فيديو السؤال: استخدام سرعة محرك وقدرته لإيجاد مقدار المقاومة عند سرعة معينة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

طائرة تبلغ قدرة محركها ٤٢٠ حصانًا متريًّا. تحلق الطائرة ضد تأثير مقاومة الهواء التي يتناسب مقدارها مع مربع سرعتها. إذا كانت أقصى سرعة للطائرة ٤٤١ كيلومترًا لكل ساعة، فأوجد مقدار مقاومة الهواء عندما تصل سرعتها إلى ٢٩٤ كيلومترًا لكل ساعة.

حسنًا، في هذا السؤال، لدينا طائرة تبلغ قدرة محركها ٤٢٠ حصانًا متريًّا. ونعلم أن أقصى سرعة لها تساوي ٤٤١ كيلومترًا لكل ساعة. سنتناول ذلك أولًا لأننا في الواقع سنفترض أن الطائرة تتحرك فعليًّا بأقصى سرعة لها. وسيكون لدينا أيضًا قوة، وهذه القوة ستكون في اتجاه الحركة، إذن فهي قوة محركة للطائرة.

لكن ما نعرفه عن هذه القوة إذا نظرنا إلى النقطة التي تتحرك عندها الطائرة بأقصى سرعتها، هو أن هذه القوة تساوي مقاومة الهواء أو القوة المقاومة، التي رمزنا إليها بالرمز ﺡﻙ. وذلك لأنه لا توجد عجلة. ونعرف ذلك من قانون نيوتن الأول الذي ينص على أن الجسم يظل في الحالة نفسها ما لم تؤثر عليه قوة محصلة. وبناء على ذلك، يجب أن تساوي القوة المحصلة صفرًا، إذن يجب أن تكون القوتان متساويتين. حسنًا، ما يمكننا فعله هو استخدام صيغة القدرة، وهي: القدرة تساوي القوة في السرعة، لمساعدتنا في حساب القوة، ومن ثم نحسب مقاومة الهواء. لكن ما يمكننا فعله هو إعادة ترتيب الصيغة. نحصل على: القوة تساوي القدرة على السرعة.

حسنًا، قد نقول: «عظيم إذن. كل ما علينا فعله هو التعويض بالقيم التي لدينا لأن لدينا قيمة كل من القدرة والسرعة القصوى». ولكن هذا لا ينطبق هنا؛ لأننا سنحصل حينئذ على القوة محسوبة بالحصان لكل كيلومتر لكل ساعة، وهي ليست الوحدات التي نبحث عنها. لذا، في البداية، علينا التحويل إلى الوحدات الأساسية للنظام الدولي. حسنًا، إذا نظرنا إلى القدرة أولًا، فإننا نعلم أن الحصان المتري الواحد يساوي ٧٣٥ وات. إذن، القدرة تساوي ٤٢٠ مضروبًا في ٧٣٥ وات، وهو ما يعطينا ٣٠٨٧٠٠ وات.

إذا انتقلنا إلى السرعة، فسنجد أن التحويل الذي لدينا هو أن الكيلومتر لكل ساعة يساوي واحدًا على ٣٫٦ متر لكل ثانية. وعليه، فإن السرعة تساوي ٤٤١ مضروبًا في واحد على ٣٫٦ متر لكل ثانية، وهو ما يساوي ٤٤١ مقسومًا على ٣٫٦ متر لكل ثانية؛ أي ما يساوي ١٢٢٫٥ مترًا لكل ثانية. رائع. لقد حصلنا على القدرة والسرعة بالوحدات الصحيحة. دعونا نستخدم إذن صيغتنا لإيجاد القوة.

إن القوة تساوي القدرة على السرعة. إذن، فهي تساوي ٣٠٨٧٠٠ على ١٢٢٫٥. وهذا يساوي ٢٥٢٠، والوحدة هنا هي النيوتن. رائع. لقد أوجدنا القوة عند أقصى سرعة للطائرة. لكن، ماذا نريد أن نفعل الآن؟ نريد إيجاد مقدار مقاومة الهواء عندما تصل سرعة الطائرة إلى ٢٩٤ كيلومترًا لكل ساعة. ولكن كيف نفعل ذلك؟ حسنًا، دعونا نفرغ بعض المساحة ونحل الجزء التالي من السؤال.

لعلنا نسترجع أننا ذكرنا أن مقاومة الهواء تساوي القوة عند السرعة القصوى. لذلك، يمكننا القول إن مقاومة الهواء تساوي ٢٥٢٠ نيوتن عند ١٢٢٫٥ مترًا لكل ثانية. وذلك لأن هذه كانت السرعة بعد تحويلها إلى متر لكل ثانية. حسنًا، ماذا نريد أن نفعل الآن؟ كما ذكرنا، نريد إيجاد مقدار مقاومة الهواء عندما تصل السرعة إلى ٢٩٤ كيلومترًا لكل ساعة. لذا، سيتحول ذلك في الواقع إلى مسألة تناسب. وذلك لأننا علمنا من السؤال أن مقدار مقاومة الهواء يتناسب مع مربع السرعة.

إذن ما يمكننا فعله هو تكوين معادلة. وهي: 𝐹R يساوي ﺃﻉ تربيع. حسنًا، لدينا هنا ﻉ تربيع. وهو مربع السرعة لدينا. ولدينا أيضًا مقاومة الهواء. ولكن يوجد أيضًا ﺃ، فما هو؟ حسنًا، لعلنا نتذكر أن هذا هو ثابت التناسب. وما نريد فعله هو إيجاد قيمته؛ لأن هذا سيسمح لنا بعد ذلك بإيجاد مقدار مقاومة الهواء عندما تصل السرعة إلى ٢٩٤ كيلومترًا لكل ساعة. لكن كيف نفعل ذلك؟ يمكننا فعل ذلك لأن لدينا معطيين يمكننا وضعهما في هذه الصيغة. وهذا لأننا نعلم أن ٢٥٢٠، وهو مقاومة الهواء، يساوي ﺃ مضروبًا في مربع السرعة؛ أي ١٢٢٫٥ تربيع. ومن ثم، إذا أعدنا ترتيب ذلك فسنحصل على ثابت التناسب؛ لأن ﺃ يساوي ٢٥٢٠ على ١٢٢٫٥ تربيع.

يمكننا الآن حساب قيمة ذلك، لكن ما سنفعله هو أن نتركه على هذه الصورة للحفاظ على دقة بقية العمليات الحسابية. والآن، لنعوض بهذه القيمة في صيغتنا لتكوين صيغة جديدة لمقاومة الهواء. وهي أن مقاومة الهواء تساوي ٢٥٢٠ على ١٢٢٫٥ تربيع مضروبًا في مربع السرعة. حسنًا، «قد نفكر في التعويض بالقيم التي لدينا الآن وإيجاد قيمة مقاومة الهواء عندما تصل السرعة إلى ٢٩٤ كيلومترًا لكل ساعة». ولكن مرة أخرى، علينا أن نتذكر التحويل إلى الوحدات الأساسية للنظام الدولي، لذا سنستخدم أحد عوامل التحويل مرة أخرى. وهو أن الكيلومتر لكل ساعة يساوي واحدًا على ٣٫٦ متر لكل ثانية.

إذن، السرعة تساوي ٢٩٤ مضروبًا في واحد على ٣٫٦ متر لكل ثانية، وهو ما يساوي ٨١ وثلثي متر لكل ثانية. سنحتفظ به في صورة كسر للحفاظ على الدقة فقط. إذن، مقاومة الهواء تساوي ٢٥٢٠ على ١٢٢٫٥ تربيع مضروبًا في ٨١ وثلثين تربيع. وهذا يعطينا الإجابة النهائية لمقدار مقاومة الهواء عندما تصل السرعة إلى ٢٩٤ كيلومترًا لكل ساعة؛ وهو ١١٢٠ نيوتن.