فيديو السؤال: إيجاد قيم المتغيرات التي تجعل دالة متعددة التعريف متصلة عند نقطتين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة كل من ﺃ وﺏ التي تجعل الدالة ﺩ متصلة عند ﺱ يساوي سالب واحد وﺱ يساوي سالب ستة، إذا كانت ﺩﺱ تساوي ثلاثة ﺱ زائد ١١ عند ﺱ أقل من أو يساوي سالب ستة، وتساوي ﺃﺱ زائد ﺏ عند ﺱ يقع بين سالب ستة وسالب واحد، وتساوي سالب خمسة ﺱ تربيع زائد ١٠ عند ﺱ أكبر من أو يساوي سالب واحد.

نعرف بالضبط سلوك الدالة في المنطقتين ﺱ أقل من أو يساوي سالب ستة، وﺱ أكبر من أو يساوي سالب واحد. ما لا نعرفه هو ما يحدث بالضبط عندما يقع ﺱ بين سالب ستة وسالب واحد. لدينا تعبير للدالة في هذه المنطقة بدلالة ﺃ وﺏ. وعلينا إيجاد قيمة كل من ﺃ وﺏ التي تجعل الدالة متصلة عند طرفي هذه المنطقة، ﺱ يساوي سالب واحد وﺱ يساوي سالب ستة.

من الجيد تمثيل المعطيات على تمثيل بياني، حتى نرى ما نفعله. في الطرف الأيمن من التمثيل البياني، عندما يكون ﺱ أقل من أو يساوي سالب ستة، يصبح لدينا خط مستقيم له المعادلة ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ زائد ١١. وفي الطرف الأيسر من التمثيل البياني، عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي سالب واحد، يصبح لدينا قطع مكافئ له المعادلة ﺹ يساوي سالب خمسة ﺱ تربيع زائد ١٠.

ما نريد معرفته هو ما يحدث عندما يقع ﺱ بين سالب ستة وسالب واحد. بين هاتين النقطتين، ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ زائد ﺏ، وهو ما يمكننا اعتباره معادلة خط مستقيم. لكي نجعل الدالة ﺩ متصلة، علينا ربط النقطتين مع الجزأين الآخرين من التمثيل البياني. انظر إلى التمثيل البياني. لا بد أن يبدو التمثيل البياني للدالة بهذا الشكل. دعونا نر إمكانية استخدامه لمساعدتنا في إيجاد قيمة كل من ﺃ وﺏ.

لكي نجعل الدالة متصلة عند ﺱ يساوي سالب ستة، علينا رسم خط مستقيم يبدأ من هذه النقطة المحاطة بدائرة. ما هي هذه النقطة؟ الإحداثي ﺱ لها يساوي سالب ستة، وتقع على التمثيل البياني للدالة ﺩ، إذن لا بد أن تكون إحداثياتها سالب ستة، ﺩ لسالب ستة. وعند ﺱ يساوي سالب ستة، نكون في هذه المنطقة الموضحة هنا حيث ﺩﺱ تساوي ثلاثة ﺱ زائد ١١. إذن نعوض بسالب ستة في هذا التعبير، ونجد أن ﺩ لسالب ستة يساوي سالب سبعة.

نعلم أن القطعة المستقيمة التي رسمناها بالمعادلة ﺹ يساوي ﺃﺱ زائد ﺏ يجب أن تمر بهذه النقطة. وبالتعويض بهذه الإحداثيات، نحصل على سالب سبعة يساوي ﺃ في سالب ستة زائد ﺏ. وبتبديل طرفي المعادلة، نحصل على سالب ستة ﺃ زائد ﺏ يساوي سالب سبعة. وهذا شرط يجب أن يتحقق بالنسبة لـ ﺃ وﺏ لكي تكون الدالة ﺩﺱ متصلة عند ﺱ يساوي سالب ستة.

ويمكننا أن نرى كيف يرتبط ذلك بالتعريف الأكثر منهجية للاتصال. في الطرف الأيمن، لدينا سالب سبعة، الذي يأتي من ﺩ لسالب ستة، وفي الطرف الأيمن، لدينا النهاية عند اقتراب ﺱ من سالب ستة من يمين الدالة ﺩﺱ. يعد تساوي هذين التعبيرين أحد الأمور التي نحتاجها للاتصال عند هذه النقطة.

الأمر الآخر الذي نحتاجه هو أن تكون النهاية عند اقتراب ﺱ من سالب ستة من يسار الدالة ﺩﺱ مساوية لهذين التعبيرين أيضًا، لكن نحصل على ذلك مباشرة عندما يكون ﺱ أقل من أو يساوي سالب ستة ﺩﺱ معطاة بواسطة قاعدة متصلة جيدة. إذن، النهاية عند اقتراب ﺱ من سالب ستة من يسار الدالة ﺩﺱ تساوي ﺩ لسالب ستة. على أي حال، رأينا أنه لكي نجعل ﺩ متصلة عند ﺱ يساوي سالب ستة، فإن سالب ستة ﺃ زائد ﺏ يجب أن يساوي سالب سبعة.

هيا نفرغ بعض المساحة ونر ما هو الشرط المكافئ للاتصال عند ﺱ يساوي سالب واحد. للقيام بذلك، علينا إيجاد إحداثيات الطرف الآخر للقطعة المستقيمة. الإحداثي ﺱ يساوي سالب واحد. وبالطبع، بما أن هذه النقطة تقع على التمثيل البياني، فإن الإحداثي ﺹ يجب أن يساوي ﺩ لسالب واحد. ما هي ﺩ لسالب واحد؟ سنعوض في التعبير عن ﺩﺱ عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي سالب واحد، ونجد أنها تساوي خمسة. ولأن ﺩﺱ لها قاعدة اتصال جيدة في المنطقة ﺱ أكبر من أو يساوي سالب واحد، فإن قيمة خمسة هذه هي أيضًا النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب واحد من يمين الدالة ﺩﺱ.

الآن، ما هي النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب واحد من يسار الدالة ﺩﺱ؟ حسنًا، نحن الآن في المنطقة التي يقع فيها ﺱ بين سالب ستة وسالب واحد. سنعوض فقط بقيمة ﺱ يساوي سالب واحد في هذا التعبير لنحصل على ﺃ في سالب واحد زائد ﺏ، وهو ما يساوي سالب ﺃ زائد ﺏ. ونريد أن تتساوى هذه التعبيرات الثلاثة جميعًا لتحقيق تعريف الاتصال عند النقطة ﺱ يساوي سالب واحد. إذن، سالب ﺃ زائد ﺏ يجب أن يساوي خمسة. هذا هو الشرط نفسه الذي نحصل عليه إن أردنا أن تمر القطعة المستقيمة بالنقطة سالب واحد، خمسة، التي كانت تمثل طرف القطع المكافئ.

لدينا الآن شرطان بخصوص ﺃ وﺏ: يجب أن يساوي سالب ﺃ زائد ﺏ خمسة لتحقيق الاتصال عند ﺱ يساوي سالب واحد، ويجب أن يساوي سالب ستة ﺃ زائد ﺏ سالب سبعة لتحقيق الاتصال عند ﺱ يساوي سالب ستة. إذن، لإيجاد قيمة كل من ﺃ وﺏ التي تكون عندها الدالة ﺩ متصلة عند كل من ﺱ يساوي سالب واحد وﺱ يساوي سالب ستة، علينا حل هاتين المعادلتين الخطيتين بدلالة ﺃ وﺏ في آن واحد.

يوجد العديد من الطرق لفعل ذلك. سنطرح المعادلة الثانية من الأولى لنحصل على سالب خمسة ﺃ يساوي سالب ١٢. ومن ثم، يصبح ﺃ يساوي سالب ١٢ على سالب خمسة، وهو ما يساوي ١٢ على خمسة. ويمكننا التعويض بقيمة ﺃ هذه في إحدى المعادلتين لنجد أن سالب ١٢ على خمسة زائد ﺏ يجب أن يساوي خمسة. وعليه، فإن ﺏ يساوي ٣٧ على خمسة. وبذلك نكون انتهينا من إجابة السؤال. قيم كل من ﺃ وﺏ التي تجعل الدالة ﺩ متصلة عند ﺱ يساوي سالب واحد وسالب ستة هي ﺃ يساوي ١٢ على خمسة وﺏ يساوي ٣٧ على خمسة.