تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: حساب السرعة المتجهة اللحظية باستخدام النهايات

سوزان فائق

يوضح الفيديو كيفية حساب السرعة المتجهة اللحظية باستخدام النهايات في حالة حسابها عند لحظة زمنية معينة أو في حالة حسابها في أي لحظة زمنية.

١١:١٥

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على السرعة المتجهة اللحظية، وإزاي نحسبها باستخدام النهايات. السرعة المتجهة اللحظية، بتساوي سرعة الجسم المتجهة عند لحظة زمنية محدّدة. ولحساب قيمة السرعة اللحظية عند لحظة زمنية محدّدة، فإننا نجد معدل التغير اللحظي لمنحنى د ن عند تلك اللحظة.

السرعة المتجهة السرعة اللي لها اتجاه. يعني عارفين البداية وعارفين النهاية. رايحين إلى الأمام ولّا الخلف، إلى أعلى ولّا إلى أسفل. إلى أعلى وإلى الأمام ده بتبقى إشارة السرعة موجبة. إلى الخلف أو إلى الأسفل بتبقى إشارة السرعة سالبة. فبالتالي دي بتبقى اسمها السرعة المتجهة. بتيجي من إن إحنا نجيب السرعة المتوسطة، اللي هي بتبقى قيمة التغير في المسافة، على التغير في الزمن. وبنعمل حسابنا في الاتجاه؛ عشان نعرف إذا كانت موجبة أو سالبة، إلى الأمام أو إلى الخلف. اللحظية بيبقى مقصود بيها إن إحنا عند لحظة زمنية محدّدة.

إذا كان موقع جسم متحرّك دالة في الزمن د ن، فإن السرعة المتجهة اللحظية ع ن لذلك الجسم عند الزمن ن، بتساوي نهاية الدالة ن زائد ﻫ ناقص د ن على الـ ﻫ، لمَّا الـ ﻫ تئول للصفر. بشرط أن هذه النهاية تكون موجودة. القيمة دي هي معادلة ميل المماس لدالة دن، لمَّا الـ ﻫ تئول للصفر؛ لأنها كانت قيمتها الأول اللي هو ميل القاطع د ن زائد ﻫ ناقص د ن، على الـ ﻫ اللي هو الفرق ما بين الاتنين. ده ميل القاطع، ولمَّا بنقرّب النقطتين دول من بعض؛ بحيث إن ن زائد ﻫ وَ ن بيقربوا من بعض أوي لمَّا الـ ﻫ تئول للصفر، بينطبقوا فبيبقى الميل القاطع كان عند نقطة لنقطة. بدل ما كان بيبقى قاطع بيقعد أقرب لغاية ما يوصل لمماس. فبيبقى ده لمَّا تكون نهاية الدالة دي لمَّا الـ ﻫ تئول للصفر. بنوصل هنا للمماس. وده اللي بيوضح لنا معدل التغير اللحظي لمنحنى الدالة عند تلك النقطة، اللي هو القيمة دي اللي معناها إن هي دي قيمة السرعة المتجهة اللحظية.

نقلب الصفحة وناخد مثال: سقطت كرة من قمة مبنى ارتفاعه ستمية وعشرة متر. وتمثّل الدالة د ن تساوي ستمية وعشرة ناقص أربعة وتمنية وتمانين من مية ن تربيع ارتفاع الكرة عن سطح الأرض بالأمتار، بعد ن ثانية. اوجد السرعة المتجهة ع ن للكرة بعد خمس ثواني.

القانون اللي هنحسب بيه السرعة المتجهة، اللي هو ع ن هيساوي نهاية د ن زائد الـ ﻫ ناقص الـ دن، على الـ ﻫ، لمَّا الـ ﻫ تئول للصفر.

في المسألة هنا حدّد لنا بعد خمس ثواني؛ يعني هنجيب السرعة المتجهة اللحظية عند لحظة زمنية معينة. يبقى الـ ن هتساوي خمسة. يبقى هنعوّض هنا، هتبقى نهاية د … الـ ﻫ مجهولة اللي هي بعد كده هنجيبلها النهاية. يبقى ﻫ زائد خمسة ناقص د خمسة، على الـ ﻫ، لمَّا الـ ﻫ بتئول للصفر. هنعوّض في الدالة الأساسية اللي عندنا اللي هي د ن، مرة بِـ ﻫ زائد خمسة، ومرة بالخمسة. يبقى قيمة السرعة المتجهة اللي عندنا هتطلع لنا قيمة فيها ﻫ. وبعد كده هنجيب النهاية الـ ﻫ لمَّا تئول للصفر. هيطلع ع عند الثانية خمسة فيها قيمة السرعة والاتجاه. الاتجاه اللي هو بتحدّده الإشارة. يبقى هنعوّض يبقى نهاية د ﻫ زائد خمسة. يبقى ستمية وعشرة ناقص أربعة وتمنية وتمانين. الـ ن هنشيلها ونحط ﻫ زائد خمسة الكل تربيع. ناقص ستمية وعشرة ناقص أربعة وتمنية وتمانين من مية … في ن تربيع هنشيلها ونحط خمسة، على الـ ﻫ، لمَّا الـ ﻫ تئول للصفر.

هنبسّط البسط. طبعًا هنا فيه إشارة سالبة، لمَّا هتضرب في القوس ده هتخليها سالب ستمية وعشرة. وهنا ناقص في ناقص هتبقى زائد. يبقى زائد أربعة وتمنية وتمانين في خمسة تربيع. يعني ما ننساش توزيع الإشارات السالبة على اللي جوّه القوس.

يبقى كده السرعة المتجهة اللحظية هتساوي نهاية لمَّا الـ ﻫ تئول للصفر. هنختصر هنا ستمية وعشرة مع الستمية وعشرة، واحدة بالسالب وواحدة بالموجب. لمَّا هنفك القوس ﻫ زائد خمسة الكل تربيع، يبقى سالب أربعة وتمنية وتمانين، مضروبة في ﻫ تربيع زائد عشرة ﻫ زائد خمسة وعشرين، زائد أربعة وتمنية وتمانين من مية في خمسة وعشرين؛ على الـ ﻫ. لمَّا هنضرب سالب أربعة وتمنية وتمانين من مية في الخمسة وعشرين دي، هنختصرها مع دي. يبقى هيتبقّى عندنا … يبقى هيتبقّى عندنا ناقص أربعة وتمنية وتمانين في الـ ﻫ تربيع، ناقص تمنية وأربعين وتمنية من عشرة ﻫ؛ على الـ ﻫ. الكلام ده كله بنجيب له النهاية لمَّا الـ ﻫ تئول للصفر.

لمَّا هنحلل البسط هناخد الـ ﻫ مشترك. هيتبقّى عندنا سالب أربعة وتمنية وتمانين من مية في ﻫ، ناقص تمنية وأربعين وتمنية من عشرة؛ الكلام ده كله هيتضرب في الـ ﻫ على ﻫ. وهنجيب النهاية لمَّا الـ ﻫ تئول للصفر. هنختصر الـ ﻫ مع الـ ﻫ، وبعد كده هنعوّض تعويض مباشر لإيجاد النهاية. لمَّا الـ ﻫ تئول للصفر، يبقى معناها إن القيمة دي هتبقى صفر. يبقى هيتبقّى عندنا سالب تمنية وأربعين وتمنية من عشرة متر في الثانية. يبقى كده سرعة الكرة بعد خمس ثواني هو سالب تمنية وأربعين وتمنية من عشرة متر في الثانية. يعني معناها إنها … السالب دي معناها إنها هتنزل إلى أسفل بسرعة تمنية وأربعين وتمنية من عشرة متر لكل ثانية. هنا طلع لنا السرعة المتجهة عند لحظة زمنية معينة. وبتبقى رقم. طيب لو عايزين نحسب السرعة المتجهة اللحظية عند أي لحظة، يبقى هيطلع لنا دالة، والمجهول فيها هو قيمة اللحظة.

نقلب الصفحة وناخد مثال: المسافة التي يقطعها جسم بالسنتيمترات بعد ن ثانية هي س ن تساوي تمنتاشر ن ناقص تلاتة ن تكعيب ناقص الواحد. اوجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية ع ن للجسم.

هنا بيطلب منّنا السرعة المتجهة اللحظية عند أي لحظة زمنية. لأنه هنا طلب معادلة. معادلة السرعة المتجهة اللحظية. يبقى معناها إنها هتبقى دالة في الـ ن. أول حاجة هنكتب الصيغة اللي بنحسب بيها السرعة المتجهة اللحظية. يبقى السرعة المتجهة اللحظية ع ن بتساوي نهاية س ن زائد ﻫ ناقص س ن، على الـ ﻫ، لمَّا الـ ﻫ تئول للصفر. يبقى هنعوّض في المعادلة بتاعة المسافة بِـ ن زائد الـ ﻫ مرة. ومرة بالـ ن. يبقى السرعة المتجهة اللحظية هتساوي س ن زائد ﻫ؛ يعني تمنتاشر ن زائد الـ ﻫ، ناقص تلاتة ن زائد الـ ﻫ الكل تكعيب، ناقص الواحد. وهنطرح منهم س ن اللي هو تمنتاشر ن ناقص تلاتة ن تكعيب ناقص الواحد. وهنقسم على الـ ﻫ. وهنجيب النهاية لمَّا الـ ﻫ تئول للصفر.

طبعًا هنا ناخد بالنا إن إحنا هنوزّع الإشارة دي على القوس ده. وهنوزع التمنتاشر على ن زائد الـ ﻫ. وهنفك قوس ن زائد ﻫ الكل تكعيب. بعد التبسيط هتبقى: تمنتاشر ﻫ، ناقص تسعة ن تربيع ﻫ، ناقص تسعة ن ﻫ تربيع، ناقص تلاتة ﻫ تكعيب؛ على الـ ﻫ. هنجيبلهم النهاية لمَّا الـ ﻫ تئول للصفر.

لو حلّلنا البسط هيبقى نهاية لمَّا الـ ﻫ تئول للصفر لتمنتاشر ناقص تسعة ن تربيع ناقص تسعة ن ﻫ ناقص تلاتة ﻫ تربيع؛ الكل ده هيبقى مضروب في الـ ﻫ. بالقسمة على الـ ﻫ بسط ومقام. بعد كده هنعوّض بالـ ﻫ تساوي صفر تعويض مباشر. يبقى الحدّ ده هيساوي صفر، والحد ده هيساوي صفر. وهيتبقّى عندنا تمنتاشر ناقص تسعة ن تربيع. يبقى ع ن بتساوي تمنتاشر ناقص تسعة ن تربيع. يبقى دي معادلة السرعة المتجهة اللحظية ع ن للجسم، عند أي لحظة يمكن حساب قيمة السرعة.

اتكلمنا في الفيديو ده عن السرعة المتجهة اللحظية؛ يعني إيه، وإزاي نحسب قيمتها باستخدام النهاية. وإزاي هنعرف نجيب السرعة المتجهة اللحظية عند لحظة زمنية معينة، أو عند أي لحظة زمنية.