فيديو الدرس: النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل: الدالة المعرفة بالتكامل الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل: الدوال المعرفة بالتكاملات

في هذا الدرس، سنتعلم كيف نطبق النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل لإيجاد مشتقة دالة معرفة بالتكامل. تتمتع النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل بشهرة كبيرة لأنها تربط بين فرعي التفاضل والتكامل. وفي هذه المرحلة؛ يجب أن نكون على دراية بأن حساب التفاضل يقدم لنا طريقة لحساب ميل المماس لمنحنى عند نقطة. ويقدم لنا حساب التكامل طريقة لحساب المساحة أسفل المنحنى بين حدين أو طرفين. لكن في القرن السابع عشر، أدرك إسحاق بارو، معلم إسحاق نيوتن، أنه على الرغم من أن التفاضل والتكامل يبدوان عمليتين غير مرتبطتين، لكن في الحقيقة كل منهما عملية عكسية للأخرى. بعد ذلك بفترة قصيرة، أكمل نيوتن بنفسه، إلى جانب فكرة التشابه بين التفاضل والتكامل، تطوير النظرية، وأسس جزءًا كبيرًا من المفاهيم التي نعرفها الآن.

حسنًا، الجزء الأول من النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل التي نرمز لها اختصارًا بـ ‪FTC‬‏، هو ما يلي. إذا كانت الدالة ‪𝑓‬‏ (بحرف 𝑓 صغير) دالة متصلة على الفترة المغلقة بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏، والدالة ‪𝐹‬‏ (بحرف 𝑓 كبير) في المتغير ‪𝑥‬‏ تساوي التكامل بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏، فكل ما يلي صحيح. الدالة ‪𝐹‬‏ متصلة على الفترة المغلقة بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏. وهي أيضًا قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏. ومن المهم جدًّا ملاحظة أن الدالة ‪𝐹‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ لكل قيم ‪𝑥‬‏ الواقعة في الفترة المفتوحة بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏. توجد بعض الملاحظات على الرموز هنا؛ فهي قد تبدو غريبة قليلًا في البداية، لكن علينا إيجاد الدالة ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ باستخدام التكامل المحدد لدالة أخرى وهي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏. وحدا التكامل هما ‪𝑎‬‏ و‪𝑥‬‏.

وجدير بالملاحظة أن ‪𝑎‬‏ يمثل ثابتًا لا يعتمد على المتغير ‪𝑥‬‏. إحدى نتائج هذه النظرية هي أن أي دالة متصلة، وهي هنا ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، لها مشتقة عكسية، وهي ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. وهناك بالطبع القاعدة المهمة التي ذكرناها سابقًا، وهي أن هذه النظرية توضح العلاقة بين الاشتقاق والتكامل. ويمكن أن نرى هذه العلاقة بوضوح أكبر من خلال تمثيل جزء المشتقة كما يلي. لقد عرفنا الدالة ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ بهذه الطريقة، حيث أخذنا الدالة ‪𝐹‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ عند الاشتقاق بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. وهذا بالطبع يساوي الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ طبقًا للسطر السابق. والآن بعد أن رأينا نتيجة تأثير المؤثر التفاضلي على التكامل، يمكننا أن نلاحظ أن هاتين العمليتين عكسيتان. سنعود للنظرية لاحقًا لنحاول تشكيل فهم بديهي لها. لكن لنلق نظرة الآن على أحد الأمثلة.

استخدم النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل لإيجاد مشتقة الدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، التي تساوي التكامل بين ثلاثة و‪𝑥‬‏ للوغاريتم الطبيعي لواحد زائد ‪𝑡‬‏ أس خمسة بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏.

بالنسبة لهذا السؤال، نعرف أن لدينا الدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، وهي معرفة بالتكامل. ومطلوب منا الآن إيجاد مشتقة هذه الدالة. أول فكرة ستخطر ببالنا الآن هي أن نحاول اشتقاق التكامل باستخدام التعريفات الأساسية، ثم نشتق بعد ذلك بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. سيكون هذا خاطئًا؛ لأن التكامل الذي سنحصل عليه سيكون على الأرجح معقدًا ويصعب التعامل معه. وبدلًا من ذلك، فإن السؤال يلمح إلى أنه علينا استخدام النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل التي سنرمز لها اختصارًا بـ ‪FTC‬‏. وبالتحديد، يخبرنا الجزء الأول من النظرية بأنه إذا كانت ‪𝑓‬‏ دالة متصلة على الفترة المغلقة بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ والدالة ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ معرفة بالتكامل بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑥‬‏ للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏. فإن ‪𝐹‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ لكل قيم ‪𝑥‬‏ الواقعة في الفترة المفتوحة بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏.

هذه النظرية قوية للغاية ويمكننا فهمها من خلال تطبيقها في هذا السؤال. نعرف بالفعل أن الدالة التي في السؤال تتطابق مع صيغة النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل، حيث ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يمثل ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، واللوغاريتم الطبيعي لواحد زائد ‪𝑡‬‏ أس خمسة يمثل ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏، والحد السفلي للتكامل، وهو هنا ثلاثة، هو الثابت ‪𝑎‬‏، وبالطبع فإن الحد العلوي هو ‪𝑥‬‏. وبما أن الصيغ متطابقة، يمكننا استخدام النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل مباشرة لإيجاد ‪𝑔‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏، التي تمثل هنا ‪𝐹‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏. نحن نعرف قيمة الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏، ولكي نوجد الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، علينا ببساطة أن نضع المتغير ‪𝑥‬‏ بدلًا من المتغير ‪𝑡‬‏. هذا يعني أن ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لواحد زائد ‪𝑥‬‏ أس خمسة. وفي الواقع، ها قد أوجدنا بالفعل ‪𝑔‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏.

الفكرة الأساسية التي ساعدتنا في حل هذا السؤال هي أننا لم نتكبد مشقة حساب تكامل اللوغاريتم الطبيعي لواحد زائد ‪𝑡‬‏ أس خمسة. كان من شأن ذلك أن يؤدي إلى عمليات حسابية طويلة. لكن النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل ساعدتنا في الوصول للناتج بطريقة أسرع. تذكر أن تبحث عن أسئلة صعبة من هذا النوع، حيث يكون عليك إيجاد مشتقة تكامل. ويبدو أنه من الصعب عمليًّا إيجاد قيمة الدالة التي يحسب تكاملها. الجزء الأول من النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل يوفر لك طريقة بديلة مفيدة.

حسنًا، لنعد إلى النظرية مرة أخرى وننظر إلى التمثيل البياني لنفهم أكثر. لدينا هنا الدالة ‪𝑓‬‏، وهي دالة متصلة على الفترة المغلقة بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏. والآن، يمكن أن نعتبر أن التكامل بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑥‬‏ للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏ هو المساحة تحت المنحنى بين حدي التكامل ‪𝑎‬‏ و‪𝑥‬‏. يمكن أن نعرف الدالة ‪𝐹‬‏ باعتبارها هذه المساحة. إذن، ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي قيمة التكامل بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑥‬‏ للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏. ومن الجدير بالملاحظة الآن أن ‪𝑥‬‏ متغير، ويمكن أن يأخذ أي قيمة تقع في الفترة بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ التي قلنا إن الدالة متصلة عليها.

لكي نوضح ما المقصود بذلك، دعونا نضع بعض الرموز. في الشكل الأول، لدينا ‪𝑥‬‏ واحد. وفي الشكل الثاني، لدينا ‪𝑥‬‏ اثنان. في الشكل الأول، نعبر عن المساحة بالدالة ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ واحد. في الشكل الثاني، نعبر عن المساحة بالدالة ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ اثنين. نرى في هذا المثال أن المساحة، ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ اثنين، أكبر بشكل واضح من ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ واحد. لكن النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل معنية بالمشتقة ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏. وهي بالطبع الدالة ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ المشتقة بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏، أي ‪d‬‏ على ‪d𝑥‬‏ لهذا التكامل.

حسنًا، لكن ما الذي يعنيه ذلك فعليًّا؟ إذا افترضنا أن التكامل هو المساحة تحت المنحنى وافترضنا أن المشتقة هي معدل التغير، فإن ‪𝐹‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏، وهي مشتقة التكامل، تعبر عن معدل التغير في هذه المساحة بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. بعبارة أخرى، ما المعدل الذي تتغير به مساحة هذا الشكل الهندسي بسبب التغير في ‪𝑥‬‏؟ لن نتعمق هنا كثيرًا في الأعداد العشرية غير المنتهية أو النهايات. لكن يمكننا الاستعانة بالتمثيلات البيانية مرة أخرى. وفقًا للنظرية الأساسية في التفاضل والتكامل، فإن ‪𝐹‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. إذن، معدل التغير في المساحة هو ارتفاع المنحنى عند هذه النقطة. معدل التغير في هذه المساحة هو قيمة الدالة ‪𝑓‬‏ عند ‪𝑥‬‏ واحد. ومعدل التغير في هذه المساحة هو قيمة الدالة ‪𝑓‬‏ عند ‪𝑥‬‏ اثنين.

وبالنظر إلى الرسم، نجد أنه إذا كان طول الضلع الأيمن في هذا الشكل الهندسي هو الأكبر، فمن المنطقي أن مساحته تتغير بمقدار أكبر كلما تغير ‪𝑥‬‏. في هذا المثال، يتضح هذا في حقيقة أن ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ اثنين أكبر من ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ واحد. ملاحظة أخيرة حول هذا التمثيل البياني، وهي ألا تخلط بين معدل التغير في المساحة وانحدار المنحنى. تذكر أنه الارتفاع. مرة أخرى، نحن لم نتعمق كثيرًا في تفاصيل الأعداد العشرية غير المنتهية هنا، لكن أرجو أن يعزز هذا الشرح فهمنا للمبادئ الأساسية للنظرية الأساسية في التفاضل والتكامل.

لنأخذ مثالًا آخر لنتدرب على تطبيق النظرية.

استخدم النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل لإيجاد مشتقة الدالة ‪𝑅‬‏ لـ ‪𝑦‬‏ تساوي التكامل بين ‪𝑦‬‏ وخمسة لثلاثة ‪𝑡‬‏ تربيع ‪sin‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏.

في هذا السؤال، ندرك أولًا أن لدينا دالة معرفة بتكامل ‪𝑅‬‏ لـ ‪𝑦‬‏. ومطلوب إيجاد مشتقة هذه الدالة، ‪𝑅‬‏ شرطة لـ ‪𝑦‬‏. وكما هو موضح في السؤال، يمكن أن نستخدم النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل باعتبارها طريقة لحل هذه المسألة. الجزء الأول من هذه النظرية يخبرنا بأن ‪𝑓‬‏ دالة متصلة على الفترة المغلقة بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ والدالة ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ معرفة بالتكامل بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑥‬‏ للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏. وبالتالي فإن ‪𝐹‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ لكل قيم ‪𝑥‬‏ الواقعة في الفترة المفتوحة بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏. هنا المعادلة التي في هذا السؤال لا تحتوي على ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، لكن لدينا ‪𝑅‬‏ لـ ‪𝑦‬‏ بدلًا منها.

قبل أن نفكر في ‪𝑅‬‏ شرطة لـ ‪𝑦‬‏، لنرجع إلى ‪𝑅‬‏ لـ ‪𝑦‬‏ لنر ما إذا كانت هذه هي صيغة المعادلة التي تصلح لتطبيق النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل. لدينا بالفعل دالة معرفة بتكامل ولدينا دالة متصلة باعتبارها الدالة التي سيحسب تكاملها. لكن، المتغير المعرفة به الدالة، وهو ‪𝑦‬‏، يمثل الحد السفلي للتكامل، والثابت يمثل الحد العلوي. هذه صورة معكوسة للنظرية الأساسية في التفاضل والتكامل، حيث يكون المتغير هو الحد العلوي والثابت هو الحد السفلي. هذا يعني أن موضعي الحدين هنا معكوسان. لحسن الحظ أن أحد خصائص التكاملات وهو تبديل موضعي الحدين والضرب في سالب واحد يعطينا التكامل الأصلي. يمكن أن نفعل ذلك في التكامل الذي يعرف ‪𝑅‬‏ لـ ‪𝑦‬‏. وبالطبع لا يهم ما إذا كان المعامل سالب واحد موجودًا داخل التكامل أم خارجه.

والآن بعد أن أصبحت المعادلة مكتوبة بالصورة الصحيحة بوجود المتغير في الأعلى والثابت في الأسفل، يمكن أن نستخدم النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل. وبذلك يمكننا القول إن ‪𝑅‬‏ شرطة لـ ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑦‬‏. وتذكر أن المتغير هو ‪𝑦‬‏ وليس ‪𝑥‬‏. وبالنظر للتكامل مرة أخرى، نجد أن ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ يساوي سالب ثلاثة ‪𝑡‬‏ تربيع ‪sin‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏. هذا يعني أنه في الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑦‬‏ سنضع المتغير ‪𝑦‬‏ بدلًا من ‪𝑡‬‏. وبذلك نجد أن ‪𝑅‬‏ شرطة لـ ‪𝑦‬‏ يساوي سالب ثلاثة ‪𝑦‬‏ تربيع ‪sin‬‏ اثنين ‪𝑦‬‏. وبالتالي نكون قد أجبنا عن السؤال. حيث أوجدنا المشتقة ‪𝑅‬‏ شرطة لـ ‪𝑦‬‏ باستخدام النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل. وبهذه الطريقة تجنبنا إجراء التكامل المحدد الوارد في السؤال والذي كان من الممكن أن يؤدي إلى عمليات حسابية طويلة أو معقدة.

حسنًا، في الأمثلة السابقة كان حدا التكامل عبارة عن ثابت، وهو ‪𝑎‬‏، ومتغير تعرف به الدالة ‪𝐹‬‏، وهو ‪𝑥‬‏ بالطبع. لكن ماذا نفعل إذا كان هذا الحد ليس ‪𝑥‬‏ وإنما ‪𝑥‬‏ تربيع. أو إذا كان الحد عبارة عن دالة أخرى في المتغير ‪𝑥‬‏. لنقل ‪𝑢‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. قد نقابل العديد من المعادلات بهذه الصورة وسنرى كيف نتعامل معها في المثال الآتي.

استخدم النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل لإيجاد مشتقة الدالة ‪𝑦‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي التكامل بين اثنين و‪𝑥‬‏ أس أربعة لخمسة ‪cos‬‏ تربيع خمسة ‪𝜃‬‏ بالنسبة إلى ‪𝜃‬‏.

لدينا هنا الدالة ‪𝑦‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، وهي معرفة بتكامل. لإيجاد هذه المشتقة، سنستخدم النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل بدلًا من إجراء التكامل مباشرة. يخبرنا الجزء الأول من النظرية بأنه إذا كانت ‪𝑓‬‏ دالة متصلة على الفترة المغلقة بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ ولدينا أيضًا الدالة ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ معرفة بالتكامل بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑥‬‏ للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏. فإن ‪𝐹‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ لجميع قيم ‪𝑥‬‏ التي تقع في الفترة المفتوحة بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏. لنتحقق الآن من أن هذه المعادلة مكتوبة بالصيغة الصالحة للاستخدام.

الدالة المعرفة بالتكامل هي ‪𝑦‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ بدلًا من الدالة ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. الدالة التي سيحسب تكاملها هنا متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية بالكامل. ولدينا هنا ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝜃‬‏ بدلًا من ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏. الحد السفلي للتكامل هو اثنان، وهو ثابت. لكن، نواجه مشكلة هنا وهي أن الحد العلوي ليس ‪𝑥‬‏ وإنما ‪𝑥‬‏ أس أربعة. وهذه دالة في المتغير ‪𝑥‬‏. لكي نستخدم النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل، سنحتاج إلى إجراء تعديل. أولًا، نكتب ‪𝑦‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ في صورة منظمة أكثر. بعد ذلك، سنعرف الحد العلوي المزعج بشيء آخر، وليكن المتغير ‪𝑢‬‏. وبذلك سنحصل على ‪𝑦‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي التكامل بين اثنين و‪𝑢‬‏ للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝜃 d𝜃‬‏.

والآن، علينا إيجاد ‪𝑦‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏، وهي مشتقة ‪𝑦‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. يمكن أن نكتب هذا في صورة ‪d‬‏ على ‪d𝑥‬‏ للتكامل الذي كتبناه هنا. وهذه هي الخطوة التي يمكن أن تحدث عندها المشكلة. فلا يمكننا استخدام النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل هنا لإيجاد المشتقة مباشرة؛ لأن الحد العلوي ليس المتغير ‪𝑥‬‏. هناك طريقة يمكن أن نستخدمها لنواصل الحل، وهي قاعدة السلسلة التي تقول إن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑢‬‏ في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. بالطبع لدينا هنا ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. في هذه الخطوة المهمة، تتيح لنا قاعدة السلسلة أن نعيد كتابة المشتقة في صورة ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑢‬‏ في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. وبالنظر إلى هذا الجزء من المعادلة، نرى الآن أنه يمكننا إيجاد قيمته باستخدام النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل؛ لأن لدينا مشتقة بالنسبة إلى ‪𝑢‬‏ والحد العلوي هو ‪𝑢‬‏ بالفعل.

يمكنك أن ترى ذلك بوضوح، من خلال ملاحظة أن هذه الصورة تتفق الآن مع الصورة الموضحة هنا. باستخدام النظرية يمكننا القول إن هذا يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑢‬‏. وبذلك، ‪𝑦‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑢 d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. في الواقع، هذا التعميم مفيد للغاية، ويمكننا استخدامه عندما يكون أحد حدي التكامل دالة في المتغير ‪𝑥‬‏ وليس ‪𝑥‬‏ نفسه. لنواصل حل هذا السؤال، يمكننا الآن أن نعوض في المعادلة باستخدام هذا التعريف، وهو ‪𝑢‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ أس أربعة. نتذكر الآن أن ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝜃‬‏ تساوي خمسة ‪cos‬‏ تربيع خمسة ‪𝜃‬‏. وبالتعويض عن ‪𝜃‬‏ بالمتغير ‪𝑥‬‏ أس أربعة، نحصل على ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ أس أربعة تساوي خمسة ‪cos‬‏ تربيع خمسة ‪𝑥‬‏ أس أربعة.

بعد ذلك، علينا أن نشتق ‪𝑥‬‏ أس أربعة بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. وهو ما يساوي بالطبع أربعة ‪𝑥‬‏ تكعيب. وبضرب هذين معًا، نحصل على 20𝑥 تكعيب في ‪cos‬‏ تربيع خمسة ‪𝑥‬‏ أس أربعة. وأخيرًا، ها قد وصلنا إلى إجابة السؤال، بما أن هذه هي قيمة ‪𝑦‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏.

يوضح هذا المثال تعديلًا مهمًّا للنظرية الأساسية في التفاضل والتكامل. ويمكن تعميم هذه الطريقة لاستخدامها مع التكاملات التي تحتوي على حدود تمثل دوال أخرى في المتغير ‪𝑥‬‏. لنلق نظرة على هذا المثال الأخير.

أوجد مشتقة الدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي التكامل بين واحد ناقص اثنين ‪𝑥‬‏ وواحد زائد ‪𝑥‬‏ لخمسة ‪𝑡 sin 𝑡‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏.

في هذا السؤال، لدينا دالة معرفة بالتكامل ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. ومطلوب إيجاد مشتقته، ‪𝑔‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏. لنفعل ذلك سنستخدم الجزء الأول من النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل الذي يقول إنه إذا كانت لدينا معادلة على هذه الصورة، يمكن إيجاد مشتقتها مباشرة باستخدام القواعد الآتية. علينا هنا إعادة كتابة المعادلة. نجعل ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ تساوي خمسة ‪𝑡 sin 𝑡‬‏. والآن، أول ما نلاحظه بالنظر إلى التكامل هو أن الحدين العلوي والسفلي ليسا فقط دالتين في المتغير ‪𝑥‬‏ بدلًا من ‪𝑥‬‏ نفسه. ولكن أيًّا منهما ليس ثابتًا، وهو ما نحتاج إليه عند استخدام النظرية.

هنا، نتذكر أنه يمكننا أن نقسم التكامل بالطريقة الآتية. لتستوعب الأمر، من المفيد أن تتعامل مع التكامل المحدد على أنه المساحة أسفل المنحنى، كما هو موضح. باستخدام هذه الطريقة، يمكننا افتراضيًّا أن نضع ثابتًا سنسميه ‪𝑎‬‏ في حدود التكاملات التي ستكون المجموع الآن. بعد ذلك، سنلاحظ في التكامل الأول أن هذا الثابت هو الحد العلوي وليس الحد السفلي. وعلينا تبديل هذين الحدين معًا لنستخدم النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل. ولحسن الحظ، فإن تبديل حدي التكامل والضرب في سالب واحد يعطينا النتيجة نفسها. إذن، يمكننا فعل ذلك.

نحن الآن أقرب إلى الصورة التي نريدها. لكن تذكر أن الحد العلوي في هذين التكاملين عبارة عن دالة في المتغير ‪𝑥‬‏ وليس ‪𝑥‬‏ نفسه. لكي نكمل، يمكننا أن نستخدم هذه الصورة المعدلة للنظرية الأساسية في التفاضل والتكامل. إذا كانت ‪𝑓‬‏ دالة متصلة على الفترة المغلقة بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏، وكانت ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ معرفة بالتكامل بين ‪𝑎‬‏ ودالة ما في المتغير ‪𝑥‬‏، سنطلق عليها ‪𝑢‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏. فإن ‪𝐹‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑓‬‏ في الدالة ‪𝑢‬‏ للمتغير ‪𝑥‬‏ مضروبة في ‪d‬‏ على ‪d𝑥‬‏ للدالة ‪𝑢‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، حيث ‪𝑢‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تقع في الفترة المفتوحة بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏. حسنًا، بالنظر مرة أخرى إلى الدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، نرى أنها معبر عنها الآن في صورة مجموع تكاملين منفصلين.

وباستخدام قواعد الاشتقاق، يمكننا إيجاد قيمة ‪𝑔‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ ببساطة عن طريق اشتقاق كل من هذين الحدين على حدة. وبذلك، يمكن أيضًا أن نطبق النظرية المعدلة بشكل منفصل على كل من الحدين. بالنسبة للحد الأول، الحد العلوي هو الدالة واحد ناقص اثنين ‪𝑥‬‏. تقول النظرية المعدلة إن هذا يساوي سالب ‪𝑓‬‏ لواحد ناقص اثنين ‪𝑥‬‏ في ‪d‬‏ على ‪d𝑥‬‏ لواحد ناقص اثنين ‪𝑥‬‏. الحد الثاني مكتوب بالصورة نفسها، لكن الحد العلوي له هو واحد زائد ‪𝑥‬‏. الآن نتذكر أن ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ يساوي خمسة ‪𝑡 sin 𝑡‬‏. بالنسبة للدالة ‪𝑓‬‏ لواحد ناقص اثنين ‪𝑥‬‏، سنضع واحدًا ناقص اثنين ‪𝑥‬‏ بدلًا من حدود ‪𝑡‬‏ في هذه المعادلة. بعد ذلك، علينا أن نضرب ذلك في مشتقة واحد ناقص اثنين ‪𝑥‬‏.

سنتبع الطريقة نفسها مع الحد الثاني، أولًا سنعوض في ‪𝑓‬‏ ثم نوجد مشتقة واحد زائد ‪𝑥‬‏ ثم نضرب. بعد قليل من التبسيط، سنحصل على النتيجة الآتية. ها قد أكملنا حل السؤال وحصلنا على مشتقة ‪𝑔‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏. يوضح هذا المثال أنه يمكننا استخدام النسخة المعدلة من النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل حتى لو كانت الدالة التي لدينا معرفة بتكامل يتكون حداه العلوي والسفلي من دالتين مختلفتين في المتغير ‪𝑥‬‏.

عظيم، لكي ننهي الدرس، دعونا نراجع بعض النقاط الرئيسية. يخبرنا الجزء الأول في النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل بأنه إذا كانت الدالة ‪𝑓‬‏ متصلة على الفترة المغلقة بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏، والدالة ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ معرفة بالتكامل بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑥‬‏ للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏. فإن ‪𝐹‬‏ دالة متصلة على الفترة المغلقة بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏، وقابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏، و‪𝐹‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ لجميع قيم ‪𝑥‬‏ الواقعة في الفترة المفتوحة بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏. وإذا ظهر المتغير في الحد السفلي للتكامل بدلًا من العلوي، يمكنك أن تبدل الحدين وتضرب في سالب واحد، وهو ما يساوي التكامل الأصلي.

يمكن تعديل الجزء الأول من النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل عندما يتضمن الحدان أو أحدهما دوال في المتغير ‪𝑥‬‏ بدلًا من ‪𝑥‬‏ نفسه. وقد سمينا هذه الدالة هنا ‪𝑢‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. عند تعريف دالة بتكامل حدين معتمدين على المتغير ‪𝑥‬‏، يمكن أن نقسم الفترة لتتضمن ثابتًا افتراضيًّا في أحد الحدين. ويمكنك حينئذ تبديل الحدين معًا كما وضحنا سابقًا ثم الضرب في سالب واحد. وهكذا، يمكن حل السؤال باستخدام النظرية الأساسية المعدلة في التفاضل والتكامل في كل من هذين التكاملين على حدة.