فيديو السؤال: استخدام قانون الجيب لحل مثلث بمعلومية زاويتين وطول ضلع الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏﺟ مثلث فيه قياس الزاوية ﺃ يساوي ٤٠ درجة، وﺃ شرطة يساوي ١٧ سنتيمترًا، وﺏ شرطة يساوي ٢٣ سنتيمترًا. إذا كان المثلث موجودًا، فأوجد جميع القيم الممكنة للأطوال والزوايا الأخرى بتقريب الأطوال لأقرب منزلتين عشريتين والزوايا لأقرب ثانية.

نتذكر أنه عند التعامل مع المثلثات، إحدى طرق حساب الأطوال والزوايا الناقصة هي استخدام قاعدة الجيب أو قانون الجيب. ينص هذا القانون على أن ﺃ شرطة على جا الزاوية ﺃ يساوي ﺏ شرطة على جا الزاوية ﺏ، الذي يساوي ﺟ شرطة على جا الزاوية ﺟ، حيث ﺃ شرطة، وﺏ شرطة، وﺟ شرطة هي أطوال الأضلاع المقابلة للزوايا ﺃ، وﺏ، وﺟ.

في هذا السؤال، علمنا أن قياس الزاوية ﺃ يساوي ٤٠ درجة، وطول الضلع ﺃ شرطة يساوي ١٧ سنتيمترًا، وطول الضلع ﺏ شرطة يساوي ٢٣ سنتيمترًا. سنبدأ بالتعويض بهذه القيم في صيغة القانون لمساعدتنا في حساب قياس الزاوية ﺏ. وهذا يعطينا ١٧ على جا ٤٠ درجة يساوي ٢٣ على جا الزاوية ﺏ. باستخدام الضرب التبادلي هنا، نحصل على ١٧ في جا الزاوية ﺏ يساوي ٢٣ في جا ٤٠ درجة. يمكننا بعد ذلك قسمة كلا طرفي هذه المعادلة على ١٧.

وأخيرًا، نوجد الدالة العكسية للجيب لكلا طرفي هذه المعادلة؛ حيث الزاوية ﺏ تساوي الدالة العكسية للجيب لـ ٢٣ مضروبة في جا ٤٠ درجة الكل مقسوم على ١٧. بكتابة الطرف الأيسر على الآلة الحاسبة نحصل على ٦٠٫٤١٨٤ وهكذا مع توالي الأرقام. هذه هي الإجابة بالدرجات، وعلينا أن نقرب الزاوية لأقرب ثانية. باستخدام زر الدرجات والدقائق والثواني الموجود في الآلة الحاسبة العلمية، يمكن تحويل ذلك إلى ٦٠ درجة، و ٢٥ دقيقة، وست ثوان. إذن، أحد القياسات الممكنة للزاوية ﺏ هي ٦٠ درجة، و٢٥ دقيقة، وست ثوان.

نعلم أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة. وهذا يعني أن مجموع قياسات الزاوية ﺃ والزاوية ﺏ والزاوية ﺟ يجب أن يساوي ١٨٠. بالتعويض بقيمتي الزاويتين ﺃ، وﺏ، نحصل على ٤٠ درجة زائد ٦٠ درجة، و٢٥ دقيقة، وست ثوان زائد الزاوية ﺟ يساوي ١٨٠ درجة. يمكننا جمع الزاويتين ﺃ، وﺏ، ثم نطرح ١٠٠ درجة، و٢٥ دقيقة، وست ثوان من كلا الطرفين. وهذا يعطينا أن قياس الزاوية ﺟ يساوي ٧٩ درجة، و٣٤ دقيقة، و٥٤ ثانية. إذن، عندما يساوي قياس الزاوية ﺏ ٦٠ درجة، و٢٥ دقيقة، وست ثوان، يساوي قياس الزاوية ﺟ ٧٩ درجة، و٣٤ دقيقة، و٥٤ ثانية.

الخطوة التالية هي استخدام قاعدة الجيب أو قانون الجيب مرة أخرى لحساب طول الضلع ﺟ شرطة. بالتعويض بالقيم التي لدينا، نحصل على ١٧ على جا ٤٠ درجة يساوي ﺟ شرطة على جا ٧٩ درجة، و٣٤ دقيقة، و٥٤ ثانية. وهذا يعني أن ﺟ شرطة يساوي ١٧ على جا ٤٠ درجة في جا ٧٩ درجة، و٣٤ دقيقة، و٥٤ ثانية. بكتابة الطرف الأيسر على الآلة الحاسبة، نحصل على ٢٦٫٠١١٢ وهكذا مع توالي الأرقام. وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، طول الضلع ﺟ شرطة يساوي ٢٦٫٠١ سنتيمترًا.

في هذه المرحلة، يبدو الأمر كما لو أننا انتهينا من السؤال؛ حيث حسبنا قياس الزاويتين الناقصتين وطول الضلع الناقص. لكن عند التعامل مع مسائل من هذا النوع، علينا أن نتذكر مخطط قواعد إشارات الدوال المثلثية. وهذا يخبرنا بأنه توجد قيمتان ممكنتان لـ 𝜃 تكون فيهما قيمة جا 𝜃 متماثلة. بالإضافة إلى الحصول على إجابة تساوي ٦٠ درجة، و٢٥ دقيقة، وست ثوان للزاوية ﺏ، يمكننا أيضًا طرح هذه القيمة من ١٨٠ درجة. وهذا يعطينا ١١٩ درجة، و٣٤ دقيقة، و٥٤ ثانية. وهذا يعني أن القيمة البديلة لقياس الزاوية ﺏ هي ١١٩ درجة، و٣٤ دقيقة، و٥٤ ثانية.

مرة أخرى، يجب أن يساوي مجموع قياسات الزوايا ١٨٠ درجة. نعلم أن قياس الزاوية ﺃ يساوي ٤٠ درجة، إذن ٤٠ درجة زائد ١١٩ درجة، و٣٤ دقيقة، و٥٤ ثانية زائد الزاوية ﺟ يجب أن يساوي ١٨٠ درجة. يمكننا بعد ذلك طرح ١٥٩ درجة، و٣٤ دقيقة، و٥٤ ثانية من كلا طرفي المعادلة لحساب قيمة الزاوية ﺟ. قياس الزاوية ﺟ يساوي ٢٠ درجة، و٢٥ دقيقة، وست ثوان. وهذا هو قياس هذه الزاوية عندما يساوي قياس الزاوية ﺏ ١١٩ درجة، و٣٤ دقيقة، و٥٤ ثانية.

يمكننا الآن استخدام قاعدة الجيب مرة أخرى لحساب القيمة الممكنة الثانية لطول الضلع ﺟ شرطة. بالتعويض بقيمتي الزاويتين ﺃ، وﺟ وكذلك طول الضلع ﺃ شرطة، نحصل على ١٧ على جا ٤٠ درجة يساوي ﺟ شرطة على جا ٢٠ درجة، و٢٥ دقيقة، وست ثوان. وهذا يعطينا قيمة ﺟ شرطة تساوي ٩٫٢٢٦٧ وهكذا مع توالي الأرقام. وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، فإن طول الضلع ﺟ شرطة يساوي ٩٫٢٣ سنتيمترات.

إذن، عندما يساوي قياس الزاوية ﺃ ٤٠ درجة، وطول الضلع ﺃ شرطة ١٧ سنتيمترًا، وطول الضلع ﺏ شرطة ٢٣ سنتيمترًا، توجد قيمتان ممكنتان للزاوية ﺏ، والزاوية ﺟ، وطول الضلع ﺟ شرطة. أولًا، لدينا ٦٠ درجة، و٢٥ دقيقة، وست ثوان؛ و٧٩ درجة، و٣٤ دقيقة، و٥٤ ثانية؛ إلى جانب ٢٦٫٠١ سنتيمترًا. أو بدلًا من ذلك، لدينا ١١٩ درجة، و٣٤ دقيقة، و٥٤ ثانية؛ و٢٠ درجة، و٢٥ دقيقة، وست ثوان؛ و٩٫٢٣ سنتيمترات.