تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: استخدام قانون الجيب لحل مثلث بمعلومية قياسَي زاويتين وطول أحد أضلاعه

أحمد لطفي

إذا كان ق∠ﺃ = ٤٠°‎، ﺃ′ = ١٧ سم، ﺏ′ = ٢٣ سم، فأوجد جميع الحلول الممكنة للمثلث ﺃﺏﺟ مقربًا قياسات زاوياه لأقرب ثانية وأطوال أضلاعه لأقرب جزء من مائة إذا كان موجودًا.

٠٩:١٣

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان قياس الزاوية أ بتساوي أربعين درجة، و أ شرطة بتساوي سبعتاشر سنتيمتر، و ب شرطة بتساوي تلاتة وعشرين سنتيمتر؛ فاوجد جميع الحلول الممكنة للمثلث أ ب ج، مقربًا قياسات زاوياه لأقرب ثانية، وأطوال أضلاعه لأقرب جزء من مائة إذا كان موجود.

في البداية هنفتكر قاعدة الجيب، قاعدة الجيب كانت على الصورة دي: أ شرطة على جا أ بتساوي ب شرطة على جا ب بتساوي ج شرطة على جا ج. محتاجين الأول نشوف إذا كان المثلث هيكون موجود ولا لأ. وبما إن مُعطى عندنا ضلعين، ومُعطى زاوية غير محصورة بينهم، اللي هي الزاوية أ، والزاوية أ هي زاوية حادة؛ وبالتالي محتاجين نقارن أ شرطة بارتفاع المثلث اللي بيعطى بالعلاقة: ل بتساوي ب شرطة جا أ.

عندنا أ شرطة بتساوي سبعتاشر سنتيمتر، محتاجين نحسب ارتفاع المثلث ل، فـ ل هتساوي … هنعوّض عن ب شرطة بتلاتة وعشرين سنتيمتر، فهيكون عندنا تلاتة وعشرين جا … هنعوّض عن أ بأربعين درجة؛ فتلاتة وعشرين جا أربعين درجة، يعني ل تقريبًا هتساوي أربعتاشر وتمنية وسبعين من مية.

عندنا أربع احتمالات للعلاقة بين أ شرطة و ل: أول احتمال إذا كان أ شرطة أصغر من ل، فإنه لا توجد مثلثات تحقق الشروط؛ تاني احتمال إذا كان أ شرطة بتساوي ل، فإنه يوجد مثلث واحد يحقق الشروط؛ وتالت احتمال إذا كان أ شرطة أكبر من ل، فإنه يوجد مثلثان يحققان الشروط.

وبما إن أ شرطة بيساوي سبعتاشر سنتيمتر، و ل بتساوي تقريبًا أربعتاشر وتمنية وسبعين من مية، فهنجد إن أ شرطة أكبر من ل، وبالتالي هيكون عندنا مثلثان محتملان يحققان الشروط الممثلة بالحلين الحاد والمنفرج لجيب الزاوية؛ وبالتالي بما إن مُعطى عندنا قياس الزاوية أ، هنوجد قياس الزاوية ب، وهيكون عندنا احتمالين لقياس الزاوية ب: أول احتمال لما تكون الزاوية ب هي زاوية حادة، وتاني احتمال لما تكون الزاوية ب هي زاوية منفرجة. وبالتالي عشان نقدر نوجد قياس الزاوية ب، هنطبق قاعدة الجيب، فهيكون عندنا أ شرطة على جا أ بيساوي ب شرطة على جا ب. لو عايزين نوجد جا ب في طرف لوحدها، فهيكون عندنا جا ب هتساوي ب شرطة في جا أ الكل مقسوم على أ شرطة. وبالتعويض، فـ جا ب هتساوي … هنعوّض عن ب شرطة بتلاتة وعشرين، في جا … هنعوّض عن أ بأربعين درجة، الكل مقسوم على أ شرطة، هنعوّض عنها بسبعتاشر.

وبما إن جا ب موجب، فـ جا بتكون موجب في الربع الأول والثاني. فبالنسبة للربع الأول ب هتساوي ستين علامة عشرية أربعة واحد تمنية أربعة تلاتة ستة ستة واحد. ولو عايزين نوجد قيمة ب في الربع الثاني، فـ ب هتساوي مية وتمانين ناقص ستين علامة عشرية أربعة واحد تمنية أربعة تلاتة ستة ستة واحد؛ يعني ب هتساوي مية وتسعتاشر علامة عشرية خمسة تمنية واحد خمسة ستة تلاتة أربعة.

يبقى كده عندنا قيمتين لـ ب؛ وبالتالي هنستخدم أول قيمة فيهم، اللي هي ستين علامة عشرية أربعة واحد تمنية أربعة تلاتة ستة ستة واحد، عشان نقدر نوجد جميع الحلول الممكنة للمثلث، وهنستخدم القيمة التانية لـ ب، اللي هي مية وتسعتاشر علامة عشرية خمسة تمنية واحد خمسة ستة تلاتة أربعة، ونوجد جميع القيم الممكنة للمثلث.

وبالتالي بالنسبة للحل الأول لمّا ب تكون بتساوي ستين علامة عشرية أربعة واحد تمنية أربعة تلاتة ستة ستة واحد، قياس زاوية ب هتساوي ستين درجة خمسة وعشرين دقيقة وست ثواني. وهنلاحظ إن مُعطى قياس الزاوية أ بتساوي أربعين درجة، يبقى محتاجين نوجد قياس الزاوية ج. يبقى قياس الزاوية ج هتساوي مية وتمانين درجة ناقص قياس الزاوية أ ناقص قياس الزاوية ب، يعني قياس الزاوية ج هتساوي مية وتمانين درجة ناقص أربعين درجة ناقص ستين علامة عشرية أربعة واحد تمنية أربعة تلاتة ستة ستة واحد درجة؛ يعني قياس الزاوية ج هتساوي تسعة وسبعين علامة عشرية خمسة تمنية واحد خمسة ستة تلاتة تلاتة تسعة درجة. يعني لو عايزين نكتب قياس الزاوية ج في صورة درجات ودقايق وثواني، فهتكون قياس الزاوية ج بتساوي تسعة وسبعين درجة أربعة وتلاتين دقيقة أربعة وخمسين ثانية.

يبقى كده قدرنا نوجد جميع زوايا المثلث في الحل الأول. لو عايزين نوجد جميع أطوال أضلاع المثلث، هنلاحظ إن مُعطى طول ضلعين، فمحتاجين نوجد طول الضلع التالت. فباستخدام قاعدة الجيب، هيكون عندنا ج شرطة على جا ج بتساوي أ شرطة على جا أ. لو عايزين نوجد ج شرطة في طرف لوحدها، فهيكون عندنا ج شرطة بتساوي أ شرطة في جا ج الكل مقسوم على جا أ. بالتعويض، فـ ج شرطة هتساوي … هنعوّض عن أ شرطة بسبعتاشر، فهيكون عندنا سبعتاشر، مضروب في جا ج، هنعوّض عن ج بتسعة وسبعين علامة عشرية خمسة تمنية واحد خمسة ستة تلاتة تلاتة تسعة درجة، الكل مقسوم على جا أربعين درجة؛ يعني ج شرطة تقريبًا هتساوي ستة وعشرين وواحد من مية سنتيمتر مقربة لأقرب جزء من مائة. يبقى كده قدرنا نوجد جميع الزوايا وجميع أطوال أضلاع المثلث بالنسبة للحل الأول.

لو عايزين نشوف بالنسبة للحل التاني عند ب بتساوي مية وتسعتاشر علامة عشرية خمسة تمنية واحد خمسة ستة تلاتة أربعة، لو عايزين نوجد قياس الزاوية ب بالدرجات والدقايق والثواني، فقياس الزاوية ب هتكون بتساوي مية وتسعتاشر درجة أربعة وتلاتين دقيقة أربعة وخمسين ثانية. وبما إن مُعطى قياس الزاوية أ، يبقى محتاجين نوجد قياس الزاوية ج. فقياس الزاوية ج هتساوي مية وتمانين درجة ناقص قياس الزاوية أ ناقص قياس الزاوية ب، يعني قياس الزاوية ج هتساوي مية وتمانين درجة ناقص أربعين درجة ناقص مية وتسعتاشر علامة عشرية خمسة تمنية واحد خمسة ستة تلاتة أربعة درجة؛ بالتالي قياس الزاوية ج هتساوي عشرين علامة عشرية أربعة واحد تمنية أربعة تلاتة ستة ستة درجة. لو عايزين نكتب قياس الزاوية ج في صورة درجات ودقايق وثواني، فقياس الزاوية ج هتساوي عشرين درجة وخمسة وعشرين دقيقة وست ثواني. ويبقى كده قدرنا نوجد جميع زوايا المثلث في الحل التاني.

لو عايزين نوجد جميع أطوال أضلاع المثلث في الحل التاني، فبما إن مُعطى طول ضلعين، فمحتاجين نوجد طول الضلع التالت. فباستخدام قاعدة الجيب ج شرطة على جا ج بتساوي أ شرطة على جا أ، لو عايزين نوجد ج شرطة في طرف لوحدها، فهيكون عندنا ج شرطة هتساوي أ شرطة جا ج الكل مقسوم على جا أ، يعني ج شرطة هتساوي … هنعوّض، هنعوّض عن أ شرطة بـ سبعتاشر ، فهيكون عندنا سبعتاشر في جا ج، يعني جا عشرين علامة عشرية أربعة واحد تمنية أربعة تلاتة ستة ستة درجة الكل مقسوم على جا أربعين درجة، يعني ج شرطة تقريبًا هتساوي تسعة وتلاتة وعشرين من مية سنتيمتر مقربة لأقرب جزء من مائة؛ وبالتالي هيكون عندنا الحلين: بالنسبة للحل الأول فقياس الزاوية ب بتساوي ستين درجة خمسة وعشرين دقيقة ست ثواني، وقياس الزاوية ج بتساوي تسعة وسبعين درجة أربعة وتلاتين دقيقة أربعة وخمسين ثانية، و ج شرطة تقريبًا هتساوي ستة وعشرين وواحد من مية سنتيمتر. وبالنسبة للحل التاني، فقياس الزاوية ب هتساوي مية وتسعتاشر درجة أربعة وتلاتين دقيقة أربعة وخمسين ثانية، وقياس الزاوية ج هتساوي عشرين درجة خمسة وعشرين دقيقة ست ثواني، و ج شرطة تقريبًا هتساوي تسعة وتلاتة وعشرين من مية سنتيمتر.