نسخة الفيديو النصية
أوجد الفترات التي تكون خلالها الدالة ﺩﺱ تساوي ١١ﺱ تكعيب ناقص ثمانية ﺱ تربيع تزايدية والفترات التي تكون خلالها تناقصية.
لدينا في السؤال دالة كثيرة الحدود ﺩﺱ. ومطلوب منا إيجاد الفترات التي تكون خلالها الدالة تزايدية، والفترات التي تكون خلالها الدالة تناقصية. لعلنا نتذكر أن الدالة ﺩ القابلة للاشتقاق تكون تزايدية عندما تكون قيمة مشتقتها أكبر من صفر. وهذا بدهي؛ لأنه إذا كان الميل أكبر من صفر، فإن منحنى الدالة يتجه لأعلى. لذا، فقيمة الدالة تتزايد. نعلم أيضًا أن الدالة ﺩ القابلة للاشتقاق تكون تناقصية عندما تكون قيمة مشتقتها أقل من صفر. وبما أن الدالة ﺩﺱ كثيرة حدود، فهي قابلة للاشتقاق عند جميع الأعداد الحقيقية. نريد، إذن، إيجاد الفترات التي تحتوي على قيم ﺱ هذه بحيث تكون قيمة مشتقة ﺩ أكبر من صفر وقيمة مشتقة ﺩ أقل من صفر.
هيا نبدأ بإيجاد دالة المشتقة ﺩ شرطة ﺱ. وبما أننا نشتق دالة كثيرة حدود، فيمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. نضرب في الأس ثم نطرح واحدًا من الأس. بتطبيق هذه القاعدة لاشتقاق كل حد على حدة بالدالة كثيرة الحدود، نحصل على ثلاثة في ١١ في ﺱ أس ثلاثة ناقص واحد ناقص اثنين في ثمانية في ﺱ أس اثنين ناقص واحد، وهو ما يمكن تبسيطه ليصبح ٣٣ﺱ تربيع ناقص ١٦ﺱ. من ثم، الدالة المشتقة ﺩ شرطة ﺱ هي دالة تربيعية. ونريد إيجاد قيم ﺱ التي تكون عندها قيمة هذه الدالة التربيعية أكبر من صفر، وقيم ﺱ التي تكون عندها قيمة هذه الدالة التربيعية أقل من صفر. هناك بعض الطرق المختلفة التي يمكننا استخدامها. وسنفعل ذلك برسم تمثيل بياني لـ ﺩ شرطة ﺱ.
نريد إذن رسم تمثيل بياني للدالة التربيعية ﺹ يساوي ٣٣ﺱ تربيع ناقص ١٦ﺱ. نلاحظ أن الحد الرئيس في الدالة كثيرة الحدود هو ٣٣ﺱ تربيع. بما أن ٣٣ عدد موجب، فيجب أن يكون لهذا التمثيل البياني شكل مماثل للقطع المكافئ ﺹ يساوي ﺱ تربيع. بعد ذلك، يمكننا إيجاد قيم الأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ من خلال تحليل هذه المعادلة. نلاحظ أن الحدين بينهما العامل المشترك ﺱ. بإخراج العامل المشترك ﺱ، يصبح لدينا ﺱ مضروبًا في ٣٣ﺱ ناقص ١٦. ويمكننا إيجاد الأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ بالتمثيل البياني بجعل كل عامل يساوي صفرًا. ومن ثم، نحصل على الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ، وهما ﺱ يساوي صفرًا وﺱ يساوي ١٦ مقسومًا على ٣٣.
يمكننا الآن رسم تمثيل بياني للدالة المشتقة، ﺹ يساوي ٣٣ﺱ تربيع ناقص ١٦ﺱ. نحدد الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ: صفر و١٦ مقسومًا على ٣٣. ونعلم أن التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ ينبغي أن يكون له شكل مشابه للقطع المكافئ ﺹ يساوي ﺱ تربيع. نريد استخدام هذا الرسم لإيجاد قيم ﺱ التي تكون عندها قيم ﺩ شرطة ﺱ أكبر من صفر، والقيم التي تكون عندها قيم ﺩ شرطة ﺱ أقل من صفر. وهذا يماثل إيجاد قيم ﺱ التي يكون عندها المنحنى أعلى المحورﺱ وأسفله.
نلاحظ أنه إذا كان ﺱ أقل من صفر، فإن المنحنى يقع أعلى المحور ﺱ. وإذا كان ﺱ أكبر من ١٦ على ٣٣، فإن المنحنى يقع أيضًا أعلى المحور ﺱ. من ثم، عندما يكون ﺱ أقل من صفر، فإن قيمة ﺩ شرطة ﺱ تكون أكبر من صفر. وعندما يكون ﺱ أكبر من ١٦ على ٣٣، فإن قيمة ﺩ شرطة ﺱ تكون أيضًا أكبر من صفر. فالقول إن ﺱ أقل من صفر يعني أن ﺱ يقع في الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى صفر. والقول إن ﺱ أكبر من ١٦ على ٣٣ يعني أن ﺱ يقع في الفترة المفتوحة من ١٦ على ٣٣ إلى ∞. وعليه، نكون قد أوجدنا الفترات التي تكون فيها الدالة ﺩﺱ تزايدية. يمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد الفترات التي تكون خلالها الدالة ﺩﺱ تناقصية.
بالنظر إلى الرسم، نلاحظ أن ﺩ شرطة ﺱ تقع أسفل المحور ﺱ عندما يقع ﺱ بين صفر و١٦ على ٣٣. إذن، عندما يكون ﺱ أكبر من صفر وﺱ أقل من ١٦ على ٣٣، فإن قيمة ﺩ شرطة ﺱ تكون أقل من صفر. وهذا يدل على أن الدالة ﺩﺱ تكون تناقصية عند جميع قيم ﺱ التي تقع في الفترة المفتوحة من صفر إلى ١٦ على ٣٣. وعليه، نكون قد أثبتنا أن الدالة ﺩﺱ تساوي ١١ﺱ تكعيب ناقص ثمانية ﺱ تربيع تناقصية على الفترة المفتوحة من صفر إلى ١٦ على ٣٣ وتزايدية على الفترتين المفتوحتين من سالب ∞ إلى صفر ومن ١٦ على ٣٣ إلى ∞.
