فيديو السؤال: إيجاد قيم معاملات مجهولة في معادلتي خطين مستقيمين في ثلاثة أبعاد بمعلومية أنهما متوازيان الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كان الخط المستقيم ﺱ ناقص ١٠ الكل على ستة يساوي ﺹ زائد ستة الكل على ثمانية يساوي ﻉ زائد اثنين الكل على ﻙ يوازي الخط المستقيم ﺱ ناقص واحد الكل على سالب ١٢ يساوي ﺹ زائد ثلاثة الكل على ﻡ يساوي ﻉ زائد واحد الكل على ١٤، فأوجد قيمة ﻙ زائد ﻡ.

في هذا السؤال، لدينا معادلة مستقيمين، وعلمنا أن هذين المستقيمين متوازيان. علينا استخدام ذلك لإيجاد قيمة ﻙ زائد ﻡ. نبدأ بملاحظة أن المستقيمين معطيان على الصورة الإحداثية. ونتذكر أن الصورة الإحداثية للخط المستقيم هي ﺱ ناقص ﺱ صفر الكل على ﺃ يساوي ﺹ ناقص ﺹ صفر الكل على ﺏ يساوي ﻉ ناقص ﻉ صفر الكل مقسومًا على ﺟ. تساعدنا هذه الصورة كثيرًا في كتابة معادلة الخط المستقيم؛ حيث تمكنا من استخلاص بعض المعطيات عن المستقيم.

نلاحظ أولًا أننا إذا عوضنا بـ ﺱ يساوي ﺱ صفر، وﺹ يساوي ﺹ صفر، وﻉ يساوي ﻉ صفر في هذه المعادلة، فسنحصل على صفر يساوي صفرًا يساوي صفرًا. وعليه، فإن أي مستقيم معطى على هذه الصورة يمر بالنقطة ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر. لكن ثمة معلومة أخرى مفيدة يمكننا معرفتها من الصورة الإحداثية لهذا المستقيم. متجه اتجاه هذا المستقيم سيكون هو المتجه ﺃ، ‏ﺏ، ‏ﺟ. وفي هذا السؤال، علينا استخدام حقيقة أن المستقيمين متوازيان لإيجاد قيمة ﻙ زائد ﻡ. ولفعل ذلك، علينا أن نسترجع ما نعنيه تحديدًا بقول إن المستقيمين متوازيان.

لعلنا نتذكر أننا نقول إن المستقيمين متوازيان إذا كان كل من متجهي اتجاهيهما يساوي متجه الآخر مضروبًا في عدد ثابت لا يساوي صفرًا. إذن، لتحديد ما إذا كان هذان المستقيمان متوازيين أم لا، علينا تحديد ما إذا كان متجها اتجاهيهما مضاعفين قياسيين أحدهما للآخر. ولأن هذين المستقيمين معطيان على الصورة الإحداثية، يمكننا معرفة متجهي اتجاهيهما.

بالنسبة إلى المستقيم الأول، متجه الاتجاه هو ستة، ثمانية، ﻙ. ويمكننا تكرار الأمر نفسه مع المستقيم الثاني. ومتجه اتجاهه هو سالب ١٢، ﻡ، ‏١٤. وأخيرًا، بما أننا نعلم أن هذين المستقيمين متوازيان، فلا بد أن هذين المتجهين مضاعفان قياسيان أحدهما للآخر لا يساويان صفرًا. بعبارة أخرى، المتجه ستة، ثمانية، ﻙ يجب أن يساوي ﻥ مضروبًا في المتجه سالب ١٢، ﻡ، ‏١٤؛ حيث ﻥ كمية قياسية لا تساوي صفرًا؛ لأننا نعلم أن هذين المستقيمين متوازيان.

لنحل إذن هذين المتجهين المتساويين. علينا إيجاد حاصل الضرب في عدد ثابت. تذكر أنه علينا فعل ذلك بضرب كل مركبة من مركبات المتجه في ﻥ. بضرب جميع المركبات في ﻥ، نحصل على المتجه ستة، ثمانية، ﻙ يساوي المتجه سالب ١٢ﻥ،‏ ﻡﻥ،‏ ١٤ﻥ. تذكر أنه لكي يكون المتجهان متساويين، يجب أن يكون لهما الأبعاد نفسها، ويجب أن تكون مركباتهما متساوية. ويمكننا استخدام هذه القاعدة لإيجاد قيم ﻥ وﻡ وﻙ.

لنبدأ بإيجاد قيمة ﻥ عن طريق مساواة المركبة الأولى لكل من هذين المتجهين. ومن ثم، نجد أن ستة يساوي سالب ١٢ﻥ. وبالطبع، يمكننا إيجاد قيمة ﻥ بقسمة الطرفين على سالب ١٢. نحصل على ﻥ يساوي سالب ستة مقسومًا على ١٢، ويمكننا تبسيط ذلك لنحصل على ﻥ يساوي سالب نصف. والآن بعد أن عرفنا قيمة ﻥ، يمكننا التعويض بذلك في المتجه.

نفرغ بعض المساحة ونعوض بـ ﻥ يساوي سالب نصف في معادلة المتجه، فنحصل على المتجه ستة، ثمانية، ﻙ يساوي المتجه سالب ١٢ في سالب نصف، سالب ﻡ على اثنين، ١٤ في سالب نصف. وبالطبع، يمكننا تبسيط ذلك. في المركبة الأولى للمتجه في الطرف الأيسر، سالب ١٢ في سالب نصف يساوي ستة. وفي المركبة الثالثة لهذا المتجه، ١٤ مضروبًا في سالب نصف يساوي سالب سبعة. وبذلك، نكون قد بسطنا المتجه في الطرف الأيسر وحصلنا على المتجه ستة، سالب ﻡ على اثنين، سالب سبعة.

وبما أن هذين المتجهين متساويان، فلا بد أن تكون جميع مركباتهما متساوية. يمكننا الآن مساواة المركبة الثانية لكل من هذين المتجهين. هذا يعطينا ثمانية يساوي سالب ﻡ على اثنين. وبالطبع، يمكننا إيجاد قيمة ﻡ بضرب طرفي هذه المعادلة في سالب اثنين. يصبح لدينا ﻡ يساوي سالب اثنين في ثمانية، وهذا يساوي سالب ١٦. وبالطبع، يمكننا أيضًا مساواة المركبة الثالثة لكل من هذين المتجهين. بفعل ذلك، نجد أن قيمة ﻙ تساوي سالب سبعة.

بذلك، نكون قد أوجدنا قيمة ﻙ وقيمة ﻡ. مطلوب منا في هذا السؤال إيجاد قيمة ﻙ زائد ﻡ. إذن، علينا جمع هاتين القيمتين معًا. ‏ﻙ زائد ﻡ يساوي سالب سبعة زائد سالب ١٦؛ ما يعطينا سالب ٢٣. وبهذا نكون قد تمكنا من إثبات أنه إذا كان المستقيم ﺱ ناقص ١٠ الكل على ستة يساوي ﺹ زائد ستة الكل على ثمانية يساوي ﻉ زائد اثنين الكل على ﻙ يوازي المستقيم ﺱ ناقص واحد الكل على سالب ١٢ يساوي ﺹ زائد ثلاثة الكل على ﻡ يساوي ﻉ زائد واحد الكل على ١٤، فإن ﻙ زائد ﻡ يساوي سالب ٢٣.