نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﻝ وﻡ جذري المعادلة ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ زائد سبعة يساوي صفرًا، فأوجد المعادلة التربيعية التي جذراها ﻝ زائد ﻡ وﻝ في ﻡ.
دعونا نبدأ بتذكر ما نعرفه عن العلاقة بين المعادلة التربيعية وجذري هذه المعادلة. فلننظر إلى معادلة تربيعية، حيث معامل ﺱ تربيع يساوي واحدًا. في هذه الحالة، يمكننا القول إن سالب معامل ﺱ في هذه المعادلة يعطينا مجموع جذري المعادلة. والحد الثابت يعطينا حاصل ضرب هذين الجذرين. ونلاحظ أن المعادلة التي لدينا ليست على هذه الصورة. لدينا ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ زائد سبعة يساوي صفرًا. ولكن يمكننا إعادة صياغتها قليلًا. سنقسم كل حد في هذه المعادلة على ثلاثة. ويمكننا فعل ذلك لأن صفرًا مقسومًا على ثلاثة لا يزال يساوي صفرًا. ثلاثة ﺱ تربيع مقسومًا على ثلاثة يساوي ﺱ تربيع. وسالب ستة ﺱ مقسومًا على ثلاثة يساوي سالب اثنين ﺱ، وسنترك سبعة على ثلاثة مكتوبًا على الصورة الكسرية.
وبذلك، أصبحت لدينا الآن معادلة تربيعية على الصورة الصحيحة. وهي ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد سبعة على ثلاثة. دعونا نقارن هذه المعادلة بالصورة العامة. قلنا إن سالب معامل ﺱ هو مجموع الجذرين. حسنًا، جذرا المعادلة هما ﻝ زائد ﻡ، ومعامل ﺱ في هذه المعادلة هو سالب اثنين. ومن ثم، فإن مجموع الجذرين يجب أن يكون سالب سالب اثنين، وهو ما يساوي اثنين، أي إن ﻝ زائد ﻡ يساوي اثنين. بعد ذلك، حاصل ضرب الجذرين، وهو ﻝ في ﻡ، يساوي الحد الثابت، وهذا يعني أن ﻝﻡ يساوي سبعة على ثلاثة. وما نريد فعله بعد ذلك هو حل هاتين المعادلتين آنيًّا. لكننا نعلم أن لدينا معادلة تربيعية جذراها ﻝ زائد ﻡ وﻝﻡ. لذا، سنستخدم هاتين المعادلتين لإيجاد مجموع هذين الجذرين وقيمة حاصل ضربهما.
دعونا نبدأ بمجموع الجذرين. الجذران الجديدان هما ﻝ زائد ﻡ وﻝﻡ. إذن، فإن مجموع هذين الجذرين هو ﻝ زائد ﻡ زائد ﻝﻡ. وإذا نظرنا إلى ذلك، فسنلاحظ أنه يتكون من تعبيرين نعرف قيمة كل منهما. نعرف أن ﻝ زائد ﻡ يساوي اثنين وﻝﻡ يساوي سبعة أثلاث. دعونا نكتب اثنين على صورة ستة أثلاث حتى يمكننا بعد ذلك جمع هذين الكسرين. ستة زائد سبعة يساوي ١٣، ومن ثم، فإن ستة أثلاث زائد سبعة أثلاث يساوي ١٣ على ثلاثة، وهذا رائع. أصبح لدينا الآن مجموع الجذرين الجديدين، وبذلك، يمكننا إيجاد معامل ﺱ في المعادلة الجديدة. سيكون سالب ١٣ على ثلاثة.
دعونا نكرر هذه العملية ونوجد حاصل ضرب الجذرين الجديدين. وهو حاصل ضرب ﻝ زائد ﻡ وﻝﻡ، أي ﻝﻡ في ﻝ زائد ﻡ. مرة أخرى، لدينا قيمة ﻝﻡ وقيمة ﻝ زائد ﻡ. وعليه، فإن حاصل ضرب هاتين القيمتين هو سبعة على ثلاثة في اثنين، وهو ما يساوي ١٤ على ثلاثة. والآن، بعد أن عرفنا حاصل ضرب الجذرين، أصبح لدينا الحد الثابت للمعادلة الجديدة. إذن، يمكننا القول إن المعادلة يجب أن تكون ﺱ تربيع ناقص ١٣ على ثلاثة ﺱ زائد ١٤ على ثلاثة يساوي صفرًا. سنكتب هذه المعادلة على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا. وسنفعل ذلك بضرب كل حد في ثلاثة. وبذلك، نحصل على المعادلة التربيعية الجديدة. وهي ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ١٣ﺱ زائد ١٤ يساوي صفرًا.
