فيديو السؤال: إيجاد قيم الإحداثيات المجهولة للنقاط باستخدام صيغة نقطة المنتصف الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

النقاط ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ تقع على استقامة واحدة. افترض أن إحداثيات النقطتين ﺃ وﺟ هي اثنان، أربعة؛ وسالب ثمانية، سالب ثمانية، على الترتيب، وأن المسافة بين ﺃ وﺏ تساوي المسافة بين ﺏ وﺟ تساوي المسافة بين ﺟ وﺩ. ما إحداثيات ﺏ وﺩ؟

في هذا السؤال، لدينا أربع نقاط تقع على استقامة واحدة، وهي: ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ. تذكر أنه عندما نقول إن النقاط تقع على استقامة واحدة، فهذا يعني أنها جميعًا تقع على الخط المستقيم نفسه. وعلينا إيجاد إحداثيات النقطتين ﺏ وﺩ. لكي نفعل ذلك، سنستعين ببعض المعطيات لدينا. نحن نعلم أن النقاط تقع على الخط المستقيم نفسه. ولدينا إحداثيات النقطة ﺃ وإحداثيات النقطة ﺟ. كما أن لدينا بعض المعطيات عن المسافات بين النقاط ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ.

عادة ما نبدأ مثل هذه الأسئلة بتمثيل المعطيات التي لدينا. ولكننا لا نعرف حتى الآن الأوضاع النسبية للنقاط الأربع؛ لذا سيكون تمثيلها أمرًا صعبًا. بدلًا من ذلك، هيا نحاول تحديد بعض المعلومات عن النقطتين ﺏ وﺩ. في البداية، نلاحظ أن المسافة بين ﺃ وﺏ تساوي المسافة بين ﺏ وﺟ. بعبارة أخرى، النقطة ﺏ تقع على مسافة متساوية من النقطتين ﺃ وﺟ. كما أننا نعلم من السؤال أن النقاط تقع على استقامة واحدة. إذن، تقع النقطة ﺏ أيضًا على المستقيم الذي يصل بين ﺃ وﺟ. وهناك نقطة واحدة فقط تقع على المستقيم الذي يصل بين ﺃ وﺟ على مسافة متساوية من هاتين النقطتين. إنها نقطة المنتصف. ومن ثم، فإن ﺏ هي نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة ﺃﺟ.

يمكننا إذن تذكر أن إحداثيات نقطة المنتصف بين النقطتين ﺱ واحد، ﺹ واحد وﺱ اثنين، ﺹ اثنين هي: ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين على اثنين، ﺹ واحد زائد ﺹ اثنين على اثنين. بعبارة أخرى، علينا فقط حساب متوسط قيمتي الإحداثي ﺱ ومتوسط قيمتي الإحداثي ﺹ كل على حدة. ولدينا في السؤال إحداثيات النقطتين ﺃ وﺟ. إذن، علينا التعويض بـ ﺱ واحد يساوي اثنين، وﺹ واحد يساوي أربعة، وﺱ اثنين يساوي سالب ثمانية، وﺹ اثنين يساوي سالب ثمانية في هذه الصيغة. وعندما نفعل ذلك، نحصل على إحداثيات ﺏ، وهي: اثنان زائد سالب ثمانية على اثنين، أربعة زائد سالب ثمانية على اثنين.

والآن، يمكننا إيجاد قيمة كل من الإحداثيين على حدة. بداية، اثنان زائد سالب ثمانية يساوي سالب ستة، ثم نقسم ذلك على اثنين لنحصل على سالب ثلاثة. بعد ذلك، لدينا أربعة زائد سالب ثمانية يساوي سالب أربعة، ثم نقسم ذلك على اثنين لنحصل على سالب اثنين. وعليه، فإن إحداثيات ﺏ هي سالب ثلاثة، سالب اثنين. وفي الواقع، يمكننا ملاحظة أن الأمر نفسه ينطبق على النقطة ﺩ. تقع النقطة ﺩ أيضًا على الخط المستقيم نفسه مثل النقاط ﺃ وﺏ وﺟ. كما يمكننا ملاحظة أن المسافة بين ﺏ وﺟ تساوي المسافة بين ﺟ وﺩ. بعبارة أخرى، ﺟ هي نقطة تقع على المستقيم الذي يصل بين ﺏ وﺩ على مسافة متساوية من كلتا النقطتين ﺏ وﺩ. ومن ثم، فإن ﺟ هي نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة ﺏﺩ. هذا يعني أنه يمكننا استخدام صيغة نقطة المنتصف لإيجاد تعبير يدل على إحداثيات النقطة ﺟ.

في البداية، نبدأ بقولنا إن إحداثيات ﺩ هي ﺱ،‏ ﺹ. تذكر أن ﺩ هي النقطة التي نريد إيجاد إحداثياتها. ولقد أوضحنا أن إحداثيات ﺏ هي سالب ثلاثة، سالب اثنين. وبما أن ﺟ هي نقطة المنتصف بين هاتين النقطتين، فإنه يمكننا استخدام الصيغة لدينا لإيجاد تعبير يدل على إحداثيات النقطة ﺟ. ومع ذلك، فإننا نعرف بالفعل إحداثيات النقطة ﺟ. فقيمة كل من الإحداثيين ﺱ وﺹ للنقطة ﺟ تساوي سالب ثمانية. ومن ثم، فإن متوسط قيمتي الإحداثي ﺱ للنقطتين ﺏ وﺩ يجب أن يساوي سالب ثمانية. سالب ثمانية يساوي ﺱ زائد سالب ثلاثة الكل على اثنين. وبالمثل، لا بد أن يكون متوسط قيمتي الإحداثي ﺹ للنقطتين ﺏ وﺩ هو قيمة الإحداثي ﺹ للنقطة ﺟ. وعليه، نحصل على سالب ثمانية يساوي ﺹ زائد سالب اثنين الكل على اثنين.

يمكننا حل هاتين المعادلتين كل على حدة لإيجاد قيمتي الإحداثيين ﺱ وﺹ للنقطة ﺩ. لنبدأ بإيجاد قيمة الإحداثي ﺱ. نبدأ بضرب كلا طرفي المعادلة في اثنين ثم نبسط ذلك. ومن ثم، نحصل على سالب ١٦ يساوي ﺱ ناقص ثلاثة. بعد ذلك، نضيف ثلاثة إلى كلا طرفي المعادلة. وعليه، نجد أن ﺱ يساوي سالب ١٣. يمكننا تكرار العملية نفسها لإيجاد قيمة الإحداثي ﺹ. نضرب كلا طرفي المعادلة في اثنين ثم نبسط ذلك. وعليه، يصبح لدينا سالب ١٦ يساوي ﺹ ناقص اثنين. بعد ذلك، نضيف اثنين إلى كلا طرفي المعادلة. ومن ثم، نجد أن ﺹ يساوي سالب ١٤، وهو ما يعطينا الإجابة النهائية.

إذن، إذا كانت النقاط ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ تقع على استقامة واحدة؛ حيث إحداثيات النقطة ﺃ هي اثنان، أربعة؛ وإحداثيات النقطة ﺟ هي سالب ثمانية، سالب ثمانية؛ والمسافة بين ﺃ وﺏ تساوي المسافة بين ﺏ وﺟ تساوي المسافة بين ﺟ وﺩ، فإن إحداثيات النقطة ﺏ هي سالب ثلاثة، سالب اثنين، وإحداثيات النقطة ﺩ هي سالب ١٣، سالب ١٤.