فيديو الدرس: القطع المستقيمة الخاصة في الدائرة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم نظرية الأوتار المتقاطعة، أو نظرية القواطع المتقاطعة، أو نظرية المماسات والقواطع المتقاطعة لإيجاد أطوال ناقصة في دائرة.

هيا نبدأ بذكر أسماء الأجزاء المختلفة للدائرة بشكل مختصر. في هذه المرحلة، لا بد أن تكون واثقًا من قدرتك على تحديد وتر، أو نصف قطر، أو قطر الدائرة. إذن نعلم أن الخط المستقيم الذي يقطع محيط الدائرة مرة واحدة فقط ويكون عموديًّا على قطر هذه الدائرة، يسمى المماس. وإذا كان للمماس نقطة نهاية على محيط الدائرة، فإننا نسميه المستقيم المماسي. ومن المهم أن ندرك أن المستقيم المماسي يمتد في اتجاه واحد إلى ما لا نهاية.

بعد ذلك، لدينا الخط القاطع. وهو الخط المستقيم الذي يقطع منحنى عند نقطتين مختلفتين على الأقل. يتقاطع قاطع الدائرة مع محيطها مرتين بالضبط، بينما ستتقاطع معه القطعة القاطعة مرتين، لكن نقطة النهاية ستقع على محيط هذه الدائرة. والآن بعد أن أصبح لدينا هذه التعريفات، سنتناول بعض النظريات التي يمكن أن تساعدنا في حل المسائل التي تتضمن دوائر.

النظرية الأولى هي نظرية الأوتار المتقاطعة. لدينا زوج من الأوتار ﺃﺏ وﺟﺩ يتقاطعان عند النقطة ﻫ. تنص نظرية الأوتار المتقاطعة على أن حاصلي ضرب طولي القطعتين المستقيمتين على كل وتر متساويان. إذن، في هذه الحالة، ﺃﻫ في ﻫﺏ يساوي حاصل ضرب ﺟﻫ وﻫﺩ. إذا عرفنا طول القطعة المستقيمة ﺃﻫ بأنه يساوي ﺃ شرطة من الوحدات، وطول ﻫﺏ يساوي ﺏ شرطة من الوحدات، وهكذا، يمكننا كتابة ذلك على صورة ﺃ شرطة في ﺏ شرطة يساوي ﺟ شرطة في ﺩ شرطة. ومن ثم يعد ذلك مفيدًا للغاية، لأنه يمكننا إعادة ترتيب هذا لتمثيل هذين الطولين بالتناسب بحيث يكون ﺃ شرطة على ﺟ شرطة يساوي ﺩ شرطة على ﺏ شرطة. ومن ثم، فإن فائدة هذه النظرية هي أنه إذا عرفنا أي ثلاث قيم من هذه القيم، يمكننا إيجاد القيمة الرابعة.

والآن بعد أن أصبحت لدينا نظرية الأوتار المتقاطعة، سنطبق ذلك في مثال ليساعدنا في إيجاد طول ناقص.

إذا كان ﻫﺃ على ﻫﺏ يساوي ثمانية أسباع، وﻫﺟ يساوي سبعة سنتيمترات، وﻫﺩ يساوي ثمانية سنتيمترات، فأوجد طول كل من القطعتين المستقيمتين ﻫﺏ وﻫﺃ.

ولدينا أيضًا مخطط لدائرة لها وتران، ﺃﺏ وﺟﺩ. نلاحظ أن هذين الوترين يتقاطعان عند نقطة. وهي النقطة ﻫ. وهذا مفيد للغاية لأننا يمكننا استخدام نظرية الأوتار المتقاطعة لربط أطوال القطع المستقيمة ﻫﺟ وﻫﺏ وﻫﺃ وﻫﺩ. تنص نظرية الأوتار المتقاطعة على أن حاصل ضرب طولي ﻫﺟ وﻫﺩ يساوي حاصل ضرب طولي القطعتين المستقيمتين ﻫﺏ وﻫﺃ. وفي هذه الحالة، ﻫﺟ في ﻫﺩ يساوي ﻫﺏ في ﻫﺃ.

نعرف من معطيات السؤال أن ﻫﺟ يساوي سبعة سنتيمترات، في حين أن ﻫﺩ يساوي ثمانية سنتيمترات. بالتعويض بهاتين القيمتين في الصيغة لدينا، نحصل على سبعة في ثمانية يساوي ﻫﺏ في ﻫﺃ، أو ٥٦ يساوي ﻫﺏ في ﻫﺃ. للوهلة الأولى قد يبدو أنه ليس لدينا معلومات كافية للإجابة عن هذا السؤال. لكننا لم نستخدم علاقة التناسب بين ﻫﺃ وﻫﺏ. وهو ما يعني أن ﻫﺃ على ﻫﺏ يساوي ثمانية على سبعة. بضرب طرفي هذه المعادلة في ﻫﺏ، نجد أن ﻫﺃ يساوي ثمانية أسباع ﻫﺏ. بعد ذلك، يمكننا التعويض عن ﻫﺃ بهذا التعبير في المعادلة السابقة.

وبذلك يصبح ٥٦ يساوي ﻫﺏ في ثمانية أسباع ﻫﺏ، أو ٥٦ يساوي ثمانية أسباع ﻫﺏ تربيع. دعونا نحل هذه المعادلة بالقسمة على ثمانية أسباع. والآن هذا يكافئ القسمة على ثمانية ثم الضرب في سبعة، لنحصل على ٤٩ يساوي ﻫﺏ تربيع. الخطوة الأخيرة هي إيجاد الجذر التربيعي الموجب لـ ٤٩. عادة ما نوجد قيمة الجذر التربيعي الموجب والسالب، لكن هنا يعبر عن طول بالطبع. لذا، ما يعنينا فقط هو القيمة الموجبة. إذن، ﻫﺏ يساوي سبعة أو سبعة سنتيمترات.

وبمجرد الحصول على هذه القيمة، يمكننا استخدام المعادلة السابقة، أي ﻫﺃ يساوي ثمانية أسباع ﻫﺏ، لإيجاد قيمة ﻫﺃ. ‏ﻫﺃ يساوي ثمانية أسباع في سبعة. هذا بالطبع يساوي ثمانية أو ثمانية سنتيمترات. طول القطعة المستقيمة ﻫﺏ يساوي سبعة سنتيمترات، وطول القطعة المستقيمة ﻫﺃ يساوي ثمانية سنتيمترات.

وهكذا استعرضنا نظرية الأوتار المتقاطعة. سنتناول الآن نظرية أخرى تساعدنا في حل مسائل القيمة الناقصة في الدوائر. تنص هذه النظرية على أن حاصل ضرب طولي قطعة قاطعة وقطعتها القاطعة الخارجية يساوي حاصل ضرب طولي القطعة القاطعة الأخرى وقطعتها القاطعة الخارجية؛ حيث يجب، بالطبع، أن تتقاطع القطعتان القاطعتان. في الشكل الذي أمامنا، هذا يعني أن ﺃﻫ في ﺏﻫ يساوي ﺟﻫ في ﺩﻫ.

بتسمية الأجزاء المختلفة بالرموز ﺃ شرطة، وﺏ شرطة، وهكذا، يمكننا بدلًا من ذلك كتابة منطوق هذه النظرية على صورة: ﺃ شرطة في ﺏ شرطة يساوي ﺟ شرطة في ﺩ شرطة. ومن المفيد فعل ذلك، لأن نظرية القواطع المتقاطعة لها حالة خاصة. ويمكن أن نسميها نظرية المماس والقاطع. إذا كان أحد المستقيمين أو كلاهما عبارة عن قطعة مماسية، فيمكننا وفقًا لهذا الشكل أن نقول إن ﺃﺏ في ﺏﻫ يساوي مربع ﺩﻫ. إذن ﺃ شرطة في ﺏ شرطة يساوي ﺩ شرطة تربيع. سنشرح الآن كيفية استخدام إحدى هذه النظريات لحل مسألة تتضمن خطين قاطعين يتقاطعان خارج الدائرة.

إذا كان ﻫﺟ يساوي ١٠ سنتيمترات، وﻫﺩ يساوي ستة سنتيمترات، وﻫﺏ يساوي خمسة سنتيمترات، فأوجد طول القطعة المستقيمة ﻫﺃ.

لدينا بعد ذلك شكل لدائرة مرسوم عليها قاطعان متقاطعان. وهما ﺃﻫ وﺟﻫ. وبما أننا نتعامل مع زوج من القطع القاطعة المتقاطعة، فسنستخدم نظرية القواطع المتقاطعة. والتي تنص على أن حاصل ضرب طولي قطعة قاطعة وقطعتها القاطعة الخارجية يساوي حاصل ضرب طولي القطعة القاطعة الأخرى وقطعتها القاطعة الخارجية. إذن، في الشكل الذي لدينا، ﻫﺃ في ﻫﺏ يساوي ﻫﺩ في ﻫﺟ.

نعلم من معطيات السؤال أن طول القطعة المستقيمة ﻫﺟ يساوي ١٠ سنتيمترات، وأن ﻫﺩ يساوي ستة سنتيمترات، وﻫﺏ يساوي خمسة سنتيمترات. لذلك، دعونا نعوض بهذه الأبعاد في المعادلة. عندما نفعل ذلك، نجد أن ﻫﺃ في خمسة يساوي ستة في ١٠. ثم نحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻫﺃ بقسمة كلا الطرفين على خمسة. إذن ﻫﺃ يساوي ستة في ١٠ مقسومًا على خمسة. الآن يمكننا إيجاد قيمة بسط هذا الكسر. أو بدلًا من ذلك، نلاحظ وجود عامل مشترك بين ١٠ وخمسة. يمكننا قسمة كل منهما على خمسة. هذا يعني أن ﻫﺃ يساوي ستة في اثنين مقسومًا على واحد. وهو ١٢ أو ١٢ سنتيمترًا. إذن، طول القطعة المستقيمة ﻫﺃ يساوي ١٢ سنتيمترًا.

في المثال التالي، سنشرح كيفية استخدام الحالة الخاصة لنظرية القواطع المتقاطعة، وهي نظرية المماس والقاطع، التي يكون فيها أحد الطولين قطعة مماسية.

في الشكل التالي، نصف قطر الدائرة ١٢ سنتيمترًا. ‏ﺃﺏ يساوي ١٢ سنتيمترًا، وﺃﺟ يساوي ٣٥ سنتيمترًا. أوجد المسافة من القطعة المستقيمة ﺏﺟ إلى مركز الدائرة ﻡ، وطول القطعة المستقيمة ﺃﺩ، لأقرب جزء من عشرة.

سنبدأ بإيجاد المسافة من القطعة المستقيمة ﺏﺟ إلى مركز الدائرة ﻡ. لعلنا نتذكر أن أقصر مسافة من نقطة إلى خط مستقيم هي طول الخط العمودي من هذه النقطة إلى الخط. لذا يمكننا تكوين هذا الخط العمودي من النقطة ﻡ إلى القطعة المستقيمة ﺏﺟ. وبما أن ﻡ هو مركز الدائرة وﺏﺟ وتر، يمكننا القول إن هذا الخط العمودي هو الخط العمودي المنصف لـ ﺏﺟ. إذن، بتحديد النقطة التي يلتقي عندها هذا الخط العمودي بالقطعة المستقيمة ﺏﺟ بأنها ﻫ، يمكننا القول إن ﺏﻫ يجب أن يساوي ﻫﺟ.

بعد ذلك، سنستخدم حقيقة أن نصف قطر الدائرة يساوي ١٢ سنتيمترًا. نصف القطر هو بالطبع القطعة المستقيمة التي تصل بين نقطة مركز الدائرة وأي نقطة تقع على محيطها. إذن يمكننا القول إن ﻡﺏ يساوي ١٢ سنتيمترًا.

بعد ذلك، نستعين بحقيقة أن ﺃﺏ يساوي ١٢ سنتيمترًا وﺃﺟ يساوي ٣٥ سنتيمترًا. وبما أنه يمكننا النظر إلى القطعة المستقيمة ﺃﺟ على أنها مجموع القطعتين المستقيمتين ﺃﺏ وﺏﺟ، يمكننا القول إن ٣٥ يساوي ١٢ زائد ﺏﺟ، ويمكننا إيجاد طول ﺏﺟ بطرح ١٢ من كلا طرفي هذه المعادلة. ‏٣٥ ناقص ١٢ يساوي ٢٣. إذن طول ﺏﺟ يساوي ٢٣ سنتيمترًا.

لكن تذكر أننا قلنا إن القطعة المستقيمة ﻡﻫ هي الخط العمودي المنصف للقطعة المستقيمة ﺏﺟ. إذن طول ﺏﻫ يجب أن يساوي نصف طول ﺏﺟ، أي ٢٣ مقسومًا على اثنين أو ٢٣ على اثنين سنتيمتر. نلاحظ الآن أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية ﻡﻫﺏ نعرف طول اثنين من أضلاعه. يمكننا إذن استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الضلع ﻡﻫ. لنرمز إليه بـ ﺱ أو ﺱ سنتيمتر.

بالتعويض بما نعرفه عن هذا المثلث في نظرية فيثاغورس، نجد أن ١٢ تربيع يساوي ﺱ تربيع زائد ٢٣ على اثنين تربيع. ثم نجعل ﺱ تربيع هو المتغير التابع بطرح ٢٣ على اثنين تربيع من كلا الطرفين. ‏١٢ تربيع ناقص ٢٣ على اثنين تربيع يساوي ٤٧ على أربعة. لإيجاد الطول الذي يعنينا، ﺱ، سنوجد الجذر التربيعي الموجب لـ ٤٧ على أربعة. وهذا يساوي ٣٫٤٢٧ وهكذا مع توالي الأرقام. وبالتقريب لأقرب جزء من عشرة، نجد أن الناتج يساوي ٣٫٤ سنتيمترات.

ننتقل الآن إلى الجزء الثاني من السؤال. والذي يطلب منا إيجاد طول القطعة المستقيمة ﺃﺩ. وقد لاحظنا أن القطعة المستقيمة ﺃﺩ هي، في الحقيقة، قطعة مماسية، بينما الخط ﺃﺟ هو القطعة القاطعة. هذا يعني أنه يمكننا استخدام نسخة خاصة من نظرية القواطع المتقاطعة. والتي تسمى نظرية المماس والقاطع. في حالة الدائرة التي أمامنا، نعرف منها أن حاصل ضرب طولي القطعتين المستقيمتين ﺃﺏ وﺃﺟ يساوي مربع طول القطعة المستقيمة ﺃﺩ.

نعرف الآن أن طول ﺃﺏ يساوي ١٢ سنتيمترًا، بينما طول ﺃﺟ يساوي ٣٥. إذن، ١٢ في ٣٥ يساوي ﺃﺩ تربيع، أو ﺃﺩ تربيع يساوي ٤٢٠. سنحل هذه المعادلة بإيجاد الجذر التربيعي لـ ٤٢٠. هذا يعطينا أن طول ﺃﺩ يساوي ٢٠٫٤٩٣، والذي يساوي ٢٠٫٥ سنتيمترًا مقربًا لأقرب جزء من عشرة. إذن، المسافة من القطعة المستقيمة ﺏﺟ إلى مركز الدائرة ﻡ تساوي ٣٫٤ سنتيمترات، وطول القطعة المستقيمة ﺃﺩ يساوي ٢٠٫٥ سنتيمترًا.

في المثال التالي، سنوضح كيفية استخدام هذه النظريات لكتابة معادلات وحلها لإيجاد القيم الناقصة.

في الشكل الآتي، أوجد قيمة ﺱ.

إذن لدينا دائرة تحتوي على وترين. هما الوتر ﺃﺏ والوتر ﺟﺩ. في الواقع، يتقاطع هذان الوتران عند النقطة ﻫ داخل الدائرة. ولذا، سنربط بين أطوال كل قطعة من القطع المستقيمة باستخدام نظرية الأوتار المتقاطعة. في حالة الدائرة المعطاة، تخبرنا هذه النظرية أن حاصل ضرب ﺃﻫ وﻫﺏ يساوي حاصل ضرب ﺟﻫ وﻫﺩ. حسنًا، ﺃﻫ في ﻫﺏ يساوي ﺱ زائد ثمانية في ﺱ زائد ثلاثة، في حين يمكن كتابة ﺟﻫ في ﻫﺩ على الصورة ﺱ في ﺱ زائد ١٢.

دعونا نوزع كل هذه الأقواس ثم نعد الترتيب. نفك الطرف الأيمن من المعادلة ونبسطه إلى ﺱ تربيع زائد ١١ﺱ زائد ٢٤، بينما نبسط الطرف الأيسر إلى ﺱ تربيع زائد ١٢ﺱ. نلاحظ بعد ذلك أنه يمكننا طرح ﺱ تربيع من كلا طرفي المعادلة. ويتبقى لدينا ١١ﺱ زائد ٢٤ يساوي ١٢ﺱ. بعد ذلك، سنطرح ١١ﺱ من كلا الطرفين. يتبقى لدينا ٢٤ فقط في الطرف الأيمن، بينما في الطرف الأيسر لدينا ١٢ﺱ ناقص ١١ﺱ، وهو ما يساوي ﺱ. إذن، بمعلومية المعلومات المعطاة عن الدائرة، نستنتج أن ﺱ يساوي ٢٤.

في المثال الأخير، سنوضح كيف نستخدم عكس نظرية الأوتار المتقاطعة.

إذا كان ﻫﺃ يساوي ٥٫٢ سنتيمترات، وﻫﺟ يساوي ستة سنتيمترات، وﻫﺏ يساوي ٧٫٥ سنتيمترات، وﻫﺩ يساوي ٦٫٥ سنتيمترات، فهل النقاط ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ تقع على دائرة؟

إذن لدينا شكل معطى. والآن إذا كانت هذه النقاط تقع على دائرة، فلا بد أن القطعتين المستقيمتين ﺃﺏ وﺟﺩ وتران لهذه الدائرة. ومن ثم إذا كانت هذه النقاط تقع بالفعل على محيط الدائرة، فإن القطع المستقيمة المعنية تحقق نظرية الأوتار المتقاطعة. والتي تنص على أن حاصل ضرب ﺃﻫ وﻫﺏ يجب أن يساوي حاصل ضرب ﺩﻫ وﻫﺟ.

لنبدأ إذن بحساب حاصل ضرب ﺃﻫ وﻫﺏ. ‏ﺃﻫ أو ﻫﺃ يساوي ٥٫٢ سنتيمترات، بينما ﻫﺏ يساوي ٧٫٥ سنتيمترات. إذن، حاصل ضربهما هو ٥٫٢ في ٧٫٥. وهو يساوي ٣٩. نريد بعد ذلك إيجاد حاصل ضرب ﺩﻫ وﻫﺟ. حسنًا، ﻫﺟ يساوي ستة سنتيمترات، وﺩﻫ، الذي يساوي ﻫﺩ، يساوي ٦٫٥ سنتيمترات. إذن، حاصل ضربهما هو ٦٫٥ في ستة، وهو ما يساوي أيضًا ٣٩. إذن، يمكننا القول إن النقاط ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ لا بد أن تقع على محيط دائرة. يمكننا حتى أن نعطي سببًا ونقول إنه بما أن القطع المستقيمة تحقق نظرية الأوتار المتقاطعة، فإن ﺃﺏ وﺟﺩ يجب أن يكونا وترين في نفس الدائرة.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الدرس. في هذا الدرس، تعلمنا نظرية الأوتار المتقاطعة. وتنص على أن حاصلي ضرب طولي القطعتين المستقيمتين على كل وتر من الوترين يجب أن يكونا متساويين عند تقاطع هذين الوترين. بعبارة أخرى، في هذا الشكل، ﺃﻫ في ﻫﺏ يساوي ﺟﻫ في ﻫﺩ. وبالمثل، تنص نظرية القواطع المتقاطعة على أن حاصل ضرب طولي أي قطعة قاطعة وقطعتها القاطعة الخارجية، يساوي حاصل ضرب طولي القطعة القاطعة الأخرى وقطعتها القاطعة الخارجية. في حالة هذا الشكل، ﺃﺏ في ﺏﺟ يساوي ﺃﺩ في ﺃﻫ. تناولنا أيضًا حالة خاصة تسمى نظرية المماس والقاطع، والتي تنطبق عندما يكون أحد الخطين أو كلاهما عبارة عن قطعتين مماستين.