نسخة الفيديو النصية
قام باسم برحلة استغرقت ٦٠ دقيقة إلى المدينة. يوضح التمثيل البياني المسافة التي ابتعدها عن منزله خلال رحلته. توقف باسم عند متجرين. في أي وقتين كان ذلك التوقف؟ عند نقطة ما، غير اتجاهه دون توقف في بادئ الأمر. متى كان ذلك؟ الجزء الثالث من هذا السؤال هو: متى بدأ الحركة في اتجاه منزله؟
يوجد جزء آخر لهذا السؤال، سنتناوله بعد قليل. حسنًا، لدينا هنا تمثيل بياني للمسافة التي ابتعدها باسم عن منزله عند زمن معين. التمثيل البياني لا يوضح المسافة الكلية المقطوعة. بعبارة أخرى، إنه يوضح إزاحة باسم. إنها المسافة التي ابتعدها عن نقطة ثابتة، وهي في هذه الحالة منزله. ومن ثم، هناك عدة أمور يمكننا استنتاجها من منحنى الإزاحة-الزمن.
إننا نريد أولًا إيجاد النقاط التي توقف عندها عند المتجرين. لذا، دعونا نسترجع أن المقاطع الأفقية من التمثيل البياني — أي الأجزاء المستقيمة منه — تمثل سرعة متجهة قيمتها صفر. بعبارة أخرى، باسم لا يتحرك، أي إن سرعته المتجهة تساوي صفرًا، وذلك عندما تكون ممثلة بمقاطع أفقية على منحنى الإزاحة-الزمن. إذا نظرنا جيدًا إلى التمثيل البياني، فسنجد أن هذا موجود في هذا الجزء هنا وفي الأعلى هنا. وبرسم خطوط متقطعة رأسية كما هو موضح، سنتمكن من تحديد قيم ﻥ من التمثيل البياني. لكننا يجب أن ننتبه قليلًا عند التعامل مع المقياس لدينا.
نلاحظ على المقياس الأفقي أن خمسة مربعات صغيرة تمثل ١٠ وحدات زمنية. في الواقع، لقد علمنا من المعطيات أن الرحلة استغرقت ٦٠ دقيقة. إذن، خمسة مربعات صغيرة تمثل ١٠ دقائق. إذا قسمنا الطرفين على خمسة، فسنجد أن المربع الصغير الواحد يمثل دقيقتين. وعليه، فإن هذا الخط المتقطع الأول، الذي يقع بعد العدد ١٠ بثلاثة مربعات صغيرة، يمثل ١٦ دقيقة. وهذا الخط يقع بعد العدد ٢٠ بثلاثة مربعات صغيرة، إذن فهو يمثل ٢٦ دقيقة. وهذا الخط الثالث يقع بعد مربعين صغيرين من العدد ٤٠، لذا فهو يمثل ٤٤ دقيقة. ويقع هذا الخط المتقطع الأخير قبل العدد ٥٠ بنصف مربع، لذا فهو يمثل ٤٩ دقيقة.
دعونا نستخدم ترميز المتباينة لتمثيل ذلك. نلاحظ أن باسم قد توقف في الدقيقتين ١٦ و٢٦ وفي الفترة بينهما، وكذلك في الدقيقتين ٤٤ و٤٩ وفي الفترة بينهما أيضًا. وفي ترميز المتباينة، نلاحظ أن ﻥ أكبر من أو يساوي ١٦ وأقل من أو يساوي ٢٦، وﻥ أكبر من أو يساوي ٤٤ وأقل من أو يساوي ٤٩.
الجزء الثاني من السؤال يوضح أن باسم يغير اتجاهه عند نقطة معينة دون أن يتوقف أولًا. هنا بينما يتحرك باسم بعيدًا عن منزله، فإن المنحنى يتجه لأعلى. وبينما يعود إلى منزله، فلا بد أن ينحدر المنحنى لأسفل. وعليه، يظهر تغير في الاتجاه على التمثيل البياني بتغير إشارة الميل. حسنًا، يمكن إيجاد ميل المنحنى بإيجاد ميل المماس عند تلك النقطة. يمكننا ملاحظة أن إشارة الميل تتغير هنا. إنها تتحول من سالب إلى موجب، ومن ثم سنرسم خطًّا رأسيًّا خامسًا. نلاحظ أن هذا الخط الرأسي يقع عند ﻥ يساوي ٣٢. إذن، يغير باسم الاتجاه دون أن يتوقف أولًا عند الدقيقة ٣٢ أو عند ﻥ يساوي ٣٢.
حسنًا، سيساعدنا ذلك في الإجابة عن الجزء الثالث من السؤال. إننا نريد إيجاد الأزمنة التي كان يتحرك خلالها في اتجاه منزله؛ أي الأزمنة التي يكون الميل عندها سالبًا. دعونا نلق نظرة على النقاط التي يحدث عندها ذلك على التمثيل البياني. نلاحظ أن هذا يحدث هنا وأيضًا في هذا المقطع من التمثيل البياني. أما جميع المقاطع الأخرى في التمثيل البياني، فهي إما لها ميل موجب وإما أنها هذه المقاطع المستقيمة التي ميلها يساوي صفرًا.
يتحرك باسم في اتجاه منزله في الدقيقتين ٢٦ و٣٢ وفي الفترة بينهما، وكذلك في الدقيقتين ٤٩ و٦٠ وفي الفترة بينهما. باستخدام ترميز المتباينة، نكتب ﻥ أكبر من أو يساوي ٢٦ وأقل من أو يساوي ٣٢. وﻥ أكبر من أو يساوي ٤٩ وأقل من أو يساوي ٦٠.
دعونا نفرغ بعض المساحة ونتناول الجزء الأخير من هذا السؤال.
في أي دقيقة كانت حركته أسرع ما تكون؟
لقد استنبطنا إجابة هذا السؤال نوعًا ما، لكن دعونا نسترجع هذه القاعدة والتي توضح أن «الميل عند نقطة على منحنى المسافة-الزمن أو الإزاحة-الزمن يعطينا السرعة المتجهة عند تلك النقطة. «وبهذا، يصبح السؤال الحقيقي هو: عند أي نقطة يصل مماس المنحنى إلى أقصى انحدار؟» إذا حاولنا تحديد ذلك بالنظر، فسنجد أنه يقع في أحد هذين الموضعين، وبرسم هذين المماسين، نلاحظ أنهما خطان شديدا الانحدار. في الواقع، نستطيع ملاحظة أي خط منهما الأكثر انحدارًا، لكن دعونا نجر بعض العمليات الحسابية للتأكد.
سنسترجع هنا الصيغة التي تساعدنا في حساب ميل الخط المستقيم؛ وهي التغير في ﺹ مقسومًا على التغير في ﺱ. وهو في الحالة لدينا، يساوي التغير في ﻑ مقسومًا على التغير في ﻥ. ربما تكون قد لاحظت أن هذه الصيغة على الصورة فرق الصادات مقسومًا على فرق السينات. دعونا نبدأ بإيجاد الميل عند ﻥ يساوي ثمانية. سنضيف إلى المماس خطًّا مستقيمًا أفقيًّا وآخر رأسيًّا. يمكننا رسمهما عند أي نقطة، لكن من المنطقي أن نمدهما قدر الإمكان. وهذا سيعطينا النتيجة الأكثر دقة.
مقياس محور المسافة يماثل مقياس محور الزمن تقريبًا. لكن في هذه الحالة، المربع الواحد يساوي وحدتي مسافة. وهذه الوحدات يمكن أن تكون كيلومترات أو أميالًا، على سبيل المثال. نلاحظ أن التغير في المسافة، أي طول هذا الخط، يساوي ٣٢ وحدة مسافة. والتغير في ﻥ يساوي ١٦، أو ١٦ دقيقة. هذا يعني أن ميل هذا المماس الأول يساوي ٣٢ مقسومًا على ١٦، أي يساوي اثنين. إذن السرعة المتجهة، التي قد تكون بالكيلومترات لكل دقيقة أو بالأمتار لكل دقيقة على سبيل المثال، تساوي اثنين.
دعونا نكرر هذه العملية مع المماس الثاني. هذا المماس مرسوم عند ﻥ يساوي ٥٥، أو ٥٥ دقيقة. هذه المرة، التغير في ﻑ يساوي ٣٠. والتغير في ﻥ يساوي اثنين فقط. وبما أن هذا المماس يميل لأسفل بالطبع، يمكننا قول إن التغير في المسافة أو الإزاحة سالب. إذن، الميل يساوي سالب ٣٠ مقسومًا على اثنين، وهو ما يساوي سالب ١٥. حسنًا، كل ما علينا فعله الآن هو تحديد المماس الأكثر انحدارًا منهما. سنتناول إذن مقدار ميل كل منهما، والذي يوضح لنا بالطبع مقدار السرعة المتجهة أو السرعة لكل منهما. نحن نعلم أن ١٥ أكبر من اثنين.
يمكننا إذن قول إن مقدار السرعة المتجهة لباسم، أي سرعته، يكون أكبر عند ﻥ يساوي ٥٥ منه عند ﻥ يساوي ثمانية. وبذلك، نكون قد أجبنا عن الجزء الأخير من هذا السؤال. كان باسم يتحرك أسرع ما يكون عند ﻥ يساوي ٥٥.
