فيديو الدرس: المتباينات الخطية في متغيرين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نمثل بيانيًّا متباينات خطية في متغيرين. لا بد أن تكون على دراية بأنواع المتباينات الأربع المختلفة. لدينا أكبر من، أو أكبر من أو يساوي، أو أصغر من، أو أصغر من أو يساوي.

لنبدأ بتذكر كيف نمثل بيانيًّا متباينة ذات متغير واحد، أو ذات متغير وحيد. لنتناول مثالًا، وهو ﺹ أكبر من اثنين. إذا مثلنا هذه المتباينة على خط الأعداد، سنضع دائرة مفرغة فوق العدد اثنين ونرسم سهمًا يتجه نحو اليمين في إشارة إلى جميع القيم الأكبر من اثنين. إن حقيقة أن هذه الدائرة على خط الأعداد مفرغة أو خالية أمر مهم للغاية. إذا كانت الدائرة ملونة أو مظللة، فهذا يشير إلى أن المتباينة في هذه الحالة هي أكبر من أو يساوي. عندما تكون المتباينة تامة، مثل أكبر من أو أصغر من، نظلل الدائرة.

علينا أن نراعي الأمر نفسه عند تمثيل المتباينات بيانيًّا أيضًا. عندما نمثل متباينة بيانيًّا، نبدأ باستبدال علامة المتباينة بعلامة يساوي مؤقتًا. لذا نبدأ في هذه الحالة بافتراض أن ﺹ يساوي اثنين. وهذا يمكن توضيحه على تمثيل بياني، بالنقطة التي عندها ﺹ يساوي اثنين. ولكن، قبل أن نرسم الخط الذي يمثل ﺹ يساوي اثنين، علينا أن ننظر إلى المتباينة. بما أن هذه المتباينة، أي ﺹ أكبر من اثنين، متباينة تامة، فإن الخط الذي سنرسمه سيكون خطًّا متقطعًا.

وأخيرًا، سنحتاج إلى تمثيل المنطقة حيث تكون ﺹ أكبر من اثنين. إذا افترضنا أنه توجد نقطة أو إحداثي أسفل الخط، وأن هذا الإحداثي هو صفر، واحد، على سبيل المثال، فعند هذه النقطة، قيمة ﺹ تساوي واحدًا. لكننا نعلم أن واحدًا أصغر من اثنين. ومن ثم، فهذه النقطة لن تقع في المنطقة نفسها حيث ﺹ أكبر من اثنين. لنتناول إحداثي نقطة أخرى، وهذه المرة سنختار الإحداثي واحد، أربعة، والذي يقع أعلى الخط، وستكون قيمة ﺹ عند هذه النقطة تساوي أربعة. وأربعة أكبر من اثنين. وعليه، فإن هذه النقطة جزء من المنطقة حيث ﺹ أكبر من اثنين؛ ومن ثم يمكننا تمثيل ﺹ أكبر من اثنين بتظليل المنطقة التي نريدها. ولكن انتبه، أحيانًا يطلب منا السؤال تظليل المنطقة التي نريدها، وأحيانًا أخرى يطلب منا تظليل المنطقة التي لا نريدها. إذن، علينا دائمًا أن نقرأ السؤال بدقة.

يمكن تمثيل المتباينات الخطية ذات المتغيرين بيانيًّا عن طريق استخدام الطريقة نفسها بالضبط. يمثل الخط المتقطع المتباينات التامة، سواء أكانت أكبر من أو أصغر من. ولكن، يمثل الخط المتصل المتباينات الضعيفة، أي الأكبر من أو يساوي أو الأصغر من أو يساوي. في هذه الحالة، الفرق هو أنه بدلًا من وجود متغير واحد فقط لـ ﺱ أو ﺹ، سيكون لدينا معادلات معطاة على الصور المختلفة لمعادلة الخط المستقيم، مثل ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﺟ أو ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ. وبما أننا نتعامل مع تمثيل معادلات كهذه بيانيًّا، إذن، علينا أن نكون واثقين من إيجاد معادلة الخط المستقيم من تمثيلها البياني. يمكننا الآن أن نتناول المثال الأول. في هذا المثال، سنحدد الترميز الصحيح لمتباينة ممثلة بيانيًّا.

انظر المتباينتين الموضحتين في الشكل واحد والشكل اثنين. أي من الآتي صواب؟ الخيار (أ): يوضح الشكل واحد أن ﺹ أكبر من ﺱ، ويوضح الشكل اثنان أن ﺹ أكبر من أو يساوي ﺱ. أم الخيار (ب): يوضح الشكل واحد أن ﺹ أكبر من أو يساوي ﺱ، ويوضح الشكل اثنين أن ﺹ أكبر من ﺱ.

أول ما علينا فعله عند تحديد متباينة ممثلة بيانيًّا هو أن نوجد معادلة الخط المستقيم، سواء أكان هذا الخط متقطعًا أو متصلًا. كلا الخطين الموضحين في الشكل واحد والشكل اثنين يمثلان المعادلة نفسها. في كلا التمثيلين البيانيين، يمكننا ملاحظة الإحداثيات واحد، واحد، واثنان، اثنان، وثلاثة، ثلاثة، وهكذا. ونظرًا لأن جميع قيم ﺹ تساوي قيم ﺱ، إذن، يمكن أن تعطى معادلة أي من هذين الخطين على الصورة ﺹ يساوي ﺱ. نلاحظ في كلا التمثيلين البيانيين، أي في كلا الشكلين، أن المنطقة الموجودة فوق الخط المستقيم مظللة. الفرق هو أن لدينا في الشكل واحد خطًّا متقطعًا، ولدينا في الشكل اثنين خطًّا متصلًا.

تشير الخطوط المتقطعة إلى متباينة تامة، أي إنها تكون إما أكبر من أو أصغر من، بينما الخطوط المتصلة تمثل متباينات ضعيفة. أي إنها تكون إما أكبر من أو يساوي، أو أصغر من أو يساوي. إذن، التمثيل البياني في الشكل واحد يمثل ﺹ أكبر من ﺱ أو ﺹ أصغر من ﺱ. والشكل اثنان سيمثل ﺹ أكبر من أو يساوي ﺱ، أو ﺹ أصغر من أو يساوي ﺱ. دعونا نتناول الشكل واحدًا ونختر إحداثي نقطة تقع في المنطقة المظللة. دعونا نختر الإحداثي صفر، أربعة. في هذا الإحداثي، قيمة ﺹ تساوي أربعة، وقيمة ﺱ تساوي صفرًا. والمتباينة التي سنستخدمها لتقارن بين أربعة وصفر هي أن أربعة أكبر من صفر. وبما أن هذا الإحداثي يقع في المنطقة المظللة، فإن هذه المنطقة لا بد أن تمثل ﺹ أكبر من ﺱ.

وبالطريقة نفسها، يمكننا اختيار الإحداثي نفسه في الشكل اثنين، أي الإحداثي صفر، أربعة. نعلم أن أربعة أكبر من صفر، ولكننا نعلم هذه المرة أن هذه المتباينة لا بد أن تكون متباينة ضعيفة: أربعة أكبر من أو يساوي صفرًا. يمثل هذا التمثيل البياني المتباينة ﺹ أكبر من أو يساوي ﺱ. يمكننا إذن أن نقول إن العبارة في الخيار (أ) صحيحة. حيث يوضح الشكل واحد أن ﺹ أكبر من ﺱ، بينما يوضح الشكل اثنان أن ﺹ أكبر من أو يساوي ﺱ.

دعونا نتناول مثالًا آخر.

ما المتباينة الممثلة بيانيًّا في الشكل الآتي؟

عندما تكون لدينا متباينة ممثلة بيانيًّا، فهذا يعني أن لدينا خطًّا مستقيمًا، سواء أكان خطًّا متصلًا أو خطًّا متقطعًا، ولدينا أيضًا منطقة مظللة. أول ما علينا فعله هو تحديد معادلة الخط المستقيم. لعلنا نتذكر أن معادلة الخط المستقيم يمكن كتابتها على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ؛ حيث ﻡ يمثل الميل، أو الانحدار، وﺏ هو الجزء المقطوع من المحور ﺹ. عادة يمكن تحديد الجزء المقطوع من المحور ﺹ بسهولة من التمثيل البياني. إنه النقطة التي يقطع عندها الخط المستقيم المحور ﺹ. في هذا التمثيل البياني، يحدث ذلك عند الإحداثي صفر، سالب ثلاثة. وعليه، فإن الجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي سالب ثلاثة. يمكن إيجاد ميل أي خط مستقيم بحساب فرق الصادات مقسومًا على فرق السينات. ويمكننا إيجاد ذلك باستخدام الإحداثيين ﺱ واحد، ﺹ واحد وﺱ اثنين، ﺹ اثنين، حيث يساوي الميل ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد.

لتسهيل هذه العملية، علينا اختيار إحداثيات يمكن تحديدها بسهولة. وعادة ما تكون لهذه الإحداثيات قيم صحيحة. يمكننا ملاحظة أن الإحداثي صفر، سالب ثلاثة يقع على المستقيم، وكذلك الإحداثي واحد، واحد. لا يهم أي إحداثيات نخصصها لـ ﺱ واحد، ﺹ واحد أو ﺱ اثنين، ﺹ اثنين. لذا، دعونا نفترض أن ﺱ واحد، ﺹ واحد هما الإحداثي صفر، سالب ثلاثة. ومن ثم، فإن الميل سيساوي واحدًا ناقص سالب ثلاثة على واحد ناقص صفر. يمكن تبسيط هذا المقدار إلى أربعة على واحد، وهو ما يساوي أربعة. وبما أننا نعلم أن الميل ﻡ يساوي أربعة والجزء المقطوع من المحور ﺹ هو سالب ثلاثة، نحصل على معادلة الخط المستقيم ﺹ يساوي أربعة ﺱ ناقص ثلاثة.

ولكن، هذه ليست الإجابة النهائية، لأن المطلوب هو كتابة المتباينة الممثلة بالمنطقة المظللة. وعليه، بدلًا من علامة يساوي، سنحتاج إلى إحدى علامات المتباينات، أكبر من، أو أكبر من أو يساوي، أو أصغر من، أو أصغر من أو يساوي. كيف إذن نعرف أيًّا من هذه هي علامة المتباينة التي علينا اختيارها؟ حسنًا، يمكننا ملاحظة أن المستقيم المعطى خط متقطع. وهذا يعني أنها متباينة تامة. أي إنها ستكون إما أكبر من وإما أصغر من. أما المتباينات الأخرى التي تتضمن علامات يساوي فليست صحيحة.

يمكننا الآن اختبار أي المتباينتين صحيحة، عن طريق اختيار إحداثي إحدى النقاط التي تقع في المنطقة المظللة، ولا تقع على الخط. دعونا نختر، على سبيل المثال، الإحداثي ثلاثة، اثنان. عند هذا الإحداثي، قيمة ﺱ تساوي ثلاثة، وقيمة ﺹ تساوي اثنين. إذن، علينا مقارنة قيمة ﺹ، أي اثنان، بقيمة أربعة ﺱ ناقص ثلاثة، أي أربعة في ثلاثة ناقص ثلاثة. عندما نبسط الطرف الأيسر، نحصل على تسعة. ونعلم بالطبع أن اثنين أصغر من تسعة. ومن ثم، لا بد أن تكون المتباينة التي نريد تحديدها أصغر من. إذن، الإجابة هي أن المتباينة الممثلة بيانيًّا هي ﺹ أصغر من أربعة ﺱ ناقص ثلاثة.

جدير بالذكر أن كل ما لا يقع في المنطقة المظللة ولا على الخط يمثل المتباينة ﺹ أكبر من أربعة ﺱ ناقص ثلاثة. وإذا تحققنا من صحة هذا باستخدام أحد الإحداثيات، مثل الإحداثي صفر، صفر، والتعويض به في المتباينة، فسنحصل على ﺹ يساوي صفرًا وﺱ يساوي صفرًا. في الطرف الأيمن من المتباينة، سيكون لدينا صفر. وفي الطرف الأيسر، سيكون لدينا سالب ثلاثة. وبما أن هذه المنطقة تمثل ﺹ أكبر من أربعة ﺱ ناقص ثلاثة، فإن المنطقة المظللة تمثل ﺹ أصغر من أربعة ﺱ ناقص ثلاثة.

يمكننا الآن أن نتناول مثالًا أخيرًا.

حدد المتباينة التي مجموعة حلها ممثلة بالمنطقة المظللة.

مجموعة حل المتباينة هي المجموعة المكونة من جميع النقاط التي تحقق هذه المتباينة. في هذا الشكل، يتوافق هذا مع جميع النقاط في المنطقة الملونة أو المظللة. أول ما سنفعله هو تحديد معادلة هذا الخط المستقيم، وهو المستقيم الحدي بين المنطقة المظللة والمنطقة غير المظللة. أحيانًا ما نستخدم معادلة الخط المستقيم على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ لتساعدنا على فعل ذلك. ولكن، في بعض الأحيان توجد تمثيلات بيانية ليس من السهل قراءتها، وهذا أحدها. الجزء المقطوع من المحور ﺹ، أي النقطة التي يقطع فيها الخط المستقيم المحور ﺹ، ليس واضحًا تمامًا. يمكن أن يكون هذا الجزء سالب ١٫٥، ولكن لا يمكننا أن نجزم بذلك.

في مثل هذه الحالات، قد يكون من المفيد أن نتذكر صيغة الميل والنقطة لمعادلة الخط المستقيم المعطاة على الصورة ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد، حيث الإحداثيات ﺱ واحد، ﺹ واحد تمثل نقطة على الخط المستقيم. حيث تشير قيمة ﻡ إلى ميل الخط المستقيم. دعونا نحسب الميل أولًا. لحساب الميل بين إحداثيين ﺱ واحد، ﺹ واحد، وﺱ اثنين، ﺹ اثنين. نحسب ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد. عند اختيار إحداثيين للتعويض بهما في هذه الصيغة، من المفيد اختيار إحداثيات ذات قيم صحيحة. كن حذرًا عند التعامل مع هذا التمثيل البياني؛ لأن الخطوط الرئيسية للشبكة الأكبر تمثل وحدتين على المحورين ﺱ وﺹ. في حين تمثل الخطوط الوسطية، المربعات الأصغر، نصف المسافة.

أحد الإحداثيات التي يمكننا اختيارها الإحداثي سالب ثلاثة، سالب ستة. ثمة إحداثي آخر وهو واحد، صفر. يمكننا اختيار الإحداثي واحد، صفر لنحصل على قيمتي ﺱ واحد، ﺹ واحد، والإحداثي سالب ثلاثة، سالب ستة مع قيمتي ﺱ اثنين وﺹ اثنين. ومن ثم، يمكن إيجاد ميل هذا الخط بحساب سالب ستة ناقص صفر على سالب ثلاثة ناقص واحد. عندما نبسط هذا المقدار، نحصل على سالب ستة على سالب أربعة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ثلاثة على اثنين. إذن، ميل الخط المستقيم ﻡ يساوي ثلاثة على اثنين.

يمكننا التعويض بهذه القيمة في صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم، إلى جانب أي إحداثيات تقع على الخط المستقيم. يمكننا استخدام الإحداثي نفسه، واحد، صفر، في هذه المعادلة. وهذا سيعطينا ﺹ ناقص صفر يساوي ثلاثة على اثنين في ﺱ ناقص واحد. إذا أردنا تبسيط هذه المعادلة أكثر من ذلك، يمكننا ضرب كلا طرفي المعادلة في اثنين. وهذا يعطينا اثنين ﺹ يساوي ثلاثة في ﺱ ناقص واحد. وبالتوزيع على القوسين في الطرف الأيمن، نحصل على اثنين ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ ناقص ثلاثة.

وأي من هذه المعادلات الثلاث ستكون صورة صحيحة لمعادلة الخط المستقيم. ولكن، علينا أيضًا تحديد المتباينة التي تمثلها المنطقة المظللة. دعونا نفرغ بعض المساحة للتعامل مع هذه المعادلة، اثنان ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ ناقص ثلاثة. نظرًا لأن لدينا متباينة، فهذا يعني أنه بدلًا من علامة يساوي، سيكون لدينا واحدة من العلامات التالية: أكبر من، أو أصغر من، أو أكبر من أو يساوي، أو أصغر من أو يساوي. لعلنا أن نتذكر أنه علينا التحقق مما إذا كان هذا المستقيم الحدي، أي خط المعادلة، متقطعًا أو متصلًا. وبما أن الخط المستقيم هنا خط متقطع، فهذا يعني أن لدينا متباينة تامة. وستكون إما أكبر من أو أصغر من، لكنها لن تكون أيًّا من المتباينات التي تتضمن علامة يساوي.

لتحديد المتباينة التي علينا اختيارها من بين هاتين المتباينتين، يمكننا التحقق من إحداثي يقع في المنطقة الممثلة. يمكننا اختيار أي إحداثي يقع داخل هذه المنطقة، ولكن دعونا نختر إحداثيًّا سهلًا. يقع الإحداثي صفر، صفر في المنطقة المظللة. تذكر أن هذا يعني أن قيمة ﺱ تساوي صفرًا وقيمة ﺹ تساوي صفرًا. دعونا نعوض إذن بهاتين القيمتين. هذا يعني أننا سنقارن اثنين في صفر بثلاثة في صفر ناقص ثلاثة. عندما نبسط هذا، سنقارن صفر بسالب ثلاثة. ما المتباينة التي سنختارها هنا؟ حسنًا، صفر أكبر من سالب ثلاثة. هذا يعني أن المتباينة التي تمثل المنطقة لا بد أن تكون اثنين ﺹ أكبر من ثلاثة ﺱ ناقص ثلاثة.

جدير بالذكر أنه يوجد العديد من الصور المختلفة التي يمكننا أن نعبر بها عن هذه المتباينة. على سبيل المثال، كان بإمكاننا طرح ثلاثة ﺱ من كلا طرفي هذه المتباينة. أو كان بإمكاننا وضع الحدود الثلاثة جميعها في أحد طرفي المتباينة. وأي صور بديلة لذلك مقبولة أيضًا، بشرط إجراء الخطوات الصحيحة عند إعادة الترتيب. إذن، يمكننا الإجابة على هذا المثال بأن المتباينة الممثلة بالمنطقة المظللة هي اثنان ﺹ ناقص ثلاثة ﺱ أكبر من سالب ثلاثة.

يمكننا الآن تلخيص بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. أولًا، رأينا أنه يمكن تمثيل حلول المتباينات الخطية في متغيرين بيانيًّا. بعد ذلك، لتحديد المتباينة الممثلة بيانيًّا، علينا أولًا تحديد معادلة المستقيم الحدي باستخدام صيغة الميل ونقطة أو صيغة الميل والمقطع لمعادلة الخط المستقيم. المستقيمات الحدية للمتباينات التامة تمثلها خطوط متقطعة أو منقطة. والمتباينات الضعيفة تمثلها خطوط متصلة. وأخيرًا، لتحديد علامة المتباينة، يمكننا تناول إحداثي نقطة تقع في المنطقة المظللة. وبالتعويض بهذا الإحداثي في كلا طرفي معادلة المستقيم الحدي، يمكننا تحديد أي طرف له القيمة الأكبر؛ ومن ثم علامة المتباينة المطلوبة.