فيديو السؤال: إيجاد معيار المتجهات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان المتجه ﺃ يساوي واحدًا، ثلاثة، اثنين؛ والمتجه ﺏ يساوي ﻙ، تسعة، ﻡ؛ والمتجه ﺟ يساوي ﻙ،ﻡ،ﻙ زائد ﻡ؛ وﺃ يوازي ﺏ، فأوجد معيار المتجه ﺟ.

من بين هذه المتجهات الثلاثة، نلاحظ أن لدينا جميع مركبات المتجه ﺃ، بينما المتجه ﺏ به هاتان المركبتان المجهولتان ﻙ وﻡ، ومن ثم تعتبر جميع مركبات المتجه ﺟ، التي تعتمد على ﻙ وﻡ، مجهولة. ومع ذلك، نحن نعلم من المعطيات أن المتجهين ﺃ وﺏ متوازيان. بوجه عام، لنفترض أن لدينا متجهين في فضاء ثلاثي الأبعاد—وسنسميهما ﻉ وﻕ—وعندما يكون هذان المتجهان متوازيين، فهذا يعني أنه يمكننا كتابة معادلة كما هو موضح. تخبرنا هذه العلاقة أن أحد المتجهين يساوي الآخر عند ضربه في عدد ثابت ﺙ. ‏ﺙ يكون أي قيمة لا تساوي صفرًا. وما دام أن مثل هذه القيمة موجودة، فهذا يجعل هذه المعادلة صحيحة؛ أي إن المتجهين ﻉ وﻕ متوازيان.

إذا كتبنا مركبات هذين المتجهين العامين ﻉ وﻕ، فيمكننا ملاحظة وجود طريقة ثانية للتعبير عن شرط توازي متجهين. إذا كان المتجهان متوازيين، فيمكننا القول إن النسبة بين قيمتي الإحداثي ﺱ لكليهما تساوي النسبة بين قيمتي الإحداثي ﺹ لكليهما تساوي النسبة بين قيمتي ﻉ لكليهما. إذن، هاتان طريقتان متكافئتان رياضيًّا للتعبير عن توازي هذين المتجهين. بالنسبة إلى المتجهين المعطيين ﺃ وﺏ، فإننا سنستخدم هذه العلاقة الثانية للتعبير عن شرط توازيهما. قيمة المركبة ﺱ للمتجه ﺃ هي واحد، وقيمة المركبة ﺱ للمتجه ﺏ هي ﻙ. وبما أن ﺃ وﺏ متوازيان، فيجب أن تساوي هذه النسبة قيمة المركبة ﺹ للمتجه ﺃ مقسومة على قيمة المركبة ﺹ للمتجه ﺏ، وتساوي بالمثل، قيمة المركبة ﻉ للمتجه ﺃ مقسومة على قيمة المركبة ﻉ للمتجه ﺏ.

في هذا التعبير، نجد أن لدينا مجهولين وهما ﻙ وﻡ ولدينا معادلتان مستقلتان. يمكننا كتابة أن واحدًا على ﻙ يساوي ثلاثة على تسعة. وهذا يعني أن تسعة يساوي ثلاثة في ﻙ أو أن ﻙ يساوي ثلاثة. وبالمثل، يوضح لنا الشكل البيضوي باللون الوردي أن ثلاثة على تسعة يساوي اثنين على ﻡ. وإذا استخدمنا الضرب التبادلي حيث نضرب في تسعة وﻡ، فسنجد أن ثلاثة ﻡ يساوي اثنين في تسعة، وهو ما يعني أن ثلاثة ﻡ يساوي ١٨ أو ﻡ يساوي ستة. والآن، بعد أن عرفنا قيمتي ﻙ وﻡ، يمكننا كتابة مركبات المتجه ﺟ. وهي تساوي ﻙ أي ثلاثة، وﻡ أي ستة، وﻙ زائد ﻡ وهو ما يساوي تسعة.

هدفنا هو إيجاد معيار هذا المتجه؛ ويتضمن ذلك حساب الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركبات المتجه ﺟ الثلاثة. ثلاثة تربيع يساوي تسعة، وستة تربيع يساوي ٣٦، وتسعة تربيع يساوي ٨١. إذن، معيار المتجه ﺟ يساوي الجذر التربيعي لـ ١٢٦. ويمكننا ملاحظة أن ١٢٦ يساوي تسعة في ١٤. وبما أن الجذر التربيعي لتسعة يساوي ثلاثة، فيمكننا تبسيط هذا الناتج إلى ثلاثة في الجذر التربيعي لـ ١٤. إذن، هذا هو معيار المتجه ﺟ، وهو كما لاحظنا يعتمد على قيم مركبتين من مركبات المتجه ﺏ.