نسخة الفيديو النصية
لدينا المتجه ﻉ يساوي ثلاثة، سالب اثنين. أي التمثيلات البيانية الآتية يمثل المتجه بدقة؟ احسب معيار المتجه. إذا كانت الأعداد الموجبة تمثل القياس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، فاحسب قياس الزاوية التي يصنعها المتجه مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ. اكتب إجابتك لأقرب منزلة عشرية بين سالب ١٨٠ درجة و١٨٠ درجة.
نبدأ بالنظر إلى المتجه المعطى في السؤال الذي يساوي ثلاثة، سالب اثنين. وهو مكتوب بالصورة الكارتيزية ﺱ، ﺹ، إذ تمثل القيمتان ثلاثة وسالب اثنين الإزاحة في الاتجاهين ﺱ وﺹ، على الترتيب. ومن نقطة الأصل، نتحرك بمقدار ثلاث وحدات في الاتجاه الموجب للمحور ﺱ، وهو ما يجعلنا نستبعد الخيارات (أ) و(ج) و(د). المركبة ﺹ للمتجه تساوي سالب اثنين. ولذا، نتحرك بمقدار وحدتين في الاتجاه السالب للمحور ﺹ. وهذا يقودنا إلى النقطة التي إحداثياتها ثلاثة، سالب اثنين. إذن، يمكننا أن نستنتج أن التمثيل البياني الذي يمثل المتجه ثلاثة، سالب اثنين هو التمثيل البياني (هـ).
سنفرغ الآن بعض المساحة للإجابة عن الجزأين الثاني والثالث من السؤال. الجزء الثاني من السؤال يطلب منا حساب معيار المتجه. نتذكر أن معيار المتجه أو مقداره هو طوله. ويرمز له كما هو موضح. والمعيار يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع، حيث ﺱ وﺹ هما مركبتا المتجه. وبالتعويض عن قيمتي ﺱ وﺹ، نحصل على الجذر التربيعي لثلاثة تربيع زائد سالب اثنين تربيع. بما أن ثلاثة تربيع يساوي تسعة، وسالب اثنين تربيع يساوي أربعة، فإن معيار المتجه أو مقداره يساوي جذر ١٣. كان بإمكاننا أيضًا حساب ذلك عن طريق رسم مثلث قائم الزاوية على التمثيل البياني، والاستفادة من معرفتنا بنظرية فيثاغورس. مرة أخرى، كنا سنحصل على الإجابة جذر ١٣.
يطلب منا الجزء الأخير من هذا السؤال حساب قياس الزاوية التي يصنعها المتجه مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ. نعلم أن الأعداد الموجبة تمثل القياس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. وبما أن هذه الزاوية تقاس في اتجاه دوران عقارب الساعة بدءًا من الجزء الموجب من المحور ﺱ، فستكون الإجابة سالبة. يمكننا أيضًا أن نلاحظ من التمثيل البياني أن هذه الزاوية تقع بين صفر وسالب ٩٠ درجة. إذا بدأنا بالنظر إلى الزاوية 𝛼 في المثلث القائم الزاوية، يمكننا حساب ذلك باستخدام معرفتنا بحساب المثلثات للمثلثات القائمة الزاوية. نعلم أن ظل أي زاوية 𝜃 في مثلث قائم الزاوية يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. وفي هذا المثلث، ظا 𝛼 يساوي اثنين على ثلاثة.
وبأخذ الدالة العكسية للظل لكلا الطرفين، نحصل على 𝛼 يساوي الدالة العكسية لـ ظا اثنين على ثلاثة. وبالتأكد من أن الآلة الحاسبة مضبوطة على وضع الدرجات، وبكتابة الطرف الأيسر فسنحصل على 𝛼 يساوي ٣٣٫٦٩ مع توالي الأرقام بالدرجات. وبتقريب الناتج إلى أقرب منزلة عشرية، نحصل على ٣٣٫٧. وكما ذكرنا سابقًا أن هذه الزاوية يجب أن تكون سالبة، فإن قياس الزاوية التي يصنعها المتجه مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ يساوي سالب ٣٣٫٧ درجة.
لدينا الآن إجابات الأجزاء الثلاثة في هذا السؤال. وهي: التمثيل البياني (هـ)، وجذر ١٣، وسالب ٣٣٫٧ درجة.
