نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل متباينة خطية ذات خطوتين. وسوف نبدأ بتذكر بعض الرموز الأساسية واسترجاع كيفية حل المتباينات الخطية ذات الخطوة الواحدة. وبعدها، سوف نلقي نظرة على أسئلة تتضمن تكوين وحل المتباينات الخطية ذات الخطوتين، بما في ذلك متباينات تشتمل على مسائل من الحياة اليومية. سوف نتناول أولًا كيفية كتابة المتباينات وما تعنيه. إذا نظرنا إلى المتغير ﺱ والثابت ثلاثة، فسوف نجد أن هناك أربع طرق مختلفة يمكن من خلالها ربطهما باستخدام إحدى علامات المتباينة.
المتباينة الأولى تعني أن ﺱ أكبر من ثلاثة. المتباينة الثانية تعني أن ﺱ أصغر من ثلاثة. المتباينة الثالثة تعني أن ﺱ أكبر من أو يساوي ثلاثة. والمتباينة الأخيرة تعني أن ﺱ أصغر من أو يساوي ثلاثة. يمكن أيضًا كتابة هذه المتباينات على صورة فترات. إذا كان ﺱ أكبر من ثلاثة، فمن الممكن أن يكون أي قيمة أكبر من ثلاثة حتى ∞. وعندما يكون ﺱ أصغر من ثلاثة، يمكن أن يكون أي قيمة أصغر من ثلاثة حتى سالب ∞. لاحظ هنا أن لدينا أقواسًا مربعة مفتوحة للخارج لأن قيمة ﺱ لا يمكن أن تصل إلى ∞ أو سالب ∞، كما أنها أكبر من ثلاثة وأصغر من ثلاثة. وعندما تكون ﺱ أكبر من أو يساوي ثلاثة نضع قوس مربع مغلق بجانب الثلاثة. ونفعل هذا أيضًا عندما يكون ﺱ أصغر من أو يساوي ثلاثة.
نضع دائمًا قوسًا مربعا مفتوحا للخارج بجانب ∞ وسالب ∞. وقد نجد أيضًا أن ﺱ يقع في الفترة بين أربعة وثمانية. يوجد قوس مربع مغلق بجانب العدد أربعة، ما يعني أن ﺱ أكبر من أو يساوي أربعة. وبما أن هناك قوسًا مربعا مفتوحا للخارج بجانب العدد ثمانية، فلا بد أن يكون ﺱ أصغر من ثمانية. ويمكن كتابة هذا باستخدام علامات المتباينة. ﺱ أكبر من أو يساوي أربعة وأصغر من ثمانية. كما يمكن التعبير عن هذا باستخدام رمز المجموعة، حيث ﺱ تشمل جميع القيم الصحيحة من أربعة إلى سبعة كما تتضمنهما. نظرًا لأن ﺱ أصغر من ثمانية، فلن تتضمنه المجموعة. والآن سنفرغ بعض المساحة لتوضيح كيف يمكن تمثيل المتباينات على خط الأعداد.
دعونا نتناول المثالين حيث ﺱ أكبر من ثلاثة وﺱ أكبر من أو يساوي ثلاثة. إذا كان ﺱ أكبر من ثلاثة، فستكون لدينا دائرة مفرغة عند ثلاثة على خط الأعداد. ونظرًا لأن ﺱ يمكن أن يكون أي قيمة أكبر من هذه، فسنرسم سهمًا يتجه إلى اليمين. التغير الوحيد الذي يحدث عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ثلاثة يقع عند العدد ثلاثة؛ حيث نلون الدائرة. وهذا يشير إلى أن ﺱ الآن قد يساوي ثلاثة أو أي عدد موجود على يمينه.
سنتذكر الآن سريعًا كيفية حل المتباينات ذات الخطوة الواحدة. يمكننا حل المتباينات ذات الخطوة الواحدة بنفس طريقة حل المعادلات ذات الخطوة الواحدة. دعونا نتناول المتباينات الأربع الموضحة هنا. أولًا، لدينا ﺱ زائد ثلاثة أكبر من خمسة. لحل هذه المتباينة، نجري العملية العكسية. عكس إضافة ثلاثة هو طرح ثلاثة. وبطرح ثلاثة من طرفي المتباينة، نحصل على ﺱ أكبر من اثنين. وعكس طرح تسعة هو إضافة تسعة.
نظرًا لأن أربعة زائد تسعة يساوي ١٣، فإن حل المتباينة الثانية هو ﺱ أصغر من أو يساوي ١٣. خمسة ﺱ يعني خمسة مضروبًا في ﺱ. عكس الضرب في خمسة هو القسمة على خمسة. ٣٥ على خمسة يساوي سبعة. إذن، ﺱ أكبر من أو يساوي سبعة. في آخر متباينة ذات خطوة واحدة، علينا ضرب كلا الطرفين في سبعة. وبذلك، يصبح لدينا ﺱ بالطرف الأيمن، وأربعة في سبعة يساوي ٢٨. ومن ثم، فإن حل هذه المتباينة هو ﺱ أصغر من ٢٨. سننتقل الآن إلى حل بعض المسائل التي تتضمن متباينات ذات خطوتين.
أوجد مجموعة حل ثلاثة ﺱ ناقص سبعة أصغر من سالب أربعة، إذا كان ﺱ عددًا طبيعيًّا.
قبل أن نحاول حل هذه المتباينة، يجدر بنا التذكير بتعريف العدد الطبيعي. الأعداد الطبيعية هي الأعداد الصحيحة غير السالبة، مثل صفر، واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، وهكذا. الآن سنحل المتباينة المعطاة، ونحدد أيًّا من هذه الأعداد يحقق المتباينة. تشير المتباينة الموجودة لدينا إلى أن ثلاثة ﺱ ناقص سبعة أصغر من سالب أربعة. ويمكننا حل هذه المتباينة باستخدام العمليات العكسية. الخطوة الأولى هنا هي إضافة سبعة إلى طرفي المتباينة؛ لأن عكس طرح سبعة هو إضافة سبعة. سالب أربعة زائد سبعة يساوي ثلاثة، إذن ثلاثة ﺱ أصغر من ثلاثة.
الخطوة الثانية والأخيرة هي قسمة طرفي هذه المتباينة الجديدة على ثلاثة. ثلاثة ﺱ على ثلاثة يساوي ﺱ، وثلاثة على ثلاثة يساوي واحدًا. إذن، حل هذه المتباينة هو ﺱ أصغر من واحد. ويمكن كتابة الحل على صورة فترة، حيث ﺱ قد يكون أي قيمة أصغر من واحد حتى سالب ∞. لكن، المطلوب منا في هذا السؤال هو إيجاد مجموعة حل. ويجب أن يكون ﺱ عددًا طبيعيًّا. العدد الطبيعي الوحيد الأصغر من واحد هو صفر. وهذا يعني أن مجموعة حل المتباينة ثلاثة ﺱ ناقص سبعة أصغر من سالب أربعة، حيث ﺱ عدد طبيعي، هي المجموعة التي تحتوي على العدد صفر.
سنلقي نظرة الآن على مثال آخر حيث علينا كتابة مجموعة الحل على صورة فترة.
أوجد مجموعة حل المتباينة سالب اثنين ﺱ زائد ثلاثة أصغر من أو يساوي خمسة. اكتب إجابتك على صورة فترة.
الجزء الأول من هذا السؤال سيتضمن حل المتباينة من خلال خطوتين. وبعدها، سنكتب الإجابة على صورة فترة. يمكن حل المتباينة سالب اثنين ﺱ زائد ثلاثة أصغر من أو يساوي خمسة باستخدام العمليات العكسية. الخطوة الأولى هي طرح ثلاثة من طرفي المتباينة. وبما أن خمسة ناقص ثلاثة يساوي اثنين، يصبح لدينا سالب اثنين ﺱ أصغر من أو يساوي اثنين. الخطوة الثانية والأخيرة هي قسمة طرفي المتباينة على سالب اثنين. علينا الانتباه هنا لأنه كما نتذكر إذا كان سالب ﺱ أصغر من أربعة، فإن ﺱ أكبر من سالب أربعة.
عند قسمة متباينة على عدد سالب، تتغير العلامة أيضًا. سالب اثنين ﺱ على سالب اثنين يساوي ﺱ. اثنان على سالب اثنين يساوي سالب واحد. إذا كان سالب اثنين ﺱ أصغر من أو يساوي اثنين، فإن ﺱ أكبر من أو يساوي سالب واحد. هذا يعني أن ﺱ يمكن أن يكون أي قيمة أكبر من أو تساوي سالب واحد. مطلوب منا هنا كتابة هذا على صورة فترة، حيث ﺱ أكبر من أو يساوي سالب واحد لكنه أصغر من ∞. جزء يساوي الموجود لدينا في المتباينة يعني أن هناك قوسًا مربعًا مغلقا بجانب سالب واحد. ∞ وسالب ∞ سيكون بجانبهما دائمًا قوس مربعا مفتوحا للخارج؛ لأننا لا يمكننا مطلقًا الوصول إلى هذه القيم.
ستتضمن المسألة التالية كتابة متباينة في سياق من الحياة اليومية.
يقدم متجر حلويات عرضًا خاصًّا: إذا اشتريت بما يزيد عن ١٥ دولارًا أمريكيًّا، فإنك تحصل على مشروب شوكولاتة مجانًا. تبلغ تكلفة صندوق الهدايا الواحد ثلاثة دولارات أمريكية، وتبلغ تكلفة الشوكولاتة دولارين أمريكيين لكل ٥٠ جرامًا. اكتب متباينة لإيجاد ﻭ، الذي يرمز إلى وزن الشوكولاتة التي يجب عليك شراؤها مع صندوق الهدايا، إذا أردت الحصول على مشروب شوكولاتة مجانًا.
نعلم أن العرض الخاص يتمثل في الحصول على مشروب شوكولاتة مجانًا إذا اشتريت بما يزيد عن ١٥ دولارًا أمريكيًّا. هذا يعني أن التعبير لدينا لا بد أن يكون أكبر من ١٥. نعلم أن تكلفة صندوق الهدايا الواحد تبلغ ثلاثة دولارات أمريكية. كما نعلم أن تكلفة الشوكولاتة تبلغ دولارين أمريكيين لكل ٥٠ جرامًا. قسمة هذين الرقمين على اثنين تعني أنه يمكننا شراء ٢٥ جرامًا من الشوكولاتة مقابل دولار واحد. وزن الشوكولاتة التي نحتاج إلى شرائها هو ﻭ. وبذلك، ستكون تكلفة هذا هي ﻭ على ٢٥ لأن تكلفة كل ٢٥ جرامًا من الشوكولاتة تساوي دولارًا واحدًا. كما سنشتري صندوق هدايا واحدًا تبلغ تكلفته ثلاثة دولارات أمريكية. وهذا يعني أن إجمالي المبلغ المطلوب إنفاقه هو ﻭ على ٢٥ زائد ثلاثة.
للحصول على الهدية المجانية، يجب أن يكون المبلغ أكبر من ١٥. ومن ثم، فالمتباينة التي يمكن استخدامها لإيجاد ﻭ هي ﻭ على ٢٥ زائد ثلاثة أكبر من ١٥. وعلى الرغم من أننا لا نحتاج إلى القيام بذلك في تلك المسألة، يمكننا حل المتباينة من خلال طرح ثلاثة من كلا الطرفين أولا. هذا سيعطينا ﻭ على ٢٥ أكبر من ١٢. والخطوة الثانية هي ضرب هذه المتباينة في ٢٥. العملية العكسية للقسمة على ٢٥ هي الضرب في ٢٥. ١٢ في ٢٥ يساوي ٣٠٠. هذا يعني أنك تحتاج إلى شراء أكثر من ٣٠٠ جرام من الشوكولاتة لتحصل على مشروب شوكولاتة مجانًا.
المسألة التالية ستتضمن تكوين متباينة ذات خطوتين، ثم حلها.
يريد كريم شراء بعض الملابس. ولاحظ وجود هذه اللافتة خارج ساحة انتظار السيارات الخاصة بالمتجر. الساعة الأولى مجانًا، تكلفة كل ساعة بعد ذلك دولار واحد و٥٠ سنتًا. اكتب متباينة لـ ﻥ، أي الزمن بالساعات، الذي يمكن أن تنتظره سيارة كريم إذا كان معه ثمانية دولارات و٢٥ سنتًا نقدًا فقط. إذا كان يجب الدفع مقابل إجمالي عدد ساعات انتظار السيارة، فاستخدم المتباينة التي لديك لإيجاد أقصى مدة يمكن أن تنتظرها سيارة كريم.
دعونا نلقي نظرة على المعلومات الموجودة في اللافتة. نعلم أن الساعة الأولى من انتظار السيارة مجانية، وعدد ساعات الانتظار هو ﻥ. وتكلفة كل ساعة بعد ذلك هي دولار واحد و٥٠ سنتًا. قد نكون لاحظنا أننا نحتاج إلى ضرب دولار و٥٠ سنتًا في ﻥ. لكن لأن الساعة الأولى مجانية، علينا ضرب دولار و٥٠ سنتًا أو ١٫٥ في ﻥ ناقص واحد. إذن نعلم أن تكلفة انتظار السيارة لمدة ساعتين تبلغ دولارًا واحدًا و٥٠ سنتًا فقط. وبالتعويض باثنين في هذا التعبير، نحصل على دولار واحد و٥٠ سنتًا. وبالمثل، فإن تكلفة انتظار السيارة لمدة ثلاث ساعات هي ثلاثة دولارات أمريكية؛ لأن الساعة الأولى مجانية. بالتعويض بثلاثة في هذا التعبير نحصل على ثلاثة ناقص واحد، ما يساوي اثنين، وبضرب هذا في ١٫٥ نحصل على ثلاثة دولارات.
كريم ليس لديه سوى ثمانية دولارات و٢٥ سنتًا نقدًا. ومن ثم، هذا التعبير يجب أن يكون أصغر من أو يساوي ٨٫٢٥. يمكننا هنا توزيع الأقواس في الطرف الأيمن. ومع هذا، لسنا بحاجة لفعل ذلك هذه المرة. المتباينة بدلالة ﻥ هي ١٫٥ في ﻥ ناقص واحد أصغر من أو يساوي ٨٫٢٥. مطلوب منا في الجزء الثاني من هذه المسألة حل المتباينة لإيجاد أقصى مدة يمكن أن تنتظرها سيارة كريم. يمكننا حل المتباينة باستخدام العمليات العكسية.
الخطوة الأولى هي أن نقسم كلا الطرفين على ١٫٥. بعدها، يصبح لدينا في الطرف الأيمن من المتباينة ﻥ ناقص واحد. ٨٫٢٥ على ١٫٥ يساوي ٥٫٥. وبذلك، فإن ﻥ ناقص واحد أصغر من أو يساوي ٥٫٥. خطوتنا الثانية والأخيرة هي إضافة واحد إلى كلا طرفي المتباينة الجديدة. هذا يعطينا ﻥ أصغر من أو يساوي ٦٫٥. علمنا من معطيات المسألة أنه يجب الدفع مقابل إجمالي عدد الساعات الكاملة لانتظار السيارة. ومن ثم، يجب أن يكون ﻥ عددًا صحيحًا. وبما أن ﻥ يجب أن يكون أصغر من أو يساوي ٦٫٥، فإن أكبر قيمة عدد صحيح ممكنة هي ستة. وهذا يعني أن أقصى مدة يمكن أن تنتظرها سيارة كريم هي ست ساعات.
سنلخص الآن بعض النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو فيما يخص حل المتباينات الخطية ذات الخطوتين. تكتب المتباينات الخطية ذات الخطوتين بشكل عام على الصورة ﺃﺱ زائد ﺏ أكبر من ﺟ. هناك أربع علامات ممكنة: أكبر من، وأصغر من، وأكبر من أو يساوي، وأصغر من أو يساوي. يمكن كتابة الإجابة أو الحل النهائي على صورة فترة أو مجموعة حل. كما يمكن تمثيله على خط الأعداد. إذا كان ﺱ أكبر من أربعة وأصغر من أو يساوي سبعة، فيمكن كتابة هذا على صورة فترة من أربعة إلى سبعة مع وضع قوس مربعا مفتوحا للخارج بجانب الأربعة وقوس مربع مغلق بجانب السبعة.
إذن، مجموعة الحل التي تضم الأعداد الصحيحة فقط يمكن كتابتها على صورة مجموعة أعداد تتضمن الأعداد خمسة وستة وسبعة؛ لأن الحل لا يمكن أن يساوي أربعة لكنه قد يساوي سبعة. عند حل المتباينة، علينا إجراء عملية عكسية في كل خطوة. الجمع والطرح هما عمليتان عكسيتان لإحداهما الأخرى، وكذلك الضرب والقسمة. تذكر أنه أيًّا كان ما تفعله في أحد طرفي المتباينة، فعليك فعله في الطرف الآخر. وهكذا، يمكن لتكوين المتباينات الخطية وحلها أن يساعدنا في حل كثير من المسائل الرياضية المستقاة من الحياة اليومية.
