نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد احتمال وقوع حدث بسيط. سنبدأ بتلخيص بعض المصطلحات الرئيسية المرتبطة بالاحتمال. في البداية، سنتذكر أن التجربة هي نشاط له نتيجة قابلة للتحديد. والناتج هو نتيجة محددة لهذه التجربة. أما فضاء العينة فهو مجموعة جميع النواتج الممكنة من تجربة عشوائية. وأخيرًا، الحدث هو مجموعة جزئية من فضاء العينة؛ حيث قد يتكون الحدث من ناتج واحد أو قد يتكون من نواتج متعددة.
دعونا نتناول تجربة لإلقاء حجر نرد منتظم ذي ستة أوجه وتسجيل العدد الظاهر. في هذه الحالة، سيكون الناتج المحدد هو ظهور عدد معين، وليكن أربعة على سبيل المثال. وسيكون فضاء العينة هو مجموعة جميع النواتج، وهي في هذه الحالة واحد واثنان وثلاثة وأربعة وخمسة وستة. أما الحدث فهو المجموعة الجزئية من فضاء العينة؛ على سبيل المثال، ظهور العدد واحد أو ظهور عدد أكبر من ثلاثة. يمكننا، بطريقة غير منهجية، التفكير في الحدث على أنه شيء يحدث، وأن احتمال وقوع الحدث هو مدى إمكانية حدوثه. في الحياة اليومية، قد نناقش الاحتمالات باستخدام كلمات مثل «مؤكد» أو «مستحيل» أو «غير ممكن» أو «ممكن جدًّا». على سبيل المثال، قد نقول إنه من الممكن أن تمطر غدًا.
لكن في الرياضيات، نريد توسيع نطاق هذه الفكرة والبدء في وصف الاحتمالات باستخدام الأعداد. سنبدأ بتعريف الأحداث المستحيلة على أنها أحداث احتمال وقوعها يساوي صفرًا، وتعريف الأحداث المؤكد وقوعها على أنها أحداث احتمال وقوعها يساوي واحدًا. وهذا يقودنا إلى مقياس الاحتمال الذي توضع عليه احتمالات جميع الأحداث بين هاتين القيمتين. الأحداث التي يساوي احتمال وقوعها ٠٫٥، أو نصفًا، تكون فرص وقوعها متساوية. هذا لأن احتمال وقوعها يساوي تمامًا احتمال عدم وقوعها. والأحداث التي يكون احتمال وقوعها بين صفر و٠٫٥ تكون إمكانية وقوعها أقل. أما الأحداث التي يكون احتمال وقوعها بين ٠٫٥ وواحد فتكون إمكانية وقوعها أكبر. قد نستخدم أيضًا مصطلحات مثل «غير ممكن بشكل كبير» أو «ممكن بشكل كبير» لوصف الأحداث التي تكون احتمالات وقوعها أقرب إلى القيمتين القصويين صفر وواحد.
نلاحظ أنه يمكن التعبير عن الاحتمالات إما على صورة كسور أو أعداد عشرية أو نسب مئوية. عندما تكون جميع نواتج التجربة متساوية الاحتمال، يمكننا حساب احتمال وقوع حدث ما بقسمة عدد النواتج في هذا الحدث، الذي نسميه عدد النواتج الناجحة، على إجمالي عدد النواتج في فضاء العينة. يمكننا تعريف ذلك بشكل أكثر منهجية على النحو الآتي. إذا كان ﺃ حدثًا في فضاء العينة ﻑ؛ حيث تكون جميع النواتج متساوية الاحتمال، فإن احتمال وقوع الحدث ﺃ هو ﻝﺃ، وهو ما يساوي ﻥ ﺃ على ﻥﻑ؛ حيث يمثل ﻝﺃ احتمال وقوع الحدث ﺃ. ويمثل ﻥ ﺃ عدد العناصر في الحدث ﺃ. أما ﻥﻑ فيمثل عدد العناصر في فضاء العينة ﻑ.
سنتناول الآن مجموعة من الأمثلة. في كل مثال، سيتمثل مفتاح الحل في تحديد إجمالي عدد النواتج أو العناصر في فضاء عينة التجربة وعدد النواتج التي تعتبر ناجحة.
إذا ألقي حجر نرد منتظم ذو ستة أوجه، فما احتمال ظهور العدد ثلاثة؟
بما أن حجر النرد منتظم، فهذا يعني أنه غير متحيز، ومن ثم تكون جميع النواتج متساوية الاحتمال. وعليه، يمكننا حساب الاحتمال المطلوب بتذكر أن احتمال وقوع حدث ما يساوي عدد النواتج الناجحة مقسومًا على إجمالي عدد النواتج. في هذا السؤال، الحدث الذي يعنينا هو ظهور العدد ثلاثة عند إلقاء حجر نرد منتظم ذي ستة أوجه. النواتج الممكنة عند إلقاء حجر نرد هي الأعداد واحد واثنان وثلاثة وأربعة وخمسة وستة. هذا يعني أن إجمالي عدد النواتج هو ستة. والناتج الناجح الوحيد هو ظهور العدد ثلاثة. إذن، يوجد ناتج ناجح واحد فقط. ومن ثم، يمكننا استنتاج أن احتمال ظهور العدد ثلاثة، الذي يكتب على الصورة ﻝ لثلاثة، هو واحد من ستة، أو سدس.
في المثال التالي، سنحسب احتمال وقوع حدث بسيط يتكون من أكثر من ناتج واحد.
إذا ألقي حجر نرد منتظم ذو ستة أوجه، ما احتمال ظهور عدد يقبل القسمة على ثلاثة؟
في هذا السؤال، نلقي حجر نرد منتظمًا ذا ستة أوجه، وهو ما يعني أن جميع النواتج متساوية الاحتمال. توجد ستة نواتج ممكنة؛ وهي الأعداد واحد واثنان وثلاثة وأربعة وخمسة وستة. والمطلوب منا هو حساب احتمال ظهور عدد يقبل القسمة على ثلاثة. لعلنا نتذكر أنه يمكن كتابة احتمال وقوع حدث ما على صورة كسر؛ حيث يمثل البسط عدد النواتج الناجحة، ويمثل المقام إجمالي عدد النواتج. بتطبيق هذه الصيغة على هذا السؤال، نجد أن احتمال ظهور عدد يقبل القسمة على ثلاثة يساوي عدد النواتج التي تقبل القسمة على ثلاثة مقسومًا على إجمالي عدد النواتج. العددان ثلاثة وستة يقبلان القسمة على ثلاثة. إذن، يوجد ناتجان ناجحان.
وعليه، فإن احتمال ظهور عدد يقبل القسمة على ثلاثة يساوي اثنين من ستة، أو سدسين. وبما أن كلًّا من البسط والمقام يقبل القسمة على اثنين، يمكننا تبسيط ذلك إلى ثلث. إذن، إذا ألقي حجر نرد منتظم ذو ستة أوجه، فإن احتمال ظهور عدد يقبل القسمة على ثلاثة هو ثلث.
تجدر الإشارة في هذه المرحلة إلى أنه عند كتابة الاحتمالات على صورة كسور، من الأفضل بوجه عام أن نكتبها في أبسط صورة لها. لنتناول الآن مثالًا في سياق مختلف.
سحبت بطاقة عشوائيًّا من مجموعة بطاقات مرقمة من واحد إلى ٥٢. ما احتمال أن تحمل البطاقة المسحوبة عددًا أوليًّا؟
سنبدأ بملاحظة أنه بما أن البطاقة سحبت عشوائيًّا، فإن لجميع البطاقات فرصًا متساوية لاختيارها. ولحساب الاحتمال المطلوب، يمكننا استخدام الصيغة ﻝﺃ يساوي ﻥ ﺃ مقسومًا على ﻥﻑ؛ حيث يمثل ﻝﺃ احتمال وقوع الحدث ﺃ، ويمثل ﻥ ﺃ عدد النواتج في الحدث ﺃ، ويمثل ﻥﻑ عدد العناصر في فضاء العينة ﻑ. بما أن هناك ٥٢ بطاقة في مجموعة البطاقات، فإن ﻥﻑ يساوي ٥٢. الحدث الذي يعنينا في هذا السؤال هو سحب بطاقة تحمل عددًا أوليًّا. هذا يعني أن ﻥ ﺃ سيساوي عدد البطاقات التي تحمل أعدادًا أولية في مجموعة البطاقات.
لعلنا نتذكر أن العدد الأولي هو عدد له عاملان فقط؛ هما العدد واحد والعدد الأولي نفسه. الأعداد الأولية الأقل من ٢٠ هي كالآتي؛ حيث إن جميع هذه الأعداد لا تقبل القسمة إلا على واحد وعلى نفسها. وباستكمال هذه القائمة، نجد أن الأعداد ٢٣ و٢٩ و٣١ و٣٧ و٤١ و٤٣ و٤٧ أعداد أولية أيضًا. إذن في المجمل، لدينا ١٥ عددًا أوليًّا بين العددين واحد و٥٢، وفي ذلك هذان العددان. ومن ثم، يمكننا استنتاج أن احتمال وقوع الحدث ﺃ؛ أي سحب بطاقة تحمل عددًا أوليًّا، هو ١٥ من ٥٢. لا يمكننا تبسيط هذا الكسر؛ لأن العددين ١٥ و٥٢ ليس لهما أي عوامل مشتركة باستثناء العدد واحد.
في المثال التالي، سنحسب احتمالًا تجريبيًّا من بيانات دراسة مسحية مقدمة في جدول تكراري.
يبين الجدول التالي نتائج دراسة مسحية أجريت على ١٠٠ مشاهد للتليفزيون للتصويت على نوع البرنامج التليفزيوني المفضل لديهم. ما احتمال اختيار أحد المشاهدين الذين يفضلون مشاهدة الأعمال الدرامية عشوائيًّا؟
يوضح لنا الجدول أن ١٤ مشاهدًا ممن أجريت عليهم الدراسة المسحية يفضلون الأعمال الدرامية. ويوضح لنا أيضًا أن هناك ١٩ مشاهدًا يفضلون البرامج الوثائقية، و١٤ مشاهدًا يفضلون الأعمال الكوميدية، و١٦ مشاهدًا يفضلون البرامج الإخبارية، و٣٧ مشاهدًا يفضلون البرامج الرياضية. وكما هو مذكور في السؤال، أجريت الدراسة المسحية على إجمالي ١٠٠ مشاهد. من المفترض أن يختار مشاهد ما عشوائيًّا، ومن ثم فإن لجميع المشاهدين فرصًا متساوية لاختيارهم. وعليه، يمكننا حساب الاحتمال المطلوب باستخدام الصيغة التي تنص على أن احتمال وقوع حدث ما يساوي عدد النواتج الناجحة على عدد النواتج الممكنة. في هذا السؤال، عدد النواتج الناجحة سيساوي عدد المشاهدين الذين يفضلون الأعمال الدرامية. وعدد النواتج الممكنة سيساوي إجمالي عدد المشاهدين.
كما ذكرنا من قبل، يوضح لنا الجدول أن ١٤ مشاهدًا يفضلون الأعمال الدرامية وأن الدراسة المسحية أجريت على إجمالي ١٠٠ مشاهد. وعليه، فإن احتمال اختيار مشاهد عشوائيًّا يفضل الأعمال الدرامية يساوي ١٤ من ١٠٠. بقسمة كل من البسط والمقام على اثنين، يمكننا تبسيط هذا الكسر إلى سبعة على ٥٠. يمكننا أيضًا كتابة هذه الإجابة على صورة العدد العشري ٠٫١٤ أو ١٤ بالمائة. إذن، هذا هو احتمال اختيار أحد المشاهدين الذين يفضلون مشاهدة الأعمال الدرامية عشوائيًّا.
تجدر الإشارة في هذه المرحلة إلى أنه يمكننا استخدام الاحتمالات للتوصل إلى استنتاجات بناء على بيانات إحصائية. على سبيل المثال، وجدنا في هذا السؤال أن اختيار أحد المشاهدين الذين يفضلون مشاهدة الأعمال الدرامية عشوائيًّا يساوي ١٤ بالمائة. ومن ناحية أخرى، احتمال اختيار أحد المشاهدين الذين يفضلون البرامج الرياضية عشوائيًّا يساوي ٣٧ من ١٠٠، أو ٣٧ بالمائة. وفقًا لهذه المعلومات، قد يختار الشخص المسئول عن جدولة البرامج عرض نسبة أكبر من البرامج الرياضية مقارنة بالأعمال الدرامية لجذب عدد أكبر من المشاهدين. لذلك، من المهم عند انتقاء العينات أن تكون غير متحيزة وتمثل المجتمع الإحصائي الذي تؤخذ منه، بحيث تعتمد أي قرارات متخذة على بيانات موثوقة.
في المثال الأخير، سنعمل بطريقة عكسية؛ حيث سنوجد مجهولًا بمعلومية قيمة احتمال.
تحتوي حقيبة على ١٦ ﻛﺮة ﺑﻴﻀﺎء وعدد غير معلوم من الكرات الحمراء. احتمال اختيار كرة حمراء عشوائيًّا هو ثلث. ما عدد الكرات الموجودة بالحقيبة؟
هناك العديد من الطرق لحل هذه المسألة. سنبدأ بتوضيح طريقة جبرية يمكننا من خلالها تكوين معادلة وحلها. ولتحديد إجمالي عدد الكرات في الحقيبة، علينا أولًا حساب عدد الكرات الحمراء. بما أن هذا العدد مجهول حاليًّا، فسنشير إلى عدد الكرات الحمراء بالرمز ﺡ. وبما أن هناك ١٦ ﻛﺮة ﺑﻴﻀﺎء، والحقيبة تحتوي على كرات حمراء وبيضاء فقط، إذن إجمالي عدد الكرات يساوي ﺡ زائد ١٦. نحن نعلم من معطيات السؤال أيضًا أن احتمال اختيار كرة حمراء عشوائيًّا هو ثلث. ولعلنا نتذكر أن احتمال وقوع حدث ما يساوي عدد النواتج الناجحة مقسومًا على إجمالي عدد النواتج. إذن، في هذا السؤال، احتمال اختيار كرة حمراء يساوي عدد الكرات الحمراء مقسومًا على إجمالي عدد الكرات.
بالتعويض بالقيم التي لدينا في هذه الصيغة، نحصل على ثلث يساوي ﺡ على ﺡ زائد ١٦. وباستخدام الضرب التبادلي، يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة ﺡ زائد ١٦ يساوي ثلاثة ﺡ. يمكننا بعد ذلك طرح ﺡ من كلا الطرفين لنحصل على اثنين ﺡ يساوي ١٦. وبقسمة كلا الطرفين على اثنين، نجد أن ﺡ يساوي ثمانية. هذا يعني أن هناك ثماني كرات حمراء في الحقيبة. وبما أن هناك ١٦ كرة بيضاء، فهناك إجمالي ٢٤ كرة في الحقيبة. هناك طريقة بديلة للحل، وهي ملاحظة أنه بما أن ثلث الكرات هو كرات حمراء، فلا بد من أن يكون ثلثاها كرات بيضاء. وبما أن هناك ١٦ كرة بيضاء، فإن نصف هذه الكرات؛ أي ثماني كرات، لا بد من أن يكون كرات حمراء. وهذا يؤكد مرة أخرى أن هناك إجمالي ٢٤ كرة في الحقيبة.
سنختتم الآن هذا الفيديو بتلخيص النقاط الرئيسية التي تناولناها. عندما تكون جميع نواتج التجربة متساوية الاحتمال، يمكننا حساب احتمال وقوع حدث ما باستخدام الصيغة الآتية. احتمال وقوع حدث ما يساوي عدد النواتج الناجحة على إجمالي عدد النواتج. وبشكل أكثر منهجية، يمكننا كتابة ذلك على الصورة ﻝﺃ يساوي ﻥ ﺃ على ﻥﻑ؛ حيث يمثل ﻝﺃ احتمال وقوع الحدث ﺃ. ويمثل ﻥ ﺃ عدد النواتج في الحدث ﺃ. أما ﻥﻑ فيمثل عدد العناصر في فضاء العينة ﻑ.
