المتجهة بدلًا من الصورة الإحداثية المعطاة في السؤال.
لنبدأ بالمستقيم الأول. يمكننا ملاحظة أننا نضيف ثلاثة إلى قيمة ﺱ. وهذا يماثل طرح سالب ثلاثة. إذن، قيمة ﺱ صفر تساوي سالب ثلاثة. بعد ذلك، نلاحظ أننا نطرح أربعة من ﺹ. إذن، قيمة ﺹ صفر ستساوي أربعة. وأخيرًا، نلاحظ أننا نضيف واحدًا إلى قيمة ﻉ. وهذا بالطبع يماثل طرح سالب واحد. إذن، قيمة ﻉ صفر ستساوي سالب واحد. وستكون قيم كل من ﺃ وﺏ وﺟ هي مقامات الكسور. ﺃ يساوي سالب ثمانية، وﺏ يساوي أربعة ﻥ، وﺟ يساوي ١٠. بذلك، نكون قد تمكنا من إيجاد الصورة المتجهة لمعادلة المستقيم الأول. هيا نكرر الأمر نفسه مع المستقيم الثاني.
سنتبع الخطوات نفسها. نلاحظ أن ﺱ صفر سيساوي سالب خمسة، وﺹ صفر سيساوي سالب ١٠، وﻉ صفر سيساوي ثلاثة. مرة أخرى، ستكون قيم ﺃ وﺏ وﺟ هي مقامات الكسور. ﺃ يساوي أربعة ﻥ، وﺏ يساوي سالب أربعة، وﺟ يساوي سالب خمسة. وهكذا نكون حصلنا على الصورتين المتجهتين لكلا المستقيمين. علينا أن نسترجع الآن ما يعنيه أن يكون المستقيمان متعامدين عندما يكونان على الصورة المتجهة.
تذكر أن تعامد الخطين المستقيمين يعني أنهما يتقاطعان عند زاوية قائمة. إذن ماذا يعني ذلك بالنسبة إلى الصورتين المتجهتين للمعادلتين؟ هذا يعني أن متجهي الاتجاه لا بد أن يكونا متعامدين. ونعلم كيفية التحقق مما إذا كان المتجهان متعامدين. يكون المتجهان متعامدين إذا كان حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا. ومن ثم، للتأكد من أن هذين المستقيمين متعامدان، علينا التحقق مما إذا كان حاصل الضرب القياسي لمتجهي اتجاهيهما يساوي صفرًا.
لنحسب إذن حاصل الضرب القياسي لمتجهي الاتجاه هذين. تذكر أنه لفعل ذلك، علينا ضرب المركبات المتناظرة لكل متجه، ثم جمع كل ذلك معًا. ومن ثم، بإيجاد حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين، نحصل على سالب ثمانية في أربعة ﻥ زائد أربعة ﻥ في سالب أربعة زائد ١٠ مضروبًا في سالب خمسة. وإذا بسطنا هذا التعبير، فسنجد أنه يساوي سالب ٤٨ﻥ ناقص ٥٠.
لكن تذكر أن معطيات السؤال توضح أن هذين المستقيمين متعامدان. وتذكر أيضًا أننا نعلم أنه إذا كان هذان المستقيمان متعامدين، فإن حاصل الضرب القياسي لمتجهي اتجاهيهما لا بد أن يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، سالب ٤٨ﻥ ناقص ٥٠ لا بد أن يساوي صفرًا. يمكننا بعد ذلك حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻥ. ويمكننا أيضًا إعادة ترتيبها لإيجاد قيمة ﻥ. نضيف ٥٠ إلى الطرفين ثم نقسمهما على سالب ٤٨. وهذا يعطينا ﻥ يساوي سالب ٢٥ مقسومًا على ٢٤.
بذلك نكون قد تمكنا من إثبات أنه إذا كان الخطان المستقيمان ﺱ زائد ثلاثة الكل مقسوم على سالب ثمانية يساوي ﺹ ناقص أربعة الكل مقسوم على أربعة ﻥ يساوي ﻉ زائد واحد الكل مقسوم على ١٠، وﺱ زائد خمسة الكل مقسوم على أربعة ﻥ يساوي ﺹ زائد ١٠ الكل مقسوم على سالب أربعة يساوي ﻉ ناقص ثلاثة الكل مقسوم على سالب خمسة، متعامدين، فإن قيمة ﻥ تساوي سالب ٢٥ مقسومًا على ٢٤.
