فيديو السؤال: متطابقات قوى جيب التمام الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

عبر عن ‪cos‬‏ أس ستة ‪𝜃‬‏ بدلالة ‪cos‬‏ ستة ‪𝜃‬‏ و‪cos‬‏ خمسة ‪𝜃‬‏ و‪cos‬‏ أربعة ‪𝜃‬‏ و‪cos‬‏ ثلاثة ‪𝜃‬‏ و‪cos‬‏ اثنين ‪𝜃‬‏ و‪cos 𝜃‬‏ وأي حد ثابت.

في هذا السؤال، نريد إيجاد مقدار يعبر عن ‪cos‬‏ أس ستة ‪𝜃‬‏. وهذا المقدار يجب أن يتكون من حدود تتضمن فقط جيوب التمام للمضاعفات الصحيحة لـ ‪𝜃‬‏ وحدود ثابتة. في بعض الأسئلة المماثلة لهذا السؤال، من الممكن إيجاد مقادير لكل جيوب التمام لمضاعفات هذه الزاوية، ومن ثم نحصل على إجابة مساوية للمقدار الذي لدينا، وهو في هذه الحالة ‪cos‬‏ أس ستة ‪𝜃‬‏. لكن، ذلك سيتطلب منا التعامل مع كل مضاعفات الزاوية الموجودة في السؤال. لذا، على الرغم من أن هذه الطريقة قد تكون ممكنة، فإنها ستستغرق وقتًا طويلًا، كما أنها ستحتمل الكثير من التجربة والخطأ.

بدلًا من ذلك، سيكون علينا التذكر أنه يمكننا إيجاد مقادير كهذه باستخدام نظرية ديموافر. إذن، للإجابة عن هذا السؤال، سنبدأ بتذكر نظرية ديموافر. تنص إحدى صور هذه النظرية على أنه لأي قيمة صحيحة ‪𝑛‬‏ وعدد حقيقي ‪𝜃‬‏، فإن ‪cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜃‬‏ الكل أس ‪𝑛‬‏ يساوي ‪cos 𝑛𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝑛𝜃‬‏. لكن إذا حاولنا استخدام هذا المقدار مباشرة للإجابة عن السؤال، فقد نواجه صعوبة. وبما أننا نريد إيجاد مقدار يعبر عن ‪cos‬‏ أس ستة ‪𝜃‬‏، فعلينا جعل ‪𝑛‬‏ يساوي ستة حتى نحصل على ‪cos‬‏ أس ستة في مقدارنا. لكن، عند توزيع الأس ‪𝑛‬‏ على القوس، سنحصل على حدود بها القوة الخامسة لجيب التمام، والقوة الرابعة لجيب التمام، وهكذا وصولًا إلى حدود بها القوة الصفرية لجيب التمام.

ويبدو أنه سيكون من الصعب جدًّا التخلص من كل هذه الحدود. لذا بدلًا من ذلك، علينا تذكر نتيجة مفيدة جدًّا. إذا أسمينا العدد المركب داخل القوس ‪𝑧‬‏، فستخبرنا نظرية ديموافر أن ‪𝑧‬‏ أس ‪𝑛‬‏ يساوي ‪cos 𝑛𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝑛𝜃‬‏. ويمكننا بعد ذلك استخدام نظرية ديموافر لإيجاد نتيجتين مفيدتين هما: ‪𝑧‬‏ أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد على ‪𝑧‬‏ أس ‪𝑛‬‏ يساوي اثنين ‪cos 𝑛𝜃‬‏، و‪𝑧‬‏ أس ‪𝑛‬‏ ناقص واحد على ‪𝑧‬‏ أس ‪𝑛‬‏ يساوي اثنين ‪𝑖 sin 𝑛𝜃‬‏. ولإثبات هاتين النتيجتين، سنستخدم نظرية ديموافر مباشرة، والتي نذكر أنها تنطبق على أي قيمة صحيحة لـ ‪𝑛‬‏. ونحن نعرف أن واحدًا على ‪𝑧‬‏ أس ‪𝑛‬‏ هو نفسه ‪𝑧‬‏ أس سالب ‪𝑛‬‏.

هاتان النتيجتان مفيدتان جدًّا ولا بد أن نتذكرهما جيدًا. سنركز على النتيجة الموجودة بالأعلى حيث سنستخدمها لإيجاد مقدار لـ ‪cos‬‏ أس ستة ‪𝜃‬‏. سنبدأ بجعل قيمة ‪𝑛‬‏ تساوي واحدًا في هذا المقدار. هذا سيعطينا اثنان ‪cos 𝜃‬‏ يساوي ‪𝑧‬‏ زائد واحد على ‪𝑧‬‏. لكن تذكر أن السؤال يطلب منا إيجاد مقدار يعبر عن ‪cos‬‏ أس ستة ‪𝜃‬‏، لذا سنرفع كلا طرفي هذه المعادلة للقوة السادسة. في الطرف الأيسر من المعادلة، يمكننا التبسيط برفع العاملين للقوة السادسة. هذا سيعطينا اثنين أس ستة في ‪cos‬‏ أس ستة ‪𝜃‬‏. ويمكننا تبسيط ذلك بما أننا نعلم أن اثنين أس ستة يساوي 64.

إذن يبسط الطرف الأيسر من المعادلة ليصبح 64 ‪cos‬‏ أس ستة ‪𝜃‬‏. وفي الطرف الأيمن من المعادلة، لدينا مجموع عددين مرفوعين لقوة. يمكننا حساب ذلك باستخدام صيغة ذات الحدين. نتذكر أن هذه الصيغة تخبرنا أنه لأي عدد صحيح موجب ‪𝑚‬‏، فإن ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏‬‏ الكل أس ‪𝑚‬‏ يساوي المجموع من ‪𝑟‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪𝑚‬‏ لـ ‪𝑚‬‏ توافيق ‪𝑟‬‏ في ‪𝑎‬‏ أس ‪𝑟‬‏ مضروبًا في ‪𝑏‬‏ أس ‪𝑚‬‏ ناقص ‪𝑟‬‏. بالتالي، يمكننا استخدام ذلك لتوزيع الأس ستة على الطرف الأيمن للمعادلة. وبهذا نحصل على ستة توافيق صفر ‪𝑧‬‏ أس ستة زائد ستة توافيق واحد في ‪𝑧‬‏ أس خمسة في واحد على ‪𝑧‬‏ زائد ستة توافيق اثنين في ‪𝑧‬‏ أس أربعة مضروبًا في واحد على ‪𝑧‬‏ الكل تربيع. وهكذا سنستمر في إضافة حدود بهذه الصورة حتى نصل إلى ستة توافيق ستة مضروبًا في واحد على ‪𝑧‬‏ الكل أس ستة.

تذكر أن السؤال يطلب منا إيجاد مقدار يعبر عن ‪cos‬‏ أس ستة ‪𝜃‬‏. لكنه يريد ذلك بدلالة جيوب تمام مضاعفات الزاوية ‪𝜃‬‏. يمكننا إعادة ترتيب ذلك للحصول على ‪cos‬‏ أس ستة ‪𝜃‬‏. لكن، الطرف الأيمن من هذا المقدار مكتوب بدلالة ‪𝑧‬‏ وليس بدلالة جيوب تمام مضاعفات الزاوية ‪𝜃‬‏. هذا يعني أنه علينا تبسيط الطرف الأيمن من المعادلة. سنفعل ذلك حدًّا فحدًّا. في الحد الأول، لدينا ستة توافيق صفر يساوي واحدًا، إذن الحد الأول يساوي ببساطة ‪𝑧‬‏ أس ستة. في الحد الثاني، لدينا ستة توافيق واحد يساوي ستة، ويمكن تبسيط ‪𝑧‬‏ أس خمسة مضروبًا في واحد على ‪𝑧‬‏ باستخدام قوانين الأسس. إنه يساوي ‪𝑧‬‏ أس أربعة. إذن، الحد الثاني يساوي ستة ‪𝑧‬‏ أس أربعة.

في الحد الثالث، لدينا ستة توافيق اثنين يساوي 15، و‪𝑧‬‏ أس أربعة مضروبًا في واحد على ‪𝑧‬‏ تربيع يساوي ‪𝑧‬‏ أس أربعة على ‪𝑧‬‏ تربيع، وهو ما يساوي ببساطة ‪𝑧‬‏ تربيع. إذن، الحد الثالث يساوي 15𝑧 تربيع. ويمكننا تبسيط بقية الحدود في هذا المفكوك بالطريقة نفسها. فنحصل على 20، و15 على ‪𝑧‬‏ تربيع، وستة على ‪𝑧‬‏ أس أربعة، وواحد على ‪𝑧‬‏ أس ستة. والآن نلاحظ وجود شيء مثير للاهتمام. يمكننا تبسيط هذا المقدار باستخدام نظرية ديموافر. على سبيل المثال، لدينا الحد الأول زائد الحد الأخير في هذا المفكوك هو ‪𝑧‬‏ أس ستة زائد واحد على ‪𝑧‬‏ أس ستة. وبجعل ‪𝑛‬‏ يساوي ستة في النتيجة المفيدة لدينا، فنعرف بذلك أن هذا يساوي اثنين ‪cos‬‏ ستة ‪𝜃‬‏. وهذه ليست المرة الوحيدة التي يمكننا فيها استخدام هذه النتيجة في المفكوك. إذ يمكننا استخدامها مرتين أخريين.

إذن سنجمع حدود المفكوك معًا لنحصل على ‪𝑧‬‏ أس ستة زائد واحد على ‪𝑧‬‏ أس ستة زائد ستة ‪𝑧‬‏ أس أربعة زائد ستة على ‪𝑧‬‏ أس أربعة زائد 15𝑧 تربيع زائد 15 على ‪𝑧‬‏ تربيع زائد 20. وقبل أن نطبق نظرية ديموافر، يمكننا أن نلاحظ وجود أمر مثير للاهتمام. في القوس الأول، يمكننا إخراج العامل المشترك ستة خارج القوس. وبالمثل، في القوس الثالث، يمكننا إخراج العامل المشترك 15 خارج القوس. هذا يعطينا المقدار الآتي. والآن يمكننا تبسيط الأقواس الثلاثة باستخدام نظرية ديموافر. بمساواة ‪𝑛‬‏ بستة، فإننا نعرف أن ‪𝑧‬‏ أس ستة زائد واحد على ‪𝑧‬‏ أس ستة يساوي اثنين ‪cos‬‏ ستة ‪𝜃‬‏. وبمساواة ‪𝑛‬‏ بأربعة، فإن ‪𝑧‬‏ أس أربعة زائد واحد على ‪𝑧‬‏ أس أربعة يساوي اثنين ‪cos‬‏ أربعة ‪𝜃‬‏. وبمساواة ‪𝑛‬‏ باثنين، فإن ‪𝑧‬‏ تربيع زائد واحد على ‪𝑧‬‏ تربيع يساوي اثنين ‪cos‬‏ اثنين ‪𝜃‬‏.

إذن، بالتعويض بهذه المقادير مع تذكر أن علينا الضرب في المعاملات وعلينا كذلك إضافة 20 في النهاية، نحصل على 64 ‪cos‬‏ أس ستة ‪𝜃‬‏ يساوي اثنين ‪cos‬‏ ستة ‪𝜃‬‏ زائد 12 ‪cos‬‏ أربعة ‪𝜃‬‏ زائد 30 ‪cos‬‏ اثنين ‪𝜃‬‏ زائد 20. والآن هذه تقريبًا هي الصورة التي نريدها بالضبط. كل ما نحتاجه الآن هو إعادة الترتيب لجعل ‪cos‬‏ أس ستة ‪𝜃‬‏ في طرف بمفرده. ولفعل ذلك، علينا قسمة طرفي المعادلة على 64. لذا، هيا نبدأ بإفراغ بعض المساحة. لدينا ‪cos‬‏ أس ستة ‪𝜃‬‏ يساوي هذا المقدار. ولإيجاد قيمة هذا، سنقسم كل حد في هذا المقدار على 64.

وبهذا، سنحصل على اثنين ‪cos‬‏ ستة ‪𝜃‬‏ الكل على 64 زائد 12 ‪cos‬‏ أربعة ‪𝜃‬‏ الكل على 64 زائد 30 ‪cos‬‏ اثنين ‪𝜃‬‏ الكل على 64 زائد 20 مقسومًا على 64. كل ما تبقى علينا فعله الآن هو إلغاء العامل المشترك اثنين من بسط ومقام كل حد من الحدود الأربعة. هذا يعطينا المقدار الآتي. وهكذا نكون حصلنا على الإجابة النهائية. إذن، استطعنا باستخدام نظرية ديموافر، التعبير عن ‪cos‬‏ أس ستة ‪𝜃‬‏ بدلالة جيوب التمام للمضاعفات الصحيحة للزاوية ‪𝜃‬‏. إذ حصلنا على أن ‪cos‬‏ أس ستة ‪𝜃‬‏ يساوي واحدًا على 32 في ‪cos‬‏ ستة ‪𝜃‬‏ زائد ثلاثة على 16 في ‪cos‬‏ أربعة ‪𝜃‬‏ زائد 15 على 32 في ‪cos‬‏ اثنين ‪𝜃‬‏ زائد خمسة على 16.