نسخة الفيديو النصية
تحتوي حقيبة على ثلاث كرات وردية، وأربع كرات برتقالية، وخمس كرات صفراء. اختيرت كرتان دون إحلال. باستخدام مخطط الشجرة البيانية، أوجد احتمال أن تكون الكرة الثانية صفراء إذا كانت الكرة الأولى ليست صفراء.
في هذا السؤال، مطلوب منا رسم مخطط شجرة بيانية. قد نفكر للوهلة الأولى في رسم مخطط يتضمن الألوان الثلاثة المختلفة للكرات، وهي الوردي والبرتقالي والأصفر، حيث نعلم أنه يمكن أن تكون الكرتان الأولى والثانية بأي لون من هذه الألوان الثلاثة. لكن قبل فعل ذلك يجب أن نضع في اعتبارنا أن السؤال يطلب فقط تحديد ما إذا كانت الكرة صفراء أم لا. وعليه فإننا نريد إيجاد احتمال أن تكون الكرة الثانية صفراء إذا كانت الكرة الأولى ليست صفراء. ونتيجة لذلك من المنطقي أكثر أن نفكر في احتمالات ما إذا كانت الكرتان الأولى والثانية صفراوين أم لا.
توجد خمس كرات صفراء من إجمالي ١٢ كرة. إذن، احتمال أن تكون الكرة الأولى صفراء هو خمسة على ١٢. واحتمال أن تكون الكرة الأولى غير صفراء هو سبعة على ١٢، حيث إن مجموع هذين الاحتمالين معًا يساوي واحدًا. يمكننا أيضًا إيجاد ذلك عن طريق جمع عدد الكرات الوردية وعدد الكرات البرتقالية. ومجموعهما يساوي سبعة. بعد ذلك سنختار كرة ثانية، وسنفكر مرة أخرى فيما إذا كانت الكرة صفراء أم غير صفراء. وبما أن الكرة تختار دون إحلال، فإننا نتعامل مع حدثين غير مستقلين.
يعتمد الحدث الثاني على ما يحدث في الحدث الأول. إذا كانت الكرة الأولى صفراء، فسيتبقى الآن أربع كرات صفراء في الحقيبة وإجمالي ١١ كرة. وعليه فإن احتمال أن تكون الكرة الثانية صفراء إذا كانت الكرة الأولى صفراء يساوي أربعة على ١١. إذا كانت الكرة الأولى صفراء، فإن احتمال أن تكون الكرة الثانية غير صفراء هو سبعة على ١١، حيث توجد سبع كرات غير صفراء متبقية في الحقيبة، وإجمالي عدد الكرات يساوي ١١ كرة.
مرة أخرى، يجدر بنا التحقق من أن مجموع الاحتمالين على هذين الفرعين يساوي واحدًا. يمكننا تكرار هذه العملية عندما تكون الكرة الأولى غير صفراء. مرة أخرى، يتبقى ١١ كرة في الحقيبة، منها خمس كرات صفراء وست كرات ليست صفراء. ومن ثم، فإن هذين الاحتمالين هما خمسة على ١١ وستة على ١١.
كلمة «إذا» تعني أننا نتعامل مع احتمال شرطي. نحن نريد إيجاد احتمال أن تكون الكرة الثانية صفراء إذا كانت الكرة الأولى ليست صفراء. يمكن إيجاد ذلك من مخطط الشجرة البيانية أولًا باتباع الفرع الذي تكون فيه الكرة الأولى غير صفراء. وبما أن الكرة الثانية يجب أن تكون صفراء، فإن الفرع الذي يناظر ذلك له احتمال يساوي خمسة على ١١.
وعليه، يمكننا استنتاج أن احتمال أن تكون الكرة الثانية صفراء إذا كانت الكرة الأولى ليست صفراء هو خمسة على ١١. وعلى الرغم من أن ذلك لم يكن مطلوبًا في هذا السؤال، يجدر بنا أيضًا أن نتذكر صيغة الاحتمال الشرطي للأحداث غير المستقلة. تنص هذه الصيغة على أن احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ يساوي احتمال ﺃ تقاطع ﺏ مقسومًا على احتمال وقوع ﺏ.
